高中数学4.4* 数学归纳法综合训练题

专题4.4数学归纳法检测题（综合提升篇）

一、单选题

1．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（    ）

A． B． C． D．

2．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边增加了（    ）

A． B． C． D．

3．用数学归纳法证明某命题时，若当时，设，那么当时，可表示为（    ）

A． B．

C． D．

4．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上（    ）

A．增加一项 B．增加2k+1项 C．增加2k项 D．增加2项

5．已知数列中，，用数学归纳法证明能被4整除，假设能被4整除，然后应该证明（    ）

A．能被4整除 B．能被4整除

C．能被4整除 D．能被4整除

6．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（    ）

A．3k－1 B．3k＋1

C．8k D．9k

7．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，命题不成立

B．当时，命题可能成立

C．当时，命题不成立

D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立

10．对于不等式，某学生用数学归纳法的证明过程如下：

①当时，，不等式成立

②假设，时，不等式成立，即，则时，，∴当时；不等式成立．

关于上述证明过程的说法正确的是（　　）

A．证明过程全都正确

B．当时的验证正确

C．归纳假设正确

D．从到的推理不正确

11．已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．以下四个命题，其中满足“假设当（，）时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ）

A．

B．

C．凸n边形的内角和为

D．凸n边形的对角线条数

三、填空题

13．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______．

14．对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.

15．用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．

16．已知各项均为正数的数列，前项和，则通项______.

四、解答题

17．在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？

18．设正项数列满足，且______．

在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，并求解下列问题：

（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想．

19．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*).

（1）求x2，x3，x4的值；

（2）归纳数列{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明.

20．数列的前n项和记为，已知．

（1）求的值，猜想的表达式；

（2）请用数学归纳法证明你的猜想．

21．已知函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*）

（1）求f（n+1）﹣f（n）；

（2）用数学归纳法证明f（n）＝（﹣1）n•n．

22．已知函数的最大值不大于，且当时，．

（1）求的值；

（2）设，，，证明．

参考答案

1．B

【分析】

根据数学归纳法的步骤，结合数学归纳法的步骤进行验证，即可求解.

【详解】

因为，故数学归纳法应验证的情况，即.

故选：B.

2．A

【分析】

把和时，不等式左边的式子写出，对比可得答案

【详解】

当时，左边，

当时，左边

所以不等式左边增加了，

故选：A

3．C

【分析】

根据和的表达式之间的关系进行求解即可.

【详解】

因为，

，

所以可以表示为，

故选：C

4．B

【分析】

数学归纳法证明时，当时左端应在的基础上加上的式子，可以分别使得，和代入等式，然后把时等式的左端减去时等式的左端，即可得到答案．

【详解】

解：当时，等式左端，

当时，等式左端，

增加了项增加的项数：．

故选：B．

5．C

【分析】

根据题意知时假设能被4整除，那么下一步验证时的情况即可.

【详解】

由假设能被4整除，可知这是当时的情况，

则当时，应该证明能被4整除.

故选:C

6．C

【分析】

根据题意，写出的表达式，然后求差即得，注意表达式的起始项、终止项和中间项的变化.

【详解】

因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，

f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，

则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.

故选：C.

7．B

【分析】

分别令，计算左右两边，观察不等式是否成立，即可求出正确答案.

【详解】

当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，不成立；
当时，左边，右边，成立；

即左边大于右边，不等式成立，
则对任意的自然数都成立，则的最小值为，
故选：B．

8．C

【分析】

根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.

【详解】

因为数列满足，，

若，则，不满足，故A错误；

若，则，，，

不满足，故D错误；

又此时，不满足，故B错误；

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立；

构造函数，，，所以，

则在上显然恒成立，

所以在上单调递增；

因此在上单调递增，所以，

猜想，对任意恒成立；

下面用数学归纳法证明：

（1）当时，，显然成立；

（2）假设当时，不等式成立，即恒成立；

则时，，

因为函数在上单调递增；

所以，

即成立；

由（1）（2）可得；，对任意恒成立；故C正确.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查数列递推式的应用，涉及数学归纳法证明不等式，属于常考题型.

9．AD

【分析】

利用给定信息结合反证法的思想，逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答.

【详解】

如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确；

如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确；

当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D正确.

故选：AD

10．BD

【分析】

写出正确的数学归纳法的证明过程，对比即可判断证明过程的正确性

【详解】

对于不等式

①当时，代入上式可得：，不等式成立，故题干中当时的验证正确，所以选项B正确

②假设，时，不等式成立，即，所以题干中时步骤错误，即归纳假设错误，所以选项A，C错误；当时，，由假设得：，所以

即，∴当时；不等式成立．

对比可得：题干中从到的推理不正确，选项D正确

故选：BD

11．BD

【分析】

根据可得，在结合，从而可计算出、、的值，猜想，再利用数学归纳法加以证明即可对选项逐一判断．

【详解】

由，得，

又，得；；，所以选项错误．

猜想，

证明：当时，，等式成立，假设当时，成立，

则当时，

有，

即当时等式也成立，所以选项正确．

由题意知，所以选项错误；

由，所以选项正确．

故选：．

12．BC

【分析】

按照数学归纳法的解题步骤逐一分析即可得结果.

【详解】

对于命题入，，当时有，

故当n等于给定的初始值时命题成立，故不满足条件；

对于命题B，，

假设当时命题成立，即，

当时有

，

故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，

所以当时命题不成立，故满足条件；

对于命题C，凸n边形的内角和为，

假设当时命题成立，即，当时有，

故当时命题也成立，当时内角和为，命题不成立，故满足条件；

对于命题D，凸n边形的对角线条数，

假设当时命题成立，即，

当时有，

故不满足条件．

故选：BC.

13．

【分析】

将代入左边的式子即可求解.

【详解】

因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1

所以，左边的式子为，

故答案为：

14．5

【分析】

当n＝1时，求出a＝3或5，再由当a＝3且n＝2时，不能被14整除，即可得出答案.

【详解】

当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；

当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.

故答案为：5

15．

【分析】

首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.

【详解】

假设时成立，即成立，

当时，

，

故只需证明“”成立即可．

故答案为：.

16．

【分析】

通过计算出数列前几项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可．

【详解】

，，

解得： 或 (舍)，

，即，

整理得：，

解得：或 (舍)，

，即，

整理得：，

解得：或 (舍)，

猜想： .

下面用数学归纳法来证明：

①当n=1时，命题显然成立；

②假设当n=k(k⩾2)时,有，

则

整理得：，

解得：或 (舍)，

即当n=k+1时，命题也成立；

由①、②可知数列的通项公式.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由递推关系求通项公式，考查了归纳推理的应用，同时考查了利用数学归纳法证明，属于中档题.

17．；

【分析】

观察首项，末项，中间的变化规律，并写出当和时的式子，对比得到左边增加的部分，右边增加的部分.

【详解】

时，左边为，

时，变为，

故由到的变化过程中，左边增加的都分是；

时，右边为，

时，变为，

右边增加的部分是.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了数学归纳法中由到时式子的变化规律，观察首项，末项，中间的变化规律,并分别写出和时的式子是解题的关键.

18．答案不唯一，具体见解析

【分析】

若选①，（1）由已知条件可得，，，可得，（2）用数学归纳法证明，当时，利用可求出即可，

若选②，（1）由已知条件求出，从而可猜想得，（2）利用数学归纳法证明时，当时，利用求出即可，

【详解】

若选①，

（1）由，，可得，，，

猜想．

（2）下面用数学归纳法证明．

当时，，猜想成立；

假设当时，猜想成立，即；

则当时，，

即当时，猜想也成立，

所以数列的通项公式为．

若选②，

（1）由，可得，因为是正项数列，所以，

由，解得，

由，解得，

猜想．

（2）下面用数学归纳法证明．

当时，，猜想成立；

假设当时猜想成立，即；

则当时，由，可得，

因为是正项数列，所以，得到，

所以，

即当时，猜想也成立，

所以数列的通项公式为．

19．（1）x2＝，x3＝，x4＝；（2）xn＝，证明见解析.

【分析】

（1）由f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)可依次求出x2，x3，x4的值；

（2）由x1，x2，x3，x4的值可归纳出xn＝，然后利用数学归纳法证明即可

【详解】

（1）x2＝f(x1)＝，x3＝f(x2)＝＝＝，x4＝f(x3)＝＝.

（2）根据计算结果，可以归纳出xn＝.

证明：①当n＝1时，x1＝＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立.

②假设当n＝k(k∈N*)时，公式成立，即xk＝，

那么，xk＋1＝＝＝＝，

所以当n＝k＋1时，公式也成立.

由①②知，当n∈N*时，xn＝.

20．（1），，，；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据，求出 ，从而可求出，，，，观察规律，可猜测；

（2）首先验证当时，，等式成立，然后假设当时，等式成立，即，只需证明当时，即可.

【详解】

（1）∵，

∴，，．

∴猜想．

（2）①当时，，猜想成立．

②假设当时，猜想成立，即，

∴当时，，

∴当时猜想成立．

由①②得，得证．

21．（1）；（2）详见解析.

【分析】

（1）由函数f（n）得到f（n+1）求解；

（2）利用数学归纳法证明.

【详解】

（1）因为函数f（n）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1），（n∈N*），

所以函数f（n+1）＝﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n•（2n﹣1）+（n∈N*），

所以f（n+1）﹣f（n）=，

（2）当时，左边=，右边=-1，等式成立；

假设时，结论成立，即成立，

则时，，

，

，

所以时，结论也成立，

f（n）＝（﹣1）n•n．得证.

22．（1）；（2）证明见解析．

【分析】

（1）利用二次函数的性质，可得，解得，转化当时，为，结合的范围可得，求解即可.

（2）利用数学归纳法，按照步骤证明即可.

【详解】

（1）由题意，知，

又，所以，

所以，即．

又函数图象的对称轴为，且，

所以当时，，

所以，解得，

所以．

（2）用数学归纳法证明：

①当时，，显然原不等式成立．

因为当时，，

所以．

故当时，原不等式也成立．

②假设当（，）时，不等式成立．

由（1）知，其图象的对称轴为直线，

所以当时，为增函数．

所以由，得．

于是，，

所以当时，原不等式也成立．

根据①②，知对任何，不等式成立．