人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列巩固练习

专题4.2等差数列检测题（基础巩固篇）

一、单选题

1．数列满足，，则（    ）

A．19 B．16 C． D．

2．已知等差数列的前项和为，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．

4．已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．在数列中，，，若，则（    ）

A．671 B．672 C．673 D．674

6．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（    ）

A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

7．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（    ）

A．2020 B．2021

C．2022 D．2023

8．已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（    ）

A．8 B．5 C．6 D．7

二、多选题

9．（多选）下列数列是等差数列的是（    ）

A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…

C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…

10．(多选)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是（    ）

A．4 B．5

C．6 D．7

11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则下面对该数列描述正确的是（    ）

A． B． C． D．共有202项

12．（多选）在无穷等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（    ）

A． B．

C． D．中的第503项是中的第2021项

三、填空题

13．已知数列满足，，则此数列的通项公式___________.

14．设等差数列的前项和为，若，则______．

15．已知数列中，，，则其前项和______．

16．已知为数列的前项和，数列是等差数列，若，，则___________.

四、解答题

17．已知等差数列中，公差.求：

（1）的值；

（2）该数列的前5项和.

18．已知等差数列的前项和是，，.

（1）求；

（2）求的最大值，并求对应的项数.

19．已知数列为等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和的最大值.

20．已知等差数列，为其前项和，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，求．

21．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

22．已知等差数列的前项和为，，.    

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

参考答案

1．D

【分析】

从可得是等差数列，代入等差数列的通项公式即可求解.

【详解】

∵

∴

∴是等差数列，其中公差

∵

∴

故选：D

2．C

【分析】

利用等差数列的性质求出，代入求和公式计算即可．

【详解】

，，

，

所以，

故选：

3．A

【分析】

利用等差数列的求和公式计算即可.

【详解】

＝＝＝1.

故选：A.

4．A

【分析】

由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程组求公差即可.

【详解】

由题设，，解得.

故选：A

5．D

【分析】

分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.

【详解】

∵，，

∴

∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，

∴，解得.

故选：D.

6．D

【分析】

设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，从而可求出，进而可求得结果

【详解】

设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，

则有，，

故解得则，

故选：D.

7．B

【分析】

将等差数列前项和公式，改写成关于的二次函数，根据二次函数图像的对称性列出关于的方程即可求解.

【详解】

，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，

得，解得.

故选：B.

8．D

【分析】

由，，可得，再结合等差中项分析得，进而得出，由此得解.

【详解】

设等差数列的公差为，

∵，∴，∴.

∵，，∴，

∴当取最大值时.

故选：D.

9．AC

【分析】

利用等差数列的定义判断即可

【详解】

根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数，

故选：AC．

10．BC

【分析】

根据题意，可得a6＝0，根据公差d<0，可得a5>0，a7<0，分析即可得答案.

【详解】

∵在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，

∴a3＋a9＝0，∴a6＝0.

又公差d<0，∴a5>0，a7<0，

∴使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6.

故选：BC

11．AB

【分析】

利用等差数列的定义、通项公式、前项和公式进行逐一判断即可.

【详解】

将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31 ，2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列，

所以，所以，因此选项A正确；

，因此选项B正确；

，所以选项C不正确；

，∴．∴共有203项，所以选项D不正确，

故选：AB

12．AC

【分析】

由已知，求出通项，再结合选项分析即可.

【详解】

∵，，∴，故C正确；

数列中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，

∴，，故A正确，B错误；

对于D，设数列中的第m项是数列中的第k项，

则，∴当时，，

即数列中的第503项是中的第2011项，故D错误．

故选：AC

13．##

【分析】

根据等差数列的通项公式可求出结果.

【详解】

因为，，

所以.

故答案为：

14．

【分析】

由等差数列的性质可得，再由等差数列求和公式即可求出.

【详解】

是等差数列，由可得，

即，可得，

则.

故答案为：33.

15．

【分析】

利用累加法求出，从而可得，再利用裂项相消求和法可求得答案

【详解】

∵，，，…，，

累加得，得，

∴，

∴．

故答案为：

16．

【分析】

先求得的通项公式，由此求得，利用来求得.

【详解】

设等差数列的公差为，则，所以，所以，由，可得.

故答案为：

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据已知条件求得，由此求得.

（2）利用等差数列前项和公式求得.

【详解】

（1）依题意，

所以.

（2）.

18．（1）；（2）时，最大值42.

【分析】

（1）根据所给条件求得等差数列的通项公式，代入数值即可得解；

（2）由通项公式可知时，，时，，即可得解.

【详解】

（1）根据题意设等差数列的公差为，

由，所以，

由所以，

所以，

所以，

所以；

（2）由（1）知，

当时，，

特别的，

当时，，

所以当时，取最大值，最大值42.

19．（1）；（2）36.

【分析】

（1）由已知求出公差，从而可求出数列的通项公式；

（2）由（1）得，然后配方利用二次函数的性质可得答案

【详解】

解：因为为等差数列，令其公差为，

则由题意得，

得，

故

，

即的通项公式为.

（2）由（1）知，，

故

，

所以当，的最大值为.

20．（1），；（2），.

【分析】

（1）由已知，结合等差数列前n项和及通项公式求、，写出通项公式即可；

（2）由（1）可得，再应用等差数列前n项和公式求.

【详解】

（1）由题意，，可得，若公差为，

∴，故，

∴的通项公式.

（2）由（1）得，则，

∴.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）由题设有求、，写出的通项公式；

（2）应用裂项相消法，求的前项和即可.

【详解】

（1）由题意，，解得，

∴.

（2）由，

∴.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组求、，写出通项公式；

（2）由（1）可知时，，而，，分别求出、时数列的前项和即可.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，

∴，解得，

∴.

（2）由（1）知：，则，得，又，

∴时，，而，，

∴数列的前项和，而，，

∴，故.