高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布练习

第七章  随机变量及其分布

7.4.1二项分布

1.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是(　　)

A．×　　　　　　B．

C．×＋  D．1－×

【答案】C

【解析】该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形．

故所求概率为P＝×＋.

2． 设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m(k＝1,2,3)，则m的值为(　　)

A.    B.

C.    D.

【答案】B

【解析】由题意，根据分布列的性质，知m＋m＋m＝1，∴m＝.

3.设随机变量服从二项分布，且期望，，则方差等于(  )

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】由于二项分布的数学期望,所以二项分布的方差，应填选答案C．

4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)

A．[0.4,1]   B．(0,0.4]

C．(0,0.6]   D．[0.6,1)[来源:Z#xx#k.Com]

【答案】A

【解析】∵P4(1)≤P4(2)，∴·p(1－p)3≤p2(1－p)2，∴4(1－p)≤6p，∴0.4≤p≤1.

5．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为(　　)

A．    B.

C．    D．

【答案】A

【解析】甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为P＝

6.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为(  )

A．     B．1     C． D．

【答案】D

【解析】由题可得，遇到红灯的次数服从二项分布

即：，所以

所以因遇到红灯停留的总时间Y的期望为

故选D

7．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有个正品和个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出个，再将电子元件放回.重复次这样的试验，那么“取出的个电子元件中有个正品，个次品”的结果恰好发生次的概率是（    ）

A．    B．     C．     D．

【答案】B

【解析】从装有个正品和个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出个，

再将电子元件放回，

取出的个电子元件中有个正品，个次品的概率，

重复次这样的试验，

那么“取出的个电子元件中有个正品，个次品”的结果恰好发生次的概率是：

.故选：B

8.如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是(    )

A．这5个家庭均有小汽车的概率为

B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为

C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车

D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为

【答案】ACD

【解析】由题得小汽车的普及率为，

A. 这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；

B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为,所以该命题是假命题；

C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；

D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为=,所以该命题是真命题，故选ACD.

9．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.

【答案】

【解析】解析：∵X～B(2，p)，

∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.

∴P(X≥1)＝1－P(X＜1)＝1－P(X＝0)

＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2，

∴1－(1－p)2＝.结合0≤p≤1，解之得p＝.

10．从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设表示抽到的次品件数，则方差__________．

【答案】1.96[来源:学*科*网Z*X*X*K]

【解析】由题意可知,该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型,其中p=0.02,n=100,则

DX=npq=np(1-p)

=100×0.02×0.98

=1.96

11.已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________.(已知0.9991 000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)

【答案】0.632 3　0.368 1

【解析】设发生车祸的车辆数为X，则X～B(1 000,0.001)

(1)记事件A：“公路上发生车祸”，则P(A)＝1－P(X＝0)＝1－0.9991 000≈1－0.367 70＝0.632 3.

(2)恰好发生一次车祸的概率为

P(X＝1)＝×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1.

12.张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟.假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为_____.

【答案】

【解析】　如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P＝1－＝.

13． 某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立.(1)求某应聘人员被录用的概率.

(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列.

【解析】设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.

(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，

因为P(A)＝×＝，P(B)＝2××(1-)＝，P(C)＝，

所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.

(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B.

Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝ 0,1,2，3,4)，

因为P(A0)＝×＝，

P(A1)＝××＝，

P(A2)＝××＝，

P(A3)＝××＝，

P(A4)＝××＝.

所以X的分布列为

14.某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.

(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；

(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)

(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值和方差.

【解析】(1)∵前四组频数成等差数列，∴所对应的也成等差数列，

设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，

∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1，

解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.

居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.

居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.

(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，

∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，

应规定w＝2.5＋≈2.83.

(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，

可知P(A≤2.5)＝0.7，由题意，X～B(3，0.7)，[来源:Zxxk.Com]

P(X＝0)＝×0.33＝0.027；P(X＝1)＝×0.32×0.7＝0.189，

P(X＝2)＝×0.3×0.72＝0.441；P(X＝3)＝×0.73＝0.343，

∴X的分布列为[来源:Zxxk.Com]

∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1，D(X)＝