第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式（10类热点题型讲练）-高二数学同步讲练测（人教A版选择性必修第二册）

第03讲 4.2.2等差数列的前项和公式知识点01：等差数列的前项和公式1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知数列均为等差数列．(1)设，，求；(2)设，，求；(3)设，求．【答案】(1)260(2)21.7(3)49【详解】（1）依题意，．（2），于是，从而.（3）设公差为，则，，于是，所以．知识点02：等差数列前项和公式的函数特征等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．知识点03：等差数列前项和性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则(4)若等差数列的项数为,则，。(5)若等差数列的项数为,则，，，【即学即练2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，，则 ．【答案】15【详解】设，由等差数列的性质可得，又，则，解得．故答案为：15题型01等差数列前项和的基本量计算【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）等差数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求n.【答案】(1)，.(2)11【详解】（1）设公差为，则由题意可得，又，所以，；（2）由（1）可知，即，所以.【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【答案】(1)2(2)1596(3)11【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，，设公差为d，故，解得；（2）数列为等差数列，，，设公差为d，故，解得，则；（3）由题意知数列为等差数列，，，设公差为d，则，解得，由，得，解得或（舍去），故.【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．(1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？(2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知，物体每秒下落的高度构成等差数列，设该等差数列为，前项和为，则，公差，所以，故这山的高度是.（2）由（1）可得，，解得（负值舍去），所以要经过落地.【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【答案】(1)2700(2)(3)．【详解】（1）因为，，根据公式，可得．（2）因为，，所以．根据公式，可得．（3）把，，代入，得．整理，得．解得，或（舍去）．所以．题型02利用等差数列前项和公式判断 【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ．【答案】【详解】解：依题意得，即，所以数列为等差数列，且，，设其公差为，则，所以．故答案为：.【典例2】（2023春·高二课时练习）已知一个数列的前项和．(1)当时，求证：该数列是等差数列；(2)若数列是等差数列，求满足条件．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）当时，，令，，所以时，，所以，此时，所以，所以，可得数列是公差为的等差数列.（2），令，得，所以时，，所以，所以，可得时，数列是公差为的等差数列，若数列是等差数列，则，所以．【变式1】（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）已知数列的前项和.（1）求证：是等差数列；【答案】（1）证明见解析；【详解】（1）由题意得①若，则，②若，则，经检验满足上式.故，由可知，数列是首项为23，公差为的等差数列.【变式2】（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和 求数列的通项公式；求证：数列是等差数列．【答案】（1）；（2）见解析【详解】解：当时，，当时，，满足，即数列的通项公式．证明：，当时，为常数，则数列是等差数列．题型03等差数列片段和性质【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】在等差数列中，，，成等差数列，即，设，则，于是，解得，所以．故选：A【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为等差数列的前项和为，则、、为等差数列，其公差为，因此，.故答案为：.【典例3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列的前n项和，若，则（    ）A．10 B．20 C．30 D．15【答案】A【详解】由等差数列有成等差数列，设为d，则，故.故选：A【变式1】（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）在等差数列中，已知，，则（    ）A．90 B．40 C．50 D．60【答案】D【详解】因为为等差数列，所以成等差数列，，，故，.故选：D【变式2】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，且该数列的公差为，则，所以，，因此，.故选：D.【变式3】（2023秋·上海闵行·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 .【答案】【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列，则，因为，，所以，解得.故答案为：.题型04比值问题（含同角标和不同角标）【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则 .【答案】/【详解】由等差数列的前项和公式，得，又由等差数列的性质，得，而，所以.故答案为：【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ．【答案】【详解】，由于，故答案为：【典例3】（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，令，则，所以，，所以，故选：B【变式1】（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求 .【答案】【详解】因为等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，所以，故答案为：【变式2】（2023春·湖北·高二统考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知得，可设，，则，，即，故选：.【变式3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列，的前项和分别是与，且，则 ； .【答案】 / /【详解】空1：由等差数列的前项和公式，可得，又由等差数列的性质，可得，因为，可得.空2：设，所以，，所以.故答案为：；.题型05等差数列前项和的最值问题【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（    ）A．11 B．11或12 C．12 D．12或13【答案】C【详解】根据题意由可得，整理可得.所以，由，可得；由二次函数性质可知，当时，取最小时.故选：C【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）记等差数列的前项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)求以及的最小值．【答案】(1)；(2)，的最小值为.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得，解得，于是，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，显然，当且仅当时取等号，所以，的最小值为.【典例3】（2023春·甘肃临夏·高二校考阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，.(1)求等差数列的通项公式；(2)求的最小值及对应的n值．【答案】(1)；(2)的最小值为，对应.【详解】（1）等差数列中，，，则的公差，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知，等差数列单调递增，由，得，解得，因此数列前15项均为负数，从第16项起均为正数，所以当时，取得最小值.【变式1】（多选）（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）设数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，则（    ）A． B． C．或为的最大值 D．【答案】BCD【详解】根据题意可知，由可得，即，又，所以可得公差；所以A错误，B正确；易知是关于的一元二次函数，且二次函数图象的对称轴为直线，开口向下，又因为为整数，所以当且时，是单调递增的，当且时，是单调递减的；又和关于对称轴对称，所以可得，且为的最大值，即C正确；根据二次函数性质可知，距离对称轴越近的值越大，易知，即距离对称轴比距离对称轴远，所以可得，即D正确.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为.若，则的最大值为 .【答案】【详解】设等差数列的公差为，则，所以，对称轴为，开口向下，所以当或时，最大，最大值为.故答案为：【变式3】（2023秋·山西大同·高三大同市第二中学校校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)78【详解】（1）设等差数列的公差为，∴，解得，∴数列的通项公式为.（2）由（1）知，.所以.由二次函数的性质知，对称轴方程为，开口向下，所以，当取与最近的整数即时，最大值，最大值为.题型06符合条件的最值问题【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（    ）A．数列是递增数列 B．C．当取得最大值时， D．【答案】B【详解】ABC选项，，∴，，∴，∴，且，B正确；∴公差，等差数列是递减数列，A错误；时，取得最大值，C错误；D选项，，D错误.故选：B．【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（     ）A．9 B．10 C．17 D．18【答案】D【详解】由题意可知：等差数列的前n项和为有最小值，则且，所以数列是递增数列，可得是过原点的二次函数式，且开口向上，因为，可得，则又因为，可得，则，所以使成立的正整数n的最小值为18.故选：D.【典例3】（多选）（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）设等差数列的公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ）A．数列是递增数列 B．C． D．数列中最大项为第6项【答案】BCD【详解】对于选项A、C：因为，，则，，又因为，则，解得所以等差数列是递减数列，故A错误，C正确；对于选项B：因为，所以，故B正确；对于选项D：因为等差数列是递减数列，且，，则，所以数列中最大项为第6项，故D正确；故选：BCD.【变式1】（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【详解】在等差数列{}中，由，得，则，又，∴，，则当取得最大值时，．故选：C【变式2】（多选）（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】AC【详解】，则，所以，所以，，，因为，则，故A正确；，故B错误；，故C正确；，是递增数列，，，所以中，只有最小，故D错误.故选：AC．【变式3】（多选）（2023秋·高二课时练习）设是等差数列，是其前n项和，且， ，则下列结论正确的是（     ）.A． B．C． D．与均为的最大值【答案】BD【详解】因为， ，则，故B正确；设等差数列的公差为，则，故A错误；可知数列为递减数列，可得，可得，所以，故C错误；因为为最后一项正数，根据加法的性质可知：为的最大值，又因为，所以与均为的最大值，故D正确；故选：BD.题型07求数列的前项和问题【典例1】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）若等差数列的首项，，记，则 ．【答案】【详解】因为，，则，可得等差数列的前n项和，令，解得，且，当时，则；当时，；综上所述：.故答案为：.【典例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式(2)若，求的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，当时，可得，当时，，适合上式，所以数列的通项公式为.（2）由，可得，则，令，可得，当时，可得，当时，可得，因为，所以，所以.【典例3】（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知等差数列的前n项和为，，且__________，求数列的前项和．【答案】【详解】若选条件①，设等差数列的公差为，则，.当时，，当时，，所以；若选条件②，设等差数列的公差为，且，则可化为，解得，故，当时，，当时，，所以；若选条件③，设等差数列的公差为，且，则，，当时，，当时，，所以.【变式1】（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）在公差为的等差数列中，已知，且.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)当时，，当时，；(2)65【详解】（1）由，，，解得或，当时，，当时，；（2）由， ，所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，所以==.【变式2】（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）设等差数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得：，.（2）由（1）知：当时，；当时，；当时，；当时，；.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的前n项和．【答案】【详解】因为，所以当时，，，当时，，.当时，，当时，.综上所述， 题型08等差数列奇数项偶数项和【典例1】（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知：数列的奇数项之和为，①偶数项之和为，②由②-①，得，所以，即该数列的公差为.故选：D.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，，所以，，，所以，，.故选：A.【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式．【答案】【详解】∵等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，∴，①∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有项，公差等于，+×=33，②∵，∴，③由①②③，解得，故．数列的通项公式为．【变式1】（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设等差数列的公差为，首项为，则，所以，因为，即，则，等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，所以.故选：B【变式2】（2023春·高二课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【详解】奇数项共有项，其和为，∴．偶数项共有n项，其和为，∴．故选：B．【变式3】（2023·高二课时练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【详解】解：设等差数列有奇数项，．公差为．奇数项和为40，偶数项和为32，，，，，，即等差数列共项，且故选：．题型09数列求和（倒序相加法）【典例1】（2023春·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，且，令,又，两式相加得：，解得，故选：B【典例2】（2023春·广东珠海·高二珠海市第一中学校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ．【答案】2022【详解】解：由，令，则，两式相加得：，∴．故答案为：2022【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（    ）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【详解】因为函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，等差数列满足，则 ．【答案】/【详解】.依题意是等差数列，令，，结合等差数列的性质，两式相加得.故答案为：.题型10数列求和（裂项相消法）【典例1】（2023秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知，若数列的前项和为，则的取值范围为 .【答案】【详解】因为，所以，因此，所以的取值范围为故答案为：【典例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且当时，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为当时，，且，若，则，解得，若，则，两式相减可得：，整理得，即，可得；可知不符合上式，符合上式，所以.（2）由（1）可得：，当时，则；当时，则；可知符合上式，所以.【典例3】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．(1)求和；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【详解】（1）设的公差为d（）．因为，所以，由得，解得，所以，得，所以，．（2）由（1）得，，所以．【变式1】（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）数列中，，，则（    ）A．97 B．98 C．99 D．100【答案】C【详解】，故，解得.故选：C【变式2】（2023·河南·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，因为，，所以，解得由等差数列通项公式可得．即的通项公式为（2）因为，因此，所以．即数列的前n项和.【变式3】（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，所以数列的通项公式为（2）因为，所以.所以数列的前n项和.A夯实基础 B能力提升 C综合素养A夯实基础 一、单选题1．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，解得，，故选：C.2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考阶段练习）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（    ）A．35 B．32 C．29 D．26【答案】A【详解】根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为，则，解得．故选：A3．（2023春·江西·高二统考期末）数列的前项和，则取最大值时的值为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【详解】对于函数对称轴为，开口向下，所以当时函数取得最大值，所以当时取得最大值.故选：B4．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（    ）A．66 B．72 C．132 D．144【答案】A【详解】，故选：A5．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（    ）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选：C.6．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】由于所以，要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个，故选：B7．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则数列的前10项和为（    ）A．10 B．50 C．60 D．70【答案】B【详解】由题意可知，所以单调递减，且有，记数列的前10项和为，故，故选：B8．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）在数列中，，，则数列的前项和（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，.故选：D.二、多选题9．（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）公差为的等差数列，其前项和为，下列说法正确的有（    ）A． B． C．中最大 D．【答案】CD【详解】由，得，又，得，，， ，数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，因此前六项和最大，，，，即，故A，B错误；C，D正确.故选：CD.10．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（    ）A．= B．当n = 6或7时，取得最小值C．数列的前10项和为50D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．【答案】AC【详解】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确；对于B，由A的结论，，则，由d = −2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误；对于C,,故C正确，对于D，由，则，则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：，，，，，可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，若，解可得，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．故选：AC．三、填空题11．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是 .【答案】【详解】由题意可得，即，解得，即公差的取值范围是.故答案为：.12．（2023·全国·高三专题练习）数列的通项为，其前n项和为，若，则项数 ．【答案】99【详解】依题意，，因此，而，则，解得，所以项数.故答案为：99四、解答题13．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式与前项和；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得.所以数列的通项公式为，数列的前项和.（2）由得，所以当时，，；由得，所以当时，，.所以，当时，；当时，.所以，.14．（2023秋·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，且．(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，求的最小值．【答案】(1)(2)-105【详解】（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知，，得．当时，有最小值-105．B能力提升 1．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，此时，即，则；若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，此时，，即，则，综上可得：的取值范围是，故选:B．2．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】数列前六项分别为，依题知，叠加可得：，得，当时，，满足，所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立，又，所以等号取不了，所以最小值在取得，当时，，所以最小值为.故选：C3．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为 .  【答案】【详解】根据题意：，，，,利用叠加法：，由，.所以，则.故答案为：4．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，所以数列的通项公式为（2）因为，所以.所以数列的前n项和.5．（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，因为，所以，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以或（舍去），所以满足条件的最小正整数为.C综合素养1．（2023秋·山东滨州·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（    ）A． B． C． D．8【答案】D【详解】由已知，所以，所以数列是常数列.又，所以，即，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故，由存在，使得成立可知，存在，使得成立，即，设，则，从而.记（），由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，所以的最小值是8.故选：D.2．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ）A．30 B． C． D．41【答案】B【详解】被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：，该数列即为，被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排列为：，该数列即为，数列的第一个公共项为，由题意被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列所构成的数列也是等差数列，其首项即为数列的第一个公共项，其公差为数列的公差的最小公倍数，所以数列的通项公式为，由等差数列前项公式得，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.3．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）．对于，定义集合是的整数倍，，且，则集合中元素的个数为 【答案】1024【详解】当为偶数，则 当为奇数，则综上，，当时，则，所以，由题意，则，故为奇数，又，所以，所以集合中元素的个数．故答案为：1024．4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第一中学校联考阶段练习）等差数列中，，的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)证明：对任意正数k，均存在使得成立．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）设数列的公差为d，于是，因为，所以，所以，解得，则.（2）由（1）可知，所以，，考虑，即，即，由于，则时，，且，结合上述不等式得，整理得，任取整数，则，原不等式成立，于是对于任意正数k，均存在使得成立．课程标准学习目标①掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。②会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。③能处理与等差数列相关的综合问题。能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题