高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数优秀练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数优秀练习，共4页。

1．下列函数属于幂函数的是( D )

A．y＝xx
B．y＝3x eq \f(1,2)
C．y＝x eq \f(1,2) ＋1
D．y＝x－ eq \r(2)
【解析】 由幂函数的定义，幂函数满足三个条件：①自变量的系数为1；②底数为自变量；③指数为常数．故选D.
2．若函数f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，则实数m的值为( A )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 依题意有2m＋3＝1，得m＝－1.
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3， \f(\r(3),3))) ，则f(4)的值为( C )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,2) D．2
【解析】 依题意有 eq \f(\r(3),3) ＝3α，所以α＝－ eq \f(1,2) ，所以f(x)＝x－ eq \f(1,2) ，所以f(4)＝4－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) .
4．下列函数中既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( B )
A．y＝ eq \r(x)
B．y＝|x|
C．y＝x＋ eq \f(1,x)
D．y＝－x2
【解析】 选项A中的函数不具备奇偶性；选项C中的函数为奇函数；选项D中的函数是偶函数，但是在区间(0，＋∞)上单调递减；选项B中的函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增．
5．函数y＝x eq \f(2,3) 图象的大致形状是( D )
A. B. C. D.
【解析】 因为y＝x eq \f(2,3) 是偶函数，且在第一象限内图象沿x轴递增，所以选项D正确．
6． eq \a\vs4\al(【多选题】) 已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是( BD )
A．f(－2)>f(1)
B．f(－2)C．f(－2)＝f(－1)
D．若|a|>|b|>0，则f(a)【解析】 幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f(x)＝ eq \f(1,x2) ，则f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是有f(－2)＝f(2)|b|>0，则f(|a|)二、填空题
7．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是__(－∞，0)__．
【解析】 因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．故α<0.
8．由幂函数的图象可知，使x3－x2>0成立的x的取值范围是__(1，＋∞)__．
【解析】 在同一坐标系中作出y＝x3及y＝x2的图象(图略)，可得不等式成立的x的取值范围是(1，＋∞).
9．若函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)，x>0，,－2，x＝0，,（x＋3）\f(1,2)，x<0，)) 则f{f[f(0)]}＝__1__．
【解析】 因为f(0)＝－2，f(－2)＝1，f(1)＝1，
所以f{f[f(0)]}＝1.
10．已知幂函数f(x)＝(k－2)xα的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) ，则k＝__3__，α＝__ eq \f(1,2) __．
【解析】 因为函数是幂函数，所以k＝3.又因为其图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) ，所以 eq \f(\r(2),2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(α) ，解得α＝ eq \f(1,2) .
11．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则m＝__2__．
【解析】 因为f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上单调递减，所以m－3<0，所以m<3.又因为m∈N*，所以m＝1或2.又因为f(x)＝xm－3是奇函数，所以m－3是奇数，所以m＝2.
三、解答题
12．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N*)的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的a的取值范围．
解：(1)由题可知，函数在R上单调递增，
∴9－3m>0，解得m<3.
又m∈N*，∴m＝1或2.
又函数图象关于原点对称，
∴9－3m为奇数，故m＝2，∴f(x)＝x3.
(2)∵f(a＋1)＋f(3a－4)<0，
∴f(a＋1)<－f(3a－4).
易知f(x)为奇函数，
∴f(a＋1)∴a＋1<4－3a，∴a< eq \f(3,4) .
13．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
解：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3.
当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，所以不满足题意，所以m＝2舍去；当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，
所以f(x)＝x－4，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－4) ＝16.
(2)由f(x)＝x－4为偶函数和f(2a＋1)＝f(a)可得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，所以a＝－1或a＝－ eq \f(1,3) .
[B级 素养养成与评价]
14．如图所示，曲线C1，C2，C3，C4是幂函数y＝xα在第一象限内的图象．已知α分别取±1， eq \f(1,2) ，2四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值分别为( B )
A．－1， eq \f(1,2) ，1，2
B．2，1， eq \f(1,2) ，－1
C． eq \f(1,2) ，1，2，－1
D．2，1，－1， eq \f(1,2)
【解析】 由幂函数的图象性质，得C1：y＝x2；C2：y＝x；C3：y＝x eq \f(1,2) ；C4：y＝x－1.
15．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n).如果m，n是幂函
数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为__③__．
【解析】 设f(x)＝xa，则f(m＋n)＝(m＋n)a，f(m)＋f(n)＝ma＋na，f(m)·f(n)＝ma·na＝(mn)a，f(mn)＝(mn)a，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立，故填③.
16．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则满足(a＋1) eq \f(m,3) <(3－2a) eq \f(m,3) 的a的取值范围是__ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3))) __．
【解析】 因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，解得－117．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N)，且满足f(2)(1)求k的值与f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数f(x)，是否存在m，使得函数g(x)＝f(x)－2x＋m在[0，2]上的值域为[2，3]？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由f(2)0，
解得－1又k∈N，所以k＝0或1，
当k＝0或1时，f(x)＝x2.
(2)由已知得g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，
当x∈[0，2]时，易求得g(x)∈[m－1，m]，
由值域为[2，3]，得m＝3，
故存在满足条件的m，且m＝3.