高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征课堂检测，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

7.3.2 离散型随机变量的方差（同步练习）
一、选择题
1.从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即
X＝则X的方差D(X)＝(　　)
A. B. C. D.
2.甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是(　　)
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A.甲 B．乙 C．一样 D．无法比较
3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1，P2，P3，P4，且i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A．P1＝P4＝0.1，P2＝P3＝0.4 B．P1＝P4＝0.4，P2＝P3＝0.1
C．P1＝P4＝0.2，P2＝P3＝0.3 D．P1＝P4＝0.3，P2＝P3＝0.2
4.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则D(X)等于(　　)
A．3.36 B. C．7.8 D．3.6
5.设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1 A. B. C．3 D.
6.设10≤x1 A．D(ξ1)>D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2)
C．D(ξ1) 7.（多选）已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P



则下列结论正确的是(　　)
A．E(X)＝－　　 B．E(X＋4)＝－ C．D(3X＋1)＝5 D．P(X>0)＝
二、填空题
8.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________

9.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为________

10.随机变量X的取值为0,1,2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________

11.若p为非负实数，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
－p
p

则E(X)的最大值是________，D(X)的最大值是________．
三、解答题
12.袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．








13.有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：

其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．




14.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2

X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．







15.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．

(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)






参考答案：
一、选择题
1.A　 2.B　 3.B 　4.A 　5.C　 6.A　
7.ACD
解析：E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，E(X＋4)＝，故A正确，B错误．D(X)＝2×＋2×＋2×＝，D(3X＋1)＝9D(X)＝5，故C正确．P(X>0)＝P(X＝1)＝，故D正确．

二、填空题
8.答案： 9.答案：0.5和0.25 10.答案：
11.答案：，1
解析：由分布列的性质可知p∈，则E(X)＝p＋1∈，故E(X)的最大值为.
∵D(X)＝(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－2＋，
又p∈，∴当p＝0时，D(X)取得最大值1.

三、解答题
12.解：(1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又E(Y)＝aE(X)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或

13.解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于E(X)＝E(Y)，D(X) 14.解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2

Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)因为f(x)＝D＋D＝2D(Y1)＋2D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)，
所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3.

15.解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝＝0.3.
(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.
所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P




故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．