2021学年4.3 等比数列同步训练题

4.3等比数列检测题（综合提升篇）

一、单选题

1．在等比数列{an}中，an>0，且a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5的值为（    ）

A．16 B．27

C．36 D．81

2．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列公比为（　　）

A． B． C． D．

3．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知数列为各项都是正数的等比数列，，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

6．记等比数列的前项和为，若，，则公比 （    ）

A． B． C． D．或2

7．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（    ）

A．元 B．元 C．元D．元

8．已知首项为的数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（    ）

A．数列是等比数列 B．数列为单调递增数列

C． D．

二、多选题

9．（多选）下列数列为等比数列的是（    ）

A．，，，，…（为常数，）

B．，，，，…

C．1，，，，…

D．，，，，…

10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A．

B．数列是等比数列

C．

D．数列是公差为2的等差数列

11．已知数列中，，则下列说法正确的是（　　）

A． B．是等比数列

C． D．

12．已知等比数列的公比为，前项和，设，记的前项和为，则下列判断正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

三、填空题

13．在正项等比数列中，若，则___________.

14．已知数列满足，且，则______．

15．已知数列满足，则__________．

16．在数列和中，，，，．设，则数列的前2022项和为______．

四、解答题

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)=-x2+3x+2的图象上.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn-an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.

18．已知数列的前项和为，，.

（1）若成等差数列，求的值；

（2）若为等比数列，求.

19．在等差数列中，已知公差，其前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求的表达式.

20．已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，若，求数列的前项和.

21．已知数列满足.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）求数列落入区间的所有项的和.

22．定义：若两个有限数列的首项､末项及项数对应相等，则称这两个数列为“同级数列".已知是首项为，公比为的等比数列，等差数列与为“同级数列”.若数列的项数为，数列与的前项和分别为和.

（1）求；

（2）当时，试比较与的大小，并说明理由；

（3）设，数列的前项和为，求.

参考答案

1．B

【分析】

根据数列的基本量的运算，由，根据an>0可得q=3，再根据，即可得解.

【详解】

∵a1+a2=1，a3+a4=9，

∴q2=9.

∴q=3（q=-3舍去），

∴a4+a5=（a3+a4）q=27.

故选：B

2．C

【分析】

运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．

【详解】

是正项等比数列，且，，

成等差数列，

故选：C．

3．B

【分析】

利用等比数列和公式计算，再计算得到答案.

【详解】

，故，故.

故选：B.

4．C

【分析】

根据已知条件求出等比数列的公比，进而可求得的值.

【详解】

设等比数列的公比为，则，因为，即，

所以，，可得，因此，.

故选：C.

5．D

【分析】

依题意可得，再利用累乘法计算可得；

【详解】

解：由，得，

即，则，，，…，，

由累乘法可得，所以，

又，符合上式，所以.

故选：D．

6．D

【分析】

根据等比数列的性质可得，再由，可得，分别求出，即可得出答案.

【详解】

解：在等比数列中，若，则，

，所以，

由，，解得，或，

当时，，

当时，，

所以或2.

故选：D.

7．D

【分析】

根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解.

【详解】

设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，

则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．

由题意，得，，，……，

，

所以．

故选：D．

8．D

【分析】

由，，可得，可得数列的奇数项、偶数项分别成等比数列，且，，故数列是公比为4的等比数列，可判断A；由可判断B；代入通项公式计算可判断C；利用通项公式和求和公式代入可判断D

【详解】

由题意，

在中，令可得

故数列的奇数项是以1为首项，16为公比的等比数列；

偶数项是以4为首项，16为公比的等比数列

故奇数项的通项公式为：，偶数项的通项公式为：

，，故数列是公比为4的等比数列，故A正确

由于，故数列为单调递增数列，故B正确；

，故C正确；

由于

故，故D错误

故选：D

9．AD

【分析】

根据等比数列的定义判断．

【详解】

A选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B选项中，，所以该数列不是等比数列；C选项中，，所以该数列不是等比数列；D选项中的数列是首项为，公比为的等比数列．

故选：AD．

10．ABC

【分析】

由，，，，公比为整数．解得，．可得，，进而判断出结论．

【详解】

解：，，，，公比为整数．

解得．

，．

，数列是公比为2的等比数列．

．

．数列是公差为的等差数列．

综上可得：只有ABC正确．

故选：ABC．

11．ABC

【分析】

根据已知条件判断出数列的奇数项和偶数项，分别是以为公比的等比数列，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.

【详解】

依题意，

所以，，

，

所以数列的奇数项和偶数项，分别是以为公比的等比数列.

.

所以，AB正确.

，C正确.

，D错误.

故选：ABC

12．AB

【分析】

先根据求得以及公比的取值范围，再由可得，计算，讨论的范围即可得与的大小关系，进而可得正确选项.

【详解】

由于是等比数列，，所以，，

当时，，符合题意；

当时，，即，

等价于或，

对于，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以，

对于可得：.

综上所述，的取值范围是；

因为，所以，

所以，

因为，且，所以，当或时，，即，故A选项正确.

当或时，，即，故B选项正确，D选项错误.

当时，，即，故C选项错误；

故选：AB.

13．

【分析】

根据等比数列的性质即可直接求出答案.

【详解】

在等比数列中，，又因为，所以.

故答案为：.

14．47

【详解】

∵，

∴数列是公比的等比数列，

∴，

∴．

故答案为：47

15．

【分析】

先判断出是首项为2，公比为3的等比数列，即可得到，从而求出.

【详解】

因为，

所以，

由，所以为首项为2，公比为3的等比数列，

所以，

所以.

故答案为：

16．4044

【分析】

根据题设的混合递推关系可得及，故可得等比数列、的通项，从而可求的通项，故可求其前2022项和.

【详解】

由，，得．

又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，即，

将，

等式两边分别相乘，得，

所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，

所以，

所以数列的前2022项和为．

故答案为：4044.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）对作差求，再检验即可.（2）求的前项和，再加上数列的前项和，则可得到数列的前项和.

【详解】

（1）由及

得时，，

时，

所以.

(2)∵，∴，又，

∴

18．

（1）；

（2） .

【分析】

（1）依题意表示出、，再根据等差中项的性质得到方程，解得即可；

（2）根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，再代入检验即可；

（1）

解：由得：

当时，，所以；

当时，，所以  ，

因为成等差数列，所以，即，

所以 ；

（2）

解：因为为等比数列，所以成等比数列，

所以，即，所以等比数列的公比，所以，

经验：当时，满足题意，

综上所述： .

19．（1）；（2）.

【分析】

（1）通过等差数列的前n项和公式和等差数列的通项公式，代入计算即可；

（2）利用错位相减法求和即可.

【详解】

（1）由题意可知

则，

又，

所以，

所以，解得

所以；

（2）由（1）可知，

所以，

则，

两式相减，得，整理得.

20．.

【分析】

根据条件可得数列是公差为2的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用分组求和法求出答案即可.

【详解】

因为数列是公比为的等比数列，所以，所以，

所以数列是公差为2的等差数列，

因为，，成等比数列，所以，所以

解得，所以

因为为数列的前项和，且是和的等差中项，

所以，

当时，有，所以，即

当时，有，所以

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以

因为

所以数列的前项和为

21．（1）证明见解析，；（2）.

【分析】

（1）分析得到是公比为2的等比数列，利用等比数列的通项即得解；

（2）解不等式，即得的范围，再利用分组求和求解.

【详解】

（1）∵，∴

由等比数列的定义可知，是公比为2的等比数列

因为首项，公比为2，所以

所以.

（2）令，因为，所以n可取4，5，6，7，8，9，10

所以，各项的和

=.

22．（1）；（2），理由见解析；（3）.

【分析】

（1）由“同级数列”的定义可得，，利用等差数列的求和公式即得解；

（2）利用等比数列的求和公式可得，作差法即可比较大小；

（3）代入可得，乘公比错位相减即可求和

【详解】

（1）由题意，得，数列与的项数均为，

，

.

（2）由（1）知，又，

设，则.

当，即，有，故.

（3），得，

①，

②，

①-②，得，

.