高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教学设计及反思，共10页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《等差数列》教学设计
课时3等差数列的前n项和公式
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
等差数列的概念
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
【考查内容】
1.等差数列中基本量的计算(知三求二),通常涉及用性质解决等差数列的片段求和等问题
2.求等差数列前n项和的最值
3.依据求与等差数列相关的递推数列的求和问题(如裂项相消求和、分组求和及倒序相加求和)
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
等差数列的性质及应用
逻辑推理
数学运算
等差数列的前n项和公式
逻辑推理
数学运算
等差数列前n项和公式的应用
数学建模
数学运算
一、本节内容分析
本节内容是对等差数列及其前n项和公式的初步探究,主要介绍等差数列的概念、性质及应用;等差数列前n项和公式的性质及应用,这些内容是等差数列的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题,体会等差数列与一元一次函数的关系.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.等差数列的概念
2.等差数列的性质及应用
3.等差数列的前n项和公式
4.等差数列前n项和公式的应用
数学运算
数学建模
逻辑推理
核心素养





二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生已经学习了数列的概念以及表示方法,所以学习本节等差数列是有知识基础的,但是本节知识作为高考数学深入探究考查的一个重点,大部分学生还是会对等差数列的性质应用以及前n项和公式的推导及应用等方面有难度,不仅包括理解上的难度,也有计算上的难度.对前n项和公式的推导上也存在逻辑推理的困难.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.等差数列的概念
2.等差数列的性质及应用
3.等差数列的前n项和公式
4.等差数列前n项和公式的应用
【教学目标设计】
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并利用等差数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.
3.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.
4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模核心素养水平.
【教学策略设计】
因为等差数列问题在日常生活中有大量的应用,如存款利息,每日温差等与人们生活关系密切的现实问题,人们解决许多实际问题也需要有关数列的知识.实际教学中可以利用教材中的实际案例作为教学引入,引导学生注意观察数字或图形的变化特征,锻炼逻辑推理核心素养,充分发挥学生自主探究学习的能动性,实现情境教学、先学后教的教学策略,提高学生自主探究的能力,对等差数列及其前n项和有深入的理解和灵活的掌握.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系.
难点:
1.概括通项公式推导过程中体现出的数学思维方法.
2.等差数列前n项和公式推导思路的获得.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,今天的这个题目非常有意思,是一个我们都熟悉的数学家在他年少上学时的故事:据说,200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:?可能很多同学都知道高斯的算法,那么现在就请你再思考一下,高斯是如何想到了这个方法,这个方法和等差数列的前项和又有怎样的关系?
【学生阅读教材,积极思考,交流讨论】
师:对于等差数列,求其前100项和,高斯的办法是将首项和末项、第二项和倒数第二项依次相加,从而使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和问题.这是简化运算的一种方法.实际上,高斯的这个办法是应用的等差数列的什么性质?
【引导学生回忆上节课知识,并进行应用】
生:等差数列的对称性.
师:很好.如果我们把这种方法推广到任意数,求数列前项的和,是否可以推导出公式呢?
【设情境 巧激趣】
由数学家的故事引出本节课题,激发学生探索学习的兴趣,又从中可探究出重要的数学方法.
教学精讲
【方法策略】
等差数列的前项和公式的推导
当是偶数时,有,于是有.
当为奇数时,有

所以,对任意正整数都有.
师:因为数有奇偶之分,我们将奇数偶数分开来推导,最终都指向同一个式子,那它也就是这个等差数列,的前项和公式了.如果我们把上述推导过程中的各项依次用等来表示,则可以总结出等差数列奇偶项数的性质.
【设情境 巧引入】
教师设置情境,引导学生回忆上节课的学习内容,把等差数列的对称性推广到任意数,为等差数列前n项和公式推导做铺垫.
【推测解释能力】
把n分奇数和偶数两种情况,推导得到等差数列的前n项和的公式,培养学生的推测解释能力.
【要点知识】
等差数列前项和公式的推导
设为等差数列,公差为.
(1)若共有项,则;
(2)若共有项,则.
【猜想探究能力】
在开放的问题情境中,借助已有的知识经验,推理探究出新的结论总结,培养猜想探究能力.
师:上述方法是利用奇偶项推导公式,还有没有其他的办法可以推导出公式?
【方法策略】
等差数列前项和公式的推导
,将上述两式相加,可得,所以.
师:同学们,这个方法较之前者,是不是又简便许多,那这个推导过程也是需要大家记住的,它叫倒序相加法,对于一些题目中的等差数列都可以利用这个办法求出前项和公式.那我们这个推导其实还是针对于这个等差数列的,如果我们把上述推导过程中的各项依次用来表示,是不是可以得到普遍适于所有等差数列求前项和呢?
【推测解释能力】
由数列前n项和的特点,进行倒序相加,在这种特定情境中,引导学生发散思维,思考这种方法的推理过程,有助于学生对知识的理解和掌握.
【学生独立思考,交流讨论,教师讲解总结】
【要点知识】
等差数列前项和公式
若数列是等差数列,首项为,公差为,则前项和①或.
师:同学们看到等差数列的前项和公式实际上有两种写法,也就是上述的公式①和公式②,那么我们知道将通项公式代入①就会得到公式②.假如不代入通项公式,你可以直接推导出公式②吗?
生:等差数列前项和实际上先有个相加,然后还有,即.所以前项和公式又可以写作.
【自主学习】
教师提出问题,引导学生自主探究,学生自主思考得到普通适用于所有等差数列的前n项和公式.
师:很好.那知道了等差数列的前项和公式,由公式以及等差数列的特点,我们可以再总结得到如下等差数列前项和的性质.
【要点知识】
等差数列的前项和公式的性质
1.若等差数列的前项和为,则成公差为的等差数列.
2.若等差数列的前项和为,则数列是等差数列,且首项为,公差为.
师:仿照通项公式,前项和公式又有哪些作用呢?即“知三求二”,在五个基本量中已知其三可求二.好,我们来看一道例题.
【典型例题】
等差数列的前项和公式的简单应用
例1 已知数列是等差数列.
(1)若,求;
(2)若,求;
(3)若,求.
师:那么这道题目,我们班上同学分成3组,每组同学选出一个代表,依次讲给全班听,重要的是我们要将出现的公式和内在关系记熟.
【学生积极思考,认真计算,分组交流,讲题训练,教师作点评总结】
【典型例题】
等差数列的前项和公式的简单应用
例2 已知一个等差数列前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?
师:此题已知等差数列的前10项和、前20项和,怎样确定它的通项公式?
生:可以列方程组.
师:很好.通过解方程组,可以得到首项是4,公差是6.那接下来我们再练习一些习题,把前项和公式的性质及应用及时掌握.
【活动学习】
教师组织学生分组学习,学生根据教师给定问题,在特定情境中,以小组为单位,通过合作交流得到答案.
师:根据所学我们来进行巩固练习.
【巩固练习】
等差数列的前项和公式
1.根据下列各题中的条件,求相应等差数列的前项和.
(1);(2);
(3);(4).
2.等差数列的前多少项的和是?
3.在等差数列中,为其前项的和,若,求.
4.在等差数列中,若,求.
5.已知一个等差数列的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数.
【分析计算能力】
通过巩固练习,回顾复习本节知识点,运用等差数列的前n项和公式解题,锻炼学生分析计算能力.
师:好的,同学们,本节课我们主要学了等差数列前项和公式的推导、性质及应用.下面请同学具体帮我们回忆一下本节课的重点概念.
【学生回忆,教师总结】
【课堂小结】
等差数列的前项和公式
1.等差数列前项和公式的推导过程.
2.前项和公式的性质,由奇数项和、偶数项和求中间项,由前项和构造新的等差数列.
3.等差数列前项和公式的应用,即在五个基本量中已知其三可求二.
师:很好!通过本节课的学习,我们需要理解并掌握等差数列的前项和公式的推导过程,倒序相加法,以及前n项和公式的性质及应用.关于前n项和的公式,这节课我们实际上说了两个,其实还有一个,就是在今天的基础上再稍加改写,更综合性的学习,我们下节课再去探讨.
【设计意图】
通过故事导入、自主、深度、意义学习等方式,掌握等差数列的前n项和公式,培养了推测解释、分析计算、猜想探究能力、提升数学运算、逻辑推理核心素养.
教学评价
等差数列的通项公式和前项和公式本身具有很多性质,有关通项公式和前项和公式的应用问题解法角度会有多个,解决问题需应对解题策略方法有所选择.
应用所学知识,完成下面各题:
1.若数列为等差数列,求.
思路:本题通过等差数列的概念和性质来求解通项公式.
解析:方法一:令数列的首项为,公差为,则即解得
方法二:∵,∴.
方法三:∵为等差数列,,∴解得.
方法四:∵为等差数列,∴为等差数列,
∴,又.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提高学生的学科能力,提升核心素养.
2.等差数列的前项和为,若.
(1)求公差的取值范围;
(2)为何值时,最大,并说明理由.
思路:本题通过利用等差数列的前项和性质求基本量的取值范围和最值.
解析:(1)由
又由,得,代入不等式组,∴解得.
(2)方法一:由(1)知:且数列是递减数列,由得即中最后一个正数项是开始为负数项,∴当时,最大.
方法二:由(1)知:且数列是递减数列,若要最大,需确定数列中最后一个非负数项是第几项.由,即,由,即,∴中最后一个正数项是开始为负数项,∴当时,最大.
方法三:,
∵当最小时,有最大值,
∴当时,,
∴当时,最小,即最大.
方法四:是等差数列,故设,如图所示.

∵,∴抛物线与轴的另一个交点在与之间.
∴对称轴的位置在6与之间,
易知对应的点与对称轴的距离比对应的点与对称轴的距离要近,故为最高点,最大.
【分析计算能力】
本题为已知等差数列的某两项,来求解通项公式,通过4种不同的方法分析计算.培养学生的类比、分析计算能力.
【简单问题解决能力】
本题为等差数列前n项和的性质及应用,求解公差的取值范围利用的公式即可.求解的最大值,需利用通项公式法和二次函数法提高学生的简单问题解决能力.
教学反思
学完本节,我们应该理解等差数列的概念,理解其通项公式的含义,并能够利用通项公式解决生活中的一些数列问题;理解并掌握等差数列的性质,从函数角度出发的单调性以及从图象出发的对称性,可以在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能利用其性质去证明一些等量关系;需要理解前n项和的推导过程,理解倒序相加法,掌握前n项和的三种公式,当利用二次函数的性质求最值时,需要注意n为正整数.
【以学定教】
理解等差数列的概念、通项公式、前n项和公式以及其性质和应用,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生学习等差数列概念及性质与应用等知识的实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.