数学人教A版 (2019)3.4 函数的应用（一）优秀习题

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1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)米，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地，用了30分钟，则小王从出发到返回原地所走过的路程y(米)和其所用的时间x(分钟)的函数图象为( D )
A. B.
C. D.
【解析】 y表示“小王从出发到返回原地所走过的路程”，而不是位移．故选D.
2．甲、乙两家电动汽车销售连锁店月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16 000，L2＝300x－2 000(其中x为销售量).若某月两家连锁店共销售了110辆电动汽车，则能获得的最大利润为( C )
A．11 000元 B．22 000元
C．33 000元 D．40 000元
【解析】 设甲连锁店销售了x辆，则乙连锁店销售了(110－x)辆，故利润L＝L1＋L2＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000(0≤x≤110，x∈N).所以当x＝60时，可获得最大利润33 000元．故选C.
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本．某企业一个月生产某种商品x万件时，生产成本C(x)(单位：万元)与x的关系为C(x)＝ eq \f(1,2) x2＋2x＋20.1万件售价是20万元，若该企业生产的这种商品能够全部售出，那么为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品( A )
A．18万件 B．20万件
C．16万件 D．8万件
【解析】 设总利润为L(x)万元，则L(x)＝20x－C(x)＝－ eq \f(1,2) (x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值.
4．将进货单价为8元的商品按10元一个零售，每天能卖出100个，若这种商品的销售价每涨1元，销量就减少10个．为了获取最大利润，该商品的零售价格应定为每个( D )
A．11元 B．12元
C．13元 D．14元
【解析】 设该商品的零售价格是x元，获得的利润是y元，则单个利润是(x－8)元，销售量是[100－10(x－10)]个，所以
y＝(x－8)[100－10(x－10)]＝(x－8)(－10x＋200)＝－10(x－14)2＋360(10≤x≤20)，所以当x＝14时，ymax＝360.故选D.
5．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关．在一个限速30 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了，事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过8 m，乙车的刹车距离略超过6 m，若甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)的关系大致如下：s甲＝ eq \f(1,100) x2＋ eq \f(1,5) x，s乙＝ eq \f(1,200) x2＋ eq \f(1,20) x，则下列结论错误的是( A )
A．甲车超速
B．乙车超速
C．刹车前甲车的行驶速度大于20 km/h
D．刹车前乙车的行驶速度大于30 km/h
【解析】 由 eq \f(1,100) x2＋ eq \f(1,5) x>8，得x<－40或x>20.由 eq \f(1,200) x2＋ eq \f(1,20) x>6，得x<－40或x>30.由于x>0，从而x甲>20 km/h，x乙>30 km/h，经比较知乙车超速，甲车没有超速．故选A.
二、填空题
6．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量x(kg)与运费y(元)之间的函数关系如图所示，那么乘客可免费携带行李的最大质量为__19__kg__．
【解析】 设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将点(30，330)，(40，630)代入，得y＝30x－570，令y＝0，得x＝19.
7．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内原有60元，2个月后盒内有80元．则盒内钱数y(元)与存钱月数 x之间的函数关系式为__y＝10x＋60(x∈N)__．
【解析】 设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).因为当x＝0时，y＝60；当x＝2时，y＝80，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝60，,2k＋b＝80，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝10，,b＝60，)) 所以y＝10x＋60(x∈N).
8．制造印花机的成本y(元)与印花机每分钟印花布x(米)之间的函数关系为y＝a·xb，b称为经济尺度指数．已知制造印花机的经济尺度指数为2，又印花机达到每分钟印花布2 000米时需投入成本4 000 000元，要达到每分钟印花布2 500米时，需投入成本__6__250__000元__．
【解析】 由题意可知4 000 000＝a·2 0002，解得a＝1，所以y＝x2，每分钟印花布2 500米时，需投入成本y＝2 5002＝6 250 000(元).
9．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).那么他将获得的最大利润是__120__万元．
【解析】 当甲商品6元时，若该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，
故获得的最大利润为40＋80＝120(万元).
三、解答题
10．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．问：
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
解：(1)因为y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.
所以当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13(2)当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59，
即第10分钟时，学生的接受能力为59.
(3)当x＝13时，y取最大值．
所以在第13分钟时，学生的接受能力最强．
[B级 素养养成与评价]
11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( D )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【解析】 对于A选项：由题图可知，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，则A错误；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，甲车耗油量最少，则B错误；对于C选项：甲车以80千米/时的速度行驶时，燃油效率为10千米/升，行驶1小时，消耗汽油80×1÷10＝8(升)，则C错误；对于选项D：当行驶速度小于80千米/时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该城市用丙车比用乙车更省油，则D正确，故选D.
12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价收费)；超过 3 km 但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了__9__km.
【解析】 设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9，08，))
由y＝22.6，解得x＝9.
13．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡．在对市场进行调研分析发现，养鱼的收益M与投入a(单位：万元)满足M＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4\r(,a)＋25，15≤a≤36，,49，36＜a≤57，)) 养鸡的收益N与投入b(单位：万元)满足N＝ eq \f(1,2) b＋20(15≤b≤57).设在甲合作社的投入为x(单位：万元)，两个合作社的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当在甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；
(2)试问如何安排在甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？
解：(1)当在甲合作社的投入为25万元时，在乙合作社的投入为47万元，此时两个合作社的总收益为
4 eq \r(25) ＋25＋ eq \f(1,2) ×47＋20＝88.5(万元).
(2)设在甲合作社的投入为x万元(15≤x≤57)，则在乙合作社的投入为(72－x)万元．
当15≤x≤36时，36≤72－x≤57，
f(x)＝4 eq \r(x) ＋25＋ eq \f(1,2) (72－x)＋20＝－ eq \f(1,2) x＋4 eq \r(x) ＋81.
令t＝ eq \r(x) ，得 eq \r(15) ≤t≤6，
则总收益为g(t)＝－ eq \f(1,2) t2＋4t＋81＝－ eq \f(1,2) (t－4)2＋89，
显然当t＝4时，函数取得最大值，g(t)max＝89＝f(16)，
即在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元．
当36则f(x)＝49＋ eq \f(1,2) (72－x)＋20＝－ eq \f(1,2) x＋105，
则f(x)在(36，57]上单调递减，所以f(x)max即此时总收益小于87万元．
又89>87，所以该政府在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元．
14．在经济学中，定义Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).已知某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台报警系统装置的收益函数为R(x)＝3 000x－20x2，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000.
(1)求生产x台报警系统装置的利润函数P(x)及MP(x)(提示：利润是收益与成本之差)；
(2)利润函数P(x)及MP(x)是否具有最大值？最大值是多少？MP(x)取得最大值时的实际意义是什么？
解：(1)由题意得P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000，
其中x∈[1，100]且x∈N＋.
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x，
其中x∈[1，100]且x∈N＋.
(2)由(1)知P(x)＝－20x2＋2 500x－4 000＝－20 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(125,2))) eq \s\up12(2) ＋74 125，
因为x∈N＋，所以当x＝62或63时，P(x)max＝74 120.
因为MP(x)＝2 480－40x，
所以当x＝1时，MP(x)max＝2 440.
MP(x)取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统装置与生产第1台的总利润差最大．