数学7.3 离散型随机变量的数字特征精品课时训练

这是一份数学7.3 离散型随机变量的数字特征精品课时训练，共27页。试卷主要包含了0分），随机变量X的分布列是，4B，1,4，【答案】A，【答案】C，【答案】B，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
7.3.2离散型随机变量的方差同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
1. 袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后放回，取3次．在这3次取球中，设取到黑球的次数为X，则EX=(   )
A. 1 B. 2 C. 65 D. 95
2. 现有3道四选一的单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题答对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的期望为(    )
A. 9310 B. 374 C. 394 D. 21120
3. 已知随机变量X服从二项分布B(4,p)，其期望E(X)=3，随机变量Y服从正态分布N(1,2)，若P(Y>0)=p，则P(0 A. 23 B. 34 C. 14 D. 12
4. 设0 X
0
a
1
P
13
13
13
则当a在(0,1)内增大时，(    )
A. V(X)增大 B. V(X)减小
C. V(X)先增大后减小 D. V(X)先减小后增大
5. 随机变量X的分布列如表：
X
1
2
4
P
12
a
b
若EX=2，则DX=
A. 32 B. 43 C. 54 D. 65
6. 已知随机变量X的分布列是，
X
1
2
3
P
12
13
a
则E(2X+a)=(    )
A. 53 B. 73 C. 72 D. 236
7. 已知随机变量ξ+η=8，若ξ∽B(10,0.4)，则E(η)，D(η)分别是(    )
A. 4和2.4 B. 2和2.4 C. 6和2.4 D. 4和5.6
8. 随机变量ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
1−p2
12
p2
则当p在(13,1)内增大时，有(    )
A. E(ξ)增大，D(ξ)增大 B. E(ξ)增大，D(ξ)先增大后减小
C. E(ξ)减小，D(ξ)先增大后减小 D. E(ξ)减小，D(ξ)减小
9. 已知随机变量X满足E(2X−1)=3，D(2X−1)=4，则(    )
A. EX=2，DX=54 B. EX=1，DX=54
C. EX=32，DX=1 D. EX=2，DX=1
10. 若随机变量X的分布列是
X
0
a
1
P
a2
12
1−a2
则当实数a在(0,1)内增大时，(    )
A. D(X)增大 B. D(X)减小
C. D(X)先增大后减小 D. D(X)先减小后增大
二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）
11. 下列判断正确的是(   )
A. 若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),P(ξ≤4)=0.79，则P(ξ≤−2)=0.21
B. 已知直线l⊥平面α，直线m//平面β，则是的充分不必要条件
C. 若随机变量ξ服从二项分布：ξ∽B(4,14)，则E(ξ)=2
D. am2>bm2是a>b的充要条件
三、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
12. 盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ=0)=          ，E(ξ)=          ．
13. 一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数为ξ，则P(ξ=1)=          ，E(ξ)=          ．
14. 已知，随机变量X的分布列如表．若时，          ；在p的变化过程中，的最大值为          ．
X
0
1
2
P



15. 有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则ξ=1对应的排法有   (1)   种；E(ξ)=   (2)   ；
16. 从装有除颜色外完全相同的m个白球和4个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X，若E(X)=1，则m=          ，P(X=2)=          ．
四、解答题（本大题共11小题，共132.0分）
17. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；
(Ⅱ)求取球次数X的分布列和数学期望．







18. 为了解今年某校高三毕业班想参军的学生体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为24．
(Ⅰ)求该校高三毕业班想参军的学生人数；
(Ⅱ)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高三毕业班想参军的同学中(人数很多)任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．








19. 对某校高三年级100名学生的视力情况进行统计(如果两眼视力不同，取较低者统计)，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)若报考高校A专业的资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，设这4人中有资格(仅考虑视力)考A专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．








20. 在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：
(1)一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？
(2)如从甲品种的6株中任选2株，记选到超过187粒的株数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．







21. 要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次不考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为23，笔试考试成绩每次合格的概率均为12，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；
(2)求他恰好补考一次就获得证书的概率；
(3)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望值．







22. 2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．
项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p(0 项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50％，也可能亏损投资额的30％，且这两种情况发生的概率分别为p和1−p．
(1)记X(单位：百万元)为投资项目一盈利额，求E(X)(用p表示)；
(2)试以项目盈利的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．







23. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r(0 (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；
(2)当r=0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；
方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．
请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策⋅







24. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．
(1)当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
(2)当n=4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望．







25. 已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色．现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量X=|A−B|．
(1)求X=3时的概率；
(2)求随机变量X的概率分布列及数学期望．







26. 在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．
(Ⅰ)求甲和乙都不获奖的概率；
(Ⅱ)设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值EX．







27. 频率/组距75  80  85  90  95  100成绩/分0.060.050.040.030.02
某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．
成绩分组
频数
[75,80)
2
[80,85)
6
[85,90)
16
[90,95)
14
[95,100]
2
高二
规定成绩不低于90分为“优秀”．
(Ⅰ)估计高一年级知识竞赛的优秀率；
(Ⅱ)将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；
(Ⅲ)在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差DX，DY的大小关系．(只需写出结论)








答案和解析
1.【答案】C

【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
每次取到黑球的概率都是P=25，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为X，则X∽B(3,25)，由此能求出E(X)．
【解答】
解：袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后放回，
每次取到黑球的概率都是P=25，
取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为X，
则X∽B(3,25)，
∴E(X)=3×25=65．
故选：C．  
2.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，属于基础题．
由题意可知李明这3道题得分的取值可能为0，5，10，15，分别求出概率，进而可求期望．
【解答】
解：记李明这3道题得分为随机变量X，则X的取值为0，5，10，15，
P(X=0)=(15)2×34=3100，
P(X=5)=C21×45×15×34+(15)2×14=14，
P(X=10)=C21×45×15×14+(45)2×34=1425，
P(X=15)=(45)2×14=425，
所以E(X)=0×3100+5×14+10×1425+15×425=374，
故选B．  
3.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查二项分布的期望的求法以及正态分布的性质，属于基础题．
直接利用二项分布的期望公式求出p的值，再结合正态分布的性质求解即可．
【解答】
解：由E(X)=4p=3⇒p=34，则P(Y>0)=34，
则P(0 则P(0 故选D．  
4.【答案】D

【解析】
【分析】
本题主要考查随机变量的分布列及方差，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
解题时应先求期望，将方差表示为关于a的二次函数，再利用二次函数在给定区间的单调性，判断方差取值的增减性．
【解答】
解：由题意可得，E(X)=13(a+1)，
所以V(X)=(a+1)227+(1−2a)227+(a−2)227
=6a2−6a+627=29[(a−12)2+34]，
所以当a在(0,1)内增大时，V(X)先减小后增大，
故选D．  
5.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列及期望、方差，属于基础题．
由E(X)=2，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出a、b，由此能求出D(X)．
【解答】
解：∵E(X)=2，
∴由随机变量X的分布列得：
12+a+b=112+2a+4b=2，解得a=14b=14,
D(X)=1−22×12+(2−2)2×14+(4−2)2×14=32．
 故选A．  
6.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，属于简单题．
利用分布列求出a，求出期望即可．
【解答】
解：由题意可得12+13+a=1，解得a=16，
E(X)=1×12+2×13+3×16=53．
∴E(2X+16)=2×53+16=72．
故选：C．  
7.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了二项分布的期望和方差的计算公式和两个随机变量的期望和方差间的关系，属于一般题．
根据二项分布的期望和方差的计算公式可以求出Eξ和Dξ，又ξ+η=8，所以η=8−ξ，所以E(η)=8−E(ξ)，D(η)=(−1)2D(ξ)，即可求得结果．
【解答】
解：因为ξ∼B(10,0.4)，
所以E(ξ)=10×0.4=4，
D(ξ)=10×0.4×(1−0.4)=2.4，
又ξ+η=8，
所以η=8−ξ，
所以E(η)=8−E(ξ)=8−4=4，
D(η)=(−1)2D(ξ)=2.4，
故选A．  
8.【答案】B

【解析】解：E(ξ)=1−p2+1+3p2=p+32，E(ξ2)=1−p2+2+9p2=4p+52，
所以D(ξ)=E(ξ2)−E2(ξ)=4p+52−(p+32)2=−p2+p+14，
所以p在(13,1)内增大时，E(ξ)增大，D(ξ)先增大后减小，
故选：B．
利用已知条件求出期望与方差，然后利用二次函数的性质判断即可．
本题考查离散型随机变量分布列以及期望方差的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

9.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查随机变量的期望与方差及其性质，考查的核心素养是数学运算，属于基础题．
根据随机变量期望与方差的性质列方程求解．
【解答】
解：∵E(2X−1)=2E(X)−1=3，D(2X−1)=22×D(X)=4，
∴E(X)=2，D(X)=1．
故选D．  
10.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列，利用二次函数是关键，是中档题．
方差公式结合二次函数的单调性可得结果．
【解答】
解：E(X)=0×a2+a×12+1×1−a2=12，
D(X)=a2·(0−12)2+12·(a−12)2+
1−a2(1−12)2=2a2−2a+14,
当实数a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大，
故选：D．  
11.【答案】AB

【解析】
【分析】
本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与直线的位置关系，二项分布的期望和正态曲线及其性质，属于中档题．
由正态曲线及其性质可得判断A；若α//β，则是真命题；若，则α//β是假命题，可判定B；由随机变量ξ服从二项分布的性质，可判定C；由不等式的性质，可判D．
【解答】
解：A.若随机变量ξ服从正态分布，
由题意可得，正态分布的对称轴为：，
结合题意和正态分布的对称性可得：，故A正确．
B.已知直线平面α，l垂直于α内所有直线，
因为α//β，所以l垂直于β内所有直线，
又因为直线m//平面β，所以l⊥m，
而l⊥m，面α和面β也可能相交，
所以是的充分不必要条件；故B正确．
C.若随机变量ξ服从二项分布：，则，故C错误．
D.，
而，
所以是的充分不必要条件，故D错误．
故选AB．  
12.【答案】13 
1


【解析】解：由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2；
计算P(ξ=0)=14+14×13=13；
P(ξ=1)=1 2×13 +14×23×12+24×13×12=13；
P(ξ=2)=1−13−13=13；
所以E(ξ)=0×13+1×13+2×13=1．
故答案为13；1．
由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P(ξ=0)、P(ξ=1)和P(ξ=2)，再求E(ξ)的值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．

13.【答案】310
32


【解析】
【分析】
本题考查的是离散型随机变量的期望与方差，是基础题．
ξ=1表示取球4次，3次取白球，前3次中有一次取黑球，利用排列组合的方法可求总的基本事件及随机事件中含有的基本事件的个数，从而可求概率，求出要的分布列后求其数学期望．
【解答】
解：ξ的所有可能取值为0，1，2，
ξ=0表示取球3次，3次取白球，则P(ξ=0)=A33A53=660=110，
ξ=1表示取球4次，3次取白球，前3次中有一次取黑球，则P(ξ=1)=C31C21A33A54=310，
P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)=35，
故E(ξ)=0×110+1×310+2×35=32．
故答案是310，32．  
14.【答案】56
2


【解析】
【分析】
本题考查了统计与概率中的期望与方差，方差的性质，属于中档题．
利用期望公式的求解方法，方差的求解方法即可解决．
【解答】
解： E(X)=0×1−P2+1×12+2×P2=12+P=12+13=56；
D(X)=(0−p−12)2×1−p2+(1−p−12)2×12+(2−p−12)2×p2=−(p−12)2+12，
∴p=12时， D(X)取最大值，此时 D(2X+1)=4D(X)=4×12=2．
故答案为： 56；2．  
15.【答案】36
1


【解析】解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，
则ξ的可能取值为0，1，2，3，
ξ=1对应的排法有：C31A22A33=36．
∴ξ=1对应的排法有36种；
P(ξ=0)=A22A44A55=48120，
P(ξ=1)=C31A22A33A55=36120，
P(ξ=2)=A32A22A22A55=24120，
P(ξ=3)=A33A22A55=12120，
∴E(ξ)=0×48120+1×36120+2×24120+3×12120=1．
故答案为：36，1．
ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ=1对应的排法有：C31A22A33=36.分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，由此能求出E(ξ)．
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

16.【答案】2
29


【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的期望与方差，n次独立重复实验与二项分布，是基础题．
根据二项分布的数学期望公式列方程计算m，再求解P(X=2)即可．
【解答】
解：显然X服从二项分布B3,m4+m，
∴E(X)=3×m4+m=1，则m=2，
∴P(X=2)=C32P21−P3−2，P=m4+m=13，
∴P(X=2)=3×132×23=29，
故答案为2； 29．  
17.【答案】解：(Ⅰ)设袋中原有n个白球，由题意知：
Cn2C72=n(n−1)27×62=n(n−1)7×6=17，
化简得n(n−1)=6，
解得n=3或n=−2(不合题意，舍去)，
即袋中原有3个白球；
(Ⅱ)由题意，X的可能取值为1，2，3，4，5，
计算P(X=1)=37，P(X=2)=4×37×6=27，
P(X=3)=4×3×37×6×5=635，P(X=4)=4×3×2×37×6×5×4=335，
P(X=5)=4×3×2×1×37×6×5×4×3=135；
所以X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
37
27
635
335
135
数学期望是E(X)=1×37+2×27+3×635+4×335+5×135=2．

【解析】(Ⅰ)本题是一个等可能事件的概率，设出袋中原有n个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于n的方程，解方程即可；
(Ⅱ)根据题意X的所有可能值为1，2，3，4，5；计算X取每一个值时对应的概率得分布列，根据分布列求数学期望E(X)．
本题考查了随机事件的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的问题，是基础题．

18.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图知：
前3个小组的频率为：1−(0.013+0.037)×5=0.75，
所以第1小组的频率为16×0.75=0.125，
第2小组的频率为26×0.75=0.25，
第3小组的频率为36×0.75=0.5，
所以该校高三毕业班想参军的学生人数是24÷0.25=96．
(Ⅱ)分布列见解析，158．
(Ⅱ)由(1)可得，一个想参军的学生体重超过60公斤的概率为p=p3+(0.037+0.013)×5=58．
 X
 0
 1
 2
3 
 P
27512 
45512 
75512 
125512 
所以X服从二项分布，P(X=k)=C2k(58)k(38)3−k，K=0，1，2，3
∴随机变量X的分布列为E(X)=3×58=158．

【解析】(I)由频率分布直方图先求出前3个小组的频率，从而得到第2小组的频率，由此能求出高三毕业班想参军的学生人数．
(II)根据X服从二项分布，P(X=k)=C2k(58)k(38)3−k，K=0，1，2，3求解分布列，数学期望．
本题考查该校高三毕业班想参军的学生人数的求法，解题时要注意频率分布直方图的合理运用，难度不大，属于中档题．

19.【答案】解：(Ⅰ)由从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110．
则b=1104.3−4.1=0.5，
则a=10.2−1.75−0.75×2−0.5−0.25=1，
故a=1，b=0.5．
(Ⅱ)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，
在[5.1,5.3]中共有5人，抽取1人，
随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，
P(ξ=1)=05C103CC153=2491，
P(ξ=2)=15C102CC153=4591，
P(ξ=3)=25C101CC153=2091，
P(ξ=4)=35C100CC153=291，
∴ξ的分布列为：
 ξ
1
 2
 3
 4
 P
 2491
 4594
 2091
 291
E(ξ)=1×2491+2×4591+3×2091+4×291=2．

【解析】(Ⅰ)根据从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110可以求出b，再根据频率和为1，可以求出a；
(Ⅱ)列出ξ的所有的可能取值，分别求出每个变量所对应的概率，列出ξ的分布列，求其期望即可．
本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.【答案】解：(1)由茎叶图知：
甲种水稻样本单株平均数为：
16(168+176+179+186+188+195)=182粒，
把样本平均数看做总体平均数，
则甲种水稻亩产约为：60000×182×0.1×11000=1092公斤．
(2)由题意知甲品种的6株中有2株超过187粒，故ξ的可能取值为0，1，2，
P(ξ=0)=C42C62=25，
P(ξ=1)=C21C41C62=815，
P(ξ=2)=C22C62=115，
∴ξ的分布列为：
 ξ
 0
 1
 2
 P
 25
 815
 115
Eξ=0×25+1×815+2×115=23．

【解析】(1)由茎叶图先求出甲种水稻样本单株平均数，由此能估计甲种水稻的亩产．
(2)由题意知甲品种的6株中有2株超过187粒，故ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．

21.【答案】解：设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2；“笔试第一次考试合格”为事件B1“笔试补考合格”为事件B2.(1分)
(1)不需要补考就获得证书的事件为A1⋅B1，注意到A1与B1相互独立，
则P(A1⋅B1)=P(A1)×P(B1)=23×12=13.A1⋅B1
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.(3分)
(2)恰好补考一次的事件是A1A2B1+A1B1B2(4分)
则P(A1A2B1+A1B1B2)=P(A1A2B1)+P(A1B1B2)
=13⋅23⋅12+23⋅12⋅12=1554=518(7分)
(3)由已知得，ξ=2，3，4，(8分)
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P(ξ=2)=P(A1⋅B1)+P(A1⋅A2)=23×12+13×13=13+19=49(10分)
P(ξ=3)=P(A1⋅B1⋅B2)+P(A1⋅A2⋅B2)=23×12×12+23×12×12+13×23×12=49(12分)
P(ξ=4)=P(A1⋅A2⋅B2⋅B2)+P(A1⋅A2⋅B1⋅B2)=13×23×12×12+13×23×12×12=118+118=19(13分)
参加考试次数ξ的期望值Eξ=2×49+3×49+4×19=83(14分)

【解析】设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2；“笔试第一次考试合格”为事件B1“笔试补考合格”为事件B2
(1)不需要补考就获得证书的事件为．A1⋅B1，且A1与B1相互独立，根据相互独立事件的概率公式可求
(2)他恰好补考一次就获得证书，即为事件A1A2B1+A1B1B2，根据相互独立事件与互斥事件的概率公式可求
(3)由已知得，ξ=2，3，4
而ξ=2即为A1⋅B1 +A1⋅A2        ξ=3 即为A1⋅B1⋅B2+A1⋅A2⋅B2
ξ=4，即为A1⋅A2⋅B2⋅B2+A1⋅A2⋅B1⋅B2
本题主要考查了相互独立事件的概率的求解公式的运用：若事件A，B相互独立，则A与B，A与BA与B相互独立；P(AB)=P(A)P(B)；还考查了对一些复杂事件的分解：即对一个事件分解成几个互斥事件的和，本题是把相互独立与互斥结合的综合考查．

22.【答案】解：(1)由题意记为盈利的天坑院个数，则X1∽B20,p，
则盈利的天坑院数的均值E(X1)=20p，
故盈利的均值为E(X)=E(0.08X1)=0.08E(X1)
=0.08×20p=1.6p；
(2)记X2为投资项目二盈利额，则X2的分布列为：
X2
2
−1.2
P
p
1−p
盈利的均值E(X2)=2p−1.2(1−p)=3.2p−1.2，
①当E(0.08X1)=E(X2)时，1.6p=3.2p−1.2，解得p=34，故两个项目均可投资；
②当E(0.08X1)>E(X2)时，1.6p>3.2p−1.2，解得0 ③当E(0.08X1)

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)由题意记为盈利的天坑院个数，由题意X1～B(20,p)，由此能求出盈利的均值；
(2)记X2为投资项目二盈利额，求出X2的分布列，由此能求出盈利的均值E(X2)，由此分类讨论能求出结果．

23.【答案】解:(1)要使系统的可靠度不低于0.992,
则P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1−r)3≥0.992,
解得r⩾0.8,
故r的最小值为0.8.
(2)设X为能正常工作的设备数,由题意可知,X~B(3,r),
P(X=0)=C30×0.90×(1−0.9)3=0.001,
P(X=1)=C31×0.91×(1−0.9)2=0.027,
P(X=2)=C32×0.92×(1−0.9)1=0.243,
P(X=3)=C33×0.93×(1−0.9)0=0.729, 
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
(3) 设方案1，方案2的总损失分别为X1,X2.
采用方案1，更换部分设备的硬件, 使得设备可靠度达到0.9,
由(2) 可知计算机网络断掉的概率为0.001,不断掉的概率为0.999,
因此E(X1) =80000+0.001×500000=80500（元）；
采用方案2, 对系统的设备进行维护, 使得设备可靠度达到0.8,
由(1) 可知计算机网络断掉的概率为0.008,
因此E(X2)=50000+0.008×500000=54000（元）.
因此, 从期望损失最小的角度, 决策部门应选择方案2.，

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望，n次独立重复实验与二项分布等知识，属中档题目.
（1）根据题意P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1−r)3≥0.992，即可求解；
（2）设X为能正常工作的设备数,由题意可知,X~B(3,r),分别计算概率，并得分布列；
（3）分别计算两方案的数学期望，得出结论.

24.【答案】解：(1)对于一个坑而言，要补种的概率为(12)3+C31(12)3=12．
有3个坑需要补种的概率为：Cn3×(12)n，
要使Cn3×(12)n最大，只须Cn3(12)n≥Cn2(12)nCn3(12)n≥Cn4(12)n，解得5≤n≤7，
∵n∈N*，故n=5，6，7．
∵C53(12)5=C63(12)5=516>C73(12)5=35128，
所以当n为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大．最大概率为516．
(2)n=4时，要补播种的坑的个数X的所有的取值分别为0，1，2，3，4，X～B(4,12)，
P(X=0)=C40(12)4=116，P(X=1)=C41(12)4=14，P(X=2)=C42(12)4=38，P(X=3)=C43(12)4=14，P(X=4)=C44(12)4=116．
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
 116
 14
 38
14
 116
所以X的数学期望E(X)=4×12=2．

【解析】(1)将有3个坑需要补种表示成n的函数，考查函数随n的变化情况，即可得到n为何值时有3个坑要补播种的概率最大．
(2)n=4时，X的所有可能的取值为0，1，2，3，4.分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．
本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．

25.【答案】解：(1)因为1+2+3+4+5=15，所以当X=3时，A=6或A=9，
所以A=1+2+3或A=2+3+4或A=1+3+5，所以PX=3=C31C53=310；
(2)因为1+2+3+4+5=15为奇数，所以A，B必然一奇一偶，所以X为奇数，
所以Xmin=|(1+3+4)−(2+5)|=1，Xmax=|(3+4+5)−(1+2)|=9，
即X所有可能的取值为X=1，3，5，7，9，
当X=1时，A=1+3+4或A=1+2+5或A=1+2+4，所以PX=1=C31C53=310；
由(1)知，PX=3=C31C53=310；
当X=5时，A=1+4+5或A=2+3+5，所以PX=5=2C53=15；
当X=7时，A=2+4+5，所以PX=7=1C53=110；
当X=9时，A=3+4+5，所以PX=9=1C53=110；
所以随机变量X的概率分布列如下表：
X
1
3
5
7
9
P
310
310
15
110
110
随机变量X的数学期望E(X)=1×310+3×310+5×15+7×110+9×110=195．


【解析】本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．
(1)根据题意当X=3时，A=6或A=9，进而得到A=1+2+3或A=2+3+4或A=1+3+5即可；
(2)随机变量X的可能取值1，3，5，7，9，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望E(X)．

26.【答案】解：(Ⅰ)设“甲和乙都不获奖”为事件A，…(1分)
则P(A)=C42C62⋅C21C41⋅C21C41=110，
答：甲和乙都不获奖的概率为110.…(5分)
(Ⅱ)X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…(6分)
P(X=0)=38，P(X=400)=C52C62⋅34⋅14=18，P(X=600)=C52C62⋅14⋅34=18，
P(X=1000)=C51C62+C52C62⋅14⋅14=38，…(10分)
∴X的分布列为
X
0
400
600
1000
P
38
18
18
38
…(11分)
∴E(X)=0×38+400×18+600×18+1000×38=500(元)．
答：甲获奖的金额的均值为500(元).…(13分)

【解析】(Ⅰ)设“甲和乙都不获奖”为事件A.欲求事件A的概率，根据抽奖规则，计算从6人中随机抽取两人，三次都没有抽到甲和乙的概率即可；
(Ⅱ)X是甲获奖的金额，X的所有可能的取值为0，400，600，1000，求出相应的概率，即可得到分布列与均值．
本题考查离散型随机变量的概率分布列与期望，解题的关键是明确变量的可能取值及其含义．

27.【答案】解：(Ⅰ)高一年级知识竞赛的优秀率为(0.04+0.02)×5=0.3．
所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%．
(Ⅱ)在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为1−0.3=0.7；
在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为14+240=0.4，选中成绩不优秀学生的概率为1−0.4=0.6．
ξ的所有可能取值为0，1，2；
P(ξ=0)=0.7×0.6=0.42；P(ξ=1)=0.3×0.6+0.7×0.4=0.46；P(ξ=2)=0.3×0.4=0.12．
所以随机变量ξ的分布列为：
P
0
1
2
ξ
0.42
0.46
0.12
(Ⅲ)显然X，Y均符合两点分布，且P(X=0)=0.7，P(X=1)=0.3，
P(Y=0)=0.6，P(Y=1)=0.4，
∴DX=0.3×0.7=0.21，DY=0.6×0.4=0.24，
∴DX
【解析】(I)计算频率分别直方图最后两个小矩形的面积即可得出优秀率；
(II)分别计算两年级的优秀率，利用相互独立事件的概率公式得出ξ的分布列；
(III)计算DX，DY得出结论．
本题考查了频率分布直方图，频率分布表，离散型随机变量的分布列与方差计算，属于中档题．