人教A版 (2019) 选择性必修 第二册 第四章数列单元检测题（综合提升篇）

第四章数列单元检测题（综合提升篇）

一、单选题

1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（    ）

A．5 B．8 C．10 D．14

2．数列满足，，则等于（    ）

A． B． C．2 D．3

3．某研究所计划建设n个实验室，从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

4．已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（    ）

A．16 B．128 C．32 D．64

5．在数列中，，且，则的通项为（    ）

A． B．

C． D．

6．如图，已知的面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第2022个三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

7．设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为（    ）

A．15 B．16 C．17 D．18

8．在数列中，，则（    ）

A．25 B．32 C．62 D．72

二、多选题

9．下列数列中，是等差数列的是（    ）

A．1，4，7，10 B．

C． D．10，8，6，4，2

10．已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．S16为Sn的最小值

C． D．使得成立的n的最大值为33

11．斐波那契数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称“兔子数列”．指的是这样的一个数列：，，，，，，，，，在数学上定义，，（，），则下列选项正确的是（    ）

A．（，）

B．

C．设的前项和为，若，则

D．（）

12．（多选）设数列满足，记数列的前项和为，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．数列：的一个通项公式为___________.

14．已知数列满足，，则___________.

15．正项等差数列的前和为，已知，则=__________.

16．已知数列的前n项和为，且满足，，则_________．

四、解答题

17．设是公比不为的等比数列，为，的等差中项，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．已知数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是等比数列，公比为，且满足，，求数列的前项和.

19．已知等差数列为递增数列，且满足，且成等比数列，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，为数列的前n项和，求．

20．已知数列的通项公式为.

（1）求这个数列的第10项；

（2）是不是该数列中的项？为什么？

（3）在区间内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由.

21．已知数列满足，．

（1）设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．

22．设数列{an}的前n项和为Sn.若，则称{an}是“紧密数列”.

（1）若数列{an}的前n项和，证明：{an}是“紧密数列”；

（2）设数列{an}是公比为q的等比数列.若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围.

参考答案

1．C

【分析】

直接利用等差数列的性质计算

【详解】

a1＋a7＝a3＋a5＝10.

故选：C

2．A

【分析】

根据题意，由数列的递推公式求出数列的前几项，进而可得出周期是，即可得出结果.

【详解】

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以数列的周期是，所以.

故选：A.

3．C

【分析】

根据等差数列通项公式，列出方程组，求出的值，进而求出令根据题意令，即可求解.

【详解】

设第n实验室的建设费用为万元，其中，则为等差数列，设公差为d，

则由题意可得，解得，则.

令，即，解得，又，所以，，

所以最多可以建设12个实验室.

故选：C.

4．D

【分析】

先用累乘法求出，对四个选项验证得符合题意，即可求解．

【详解】

，

当时，．

故选：D．

5．A

【分析】

依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；

【详解】

解：∵，∴，

由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．

故选：A

6．B

【分析】

由于题设所得的三角形均为相似三角形，且前后两个三角形面积的比例为，即所有三角形面积构成一个等比数列，写出数列通项，进而求第2022个三角形的面积.

【详解】

由三角形相似知：后一个三角形的面积是前一个的，

设第n个三角形的面积为，则数列是首项，公比的等比数列，

∴，

∴第2022个三角形的面积为．

故选：B．

7．D

【分析】

由已知条件利用等差数列的下标定理即可求解.

【详解】

解：由题意可得

即①

②

且等差数列满足

①②两式相加得

代入求和公式可得

解得

故选：D.

8．B

【分析】

令，故函数在上单调递减，在上单调递增，进而得当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可.

【详解】

解：令函数，

由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，

所以

所以

故选：B

9．ABD

【分析】

根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果.

【详解】

根据等差数列的定义，可得：

A中，满足(常数)，所以是等差数列；

B中，满足(常数)，所以是等差数列；

C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；

D中，满足(常数)，所以是等差数列.

故选：ABD.

10．AC

【分析】

根据已知条件求得，结合等差数列前项和公式确定正确选项.

【详解】

，

当时，，

当时，，也符合上式，所以，A正确.

由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误.

由解得，

所以，C正确.

，所以使成立的的最大值为，D错误.

故选：AC

11．ABC

【分析】

利用递推公式逐一判断即可.

【详解】

，故正确；

，故正确；

，，，迭加得，故正确；

，故错误．

故选：ABC

12．ABD

【分析】

依题意当时，求出，再利用作差法得到，即可得到的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和即可；

【详解】

解：由题意，当时，得，

令，

则当时，

所以，

即．又时，也成立，

∴，故数列的通项公式为，

∴

，即有．

故选：ABD．

13．或

【分析】

根据该数列的奇数项都为，偶数项都为得出通项公式.

【详解】

由题意可知，该数列的奇数项都为，偶数项都为

则或

故答案为：或

14．

【分析】

根据，得，求出数列的前几项，从而可得数列是以3为周期的周期数列，从而可得出答案.

【详解】

解：因为，所以，

则，

，

，

所以数列是以3为周期的周期数列，

所以.

故答案为：.

15．45

【分析】

根据题意可得，再根据，求得，再利用等差数列前n项和的公式即可得解.

【详解】

解：由等差数列可得，

又，则，解得或，

又因为，所以，

所以.

故答案为：45.

16．

【分析】

由时，，可得，利用累乘法得，从而即可求解.

【详解】

解：因为，所以时，，即，化简得，又，

所以，

检验时也成立，

所以，

所以，

故答案为：.

17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）设公比为，由题意可得，解得，可得；（Ⅱ）根据以及，可得，可得.

【详解】

解：（Ⅰ）设的公比为．

因为为，的等差中项，

所以，即，

又因为，

所以，

即，

因为，

所以．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以．

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用可求得数列的通项公式；

（2）求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的表达式.

【详解】

（1）因为数列的前项和，

当时，，

又当时，满足上式，

所以，；

（2）由（1）可知，，，

又，，

又数列是等比数列，，又，所以，，则，

因此，.

19．（1）；（2）

【分析】

（1）设等差数列的公差为，即可表示出，再根据等比中项的性质得到方程，求出，即可得解；

（2）由（1）可得，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．

【详解】

解：（1）设等差数列的公差为，则，，，因为成等比数列，所以，即，解得（舍去）或，

所以；

（2）因为，所以

所以

．

20．（1）；（2）不是，理由见解析；（3）有，只有一项.

【分析】

先化简通项，（1）中令，计算即得解；（2）中令，结合即得解；（3）令，结合即得解

【详解】

.

（1）令，得第10项.

（2）令，得.

此方程无正整数解，∴不是该数列中的项.

（3）令，则，

解得.又，∴.

∴区间内有数列中的项，且只有一项.

21．（1）；（2）存在，3．

【分析】

(1)结合递推关系可证得bn+1－bn1，且b1＝1，可证数列{bn}为等差数列，据此可得数列的通项公式；

(2)结合通项公式裂项有求和有，再结合条件可得 ，即求．

【详解】

（1）证明：∵，

又由a1＝2，得b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以bn＝1+(n－1)×1＝n，

由，得．

（2）解：∵，，

所以，

 依题意，要使对于n∈N*恒成立，

只需，解得m≥3或m≤-4．

又m＞0，所以m≥3，

所以正整数m的最小值为3．

22．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由，利用数列通项与前n项和的关系得到，再利用“紧密数列”的定义证明；

（2）由q=，结合{an}是“紧密数列”，得到≤q≤2.然后q=1时， q≠1，得到Sn，再根据数列{Sn}为“紧密数列”，由对于任意n∈N*恒成立求解；

【详解】

（1）由数列{an}的前n项和，

得，

当时，适合上式，

所以

所以==1+.

因为对任意n∈N*，0<≤，即1<1+≤，

所以1<=1+≤，

所以≤≤2，即{an}是“紧密数列”.

（2）由数列{an}是公比为q的等比数列，得q=，

因为{an}是“紧密数列”，所以≤q≤2.

①当q=1时，Sn=na1，=1+，

所以≤1<=1+≤2.

故q=1时，数列{Sn}为“紧密数列”，故q=1满足题意.

②当q≠1时，Sn=，

则.

因为数列{Sn}为“紧密数列”，

所以对于任意n∈N*恒成立.

（i）当≤q<1时，（1-qn）≤1-qn+1≤2（1-qn），

即对于任意n∈N*恒成立.

因为0<qn≤q<1，0≤2q-1<1，-≤q-2<-1，

所以qn（2q-1）<q<1，qn（q-2）≥q（q-2）≥×=->-1，

所以，当≤q<1时，对于任意n∈N*恒成立.

（ii）当1<q≤2时，（qn-1）≤qn+1-1≤2（qn-1），

即对于任意n∈N*恒成立.

因为qn≥q>1，2q-1>1，-1<q-2≤0，

所以解得q=1.

又1<q≤2，此时q不存在.

综上所述，q的取值范围是.