第五章过关检测题 高中数学 新人教A版选择性必修第二册（2022年）

这是一份第五章过关检测题 高中数学 新人教A版选择性必修第二册（2022年）

第五章过关检测（时间:120分钟　满分:150分）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若函数f（x）=α2-cos x，则f'（α）等于（　　）A.sin α B.cos α C.2α+sin α D.2α-sin α1.【答案】A【解析】f'（x）=（α2-cos x）'=sin x，当x=α时，f'（α）=sin α.2.设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a=（　　）A.1 B.12 C.-12 D.-12.【答案】A【解析】y'=2ax，于是切线斜率k=2a，由题意知2a=2，解得a=1.3.观察（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cos x）'=-sin x，归纳可得:若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=（　　）A.f（x） B.-f（x） C.g（x） D.-g（x）3.【答案】D【解析】观察可知，偶函数f（x）的导函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x）.4.函数f（x）=（x-3）ex的单调递增区间是（　　）A.（-∞，2） B.（0，3） C.（1，4） D.（2，+∞）4.【答案】D【解析】f'（x）=（x-2）ex，由f'（x）>0，得x>2，所以函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）.5.若函数f（x）=13x3-f'（1）·x2-x，则f'（1）的值为（　　）A.0 B.2 C.1 D.-15.【答案】A【解析】f'（x）=x2-2f'（1）·x-1，则f'（1）=12-2f'（1）·1-1，解得f'（1）=0.6.若函数f（x）=-x3+3x2+9x+a在区间[-2，-1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（　　）A.-5 B.7 C.10 D.-196.【答案】A【解析】f'（x）=-3x2+6x+9=-3（x+1）（x-3），令f'（x）=0，解得x=-1或x=3.则当x∈[-2，-1]时，f'（x）≤0.所以函数f（x）在区间[-2，-1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（-2）=2+a=2，解得a=0，则f（x）在区间[-2，-1]上的最小值为f（-1）=a-5=-5.7.若函数f（x）=x-13sin 2x+asin x在区间（-∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）A.[-1，1] B.-1,13 C.-13,13 D.-1,-137.【答案】C【解析】由题意，得f'（x）=1-23cos 2x+acos x≥0在区间（-∞，+∞）上恒成立，即-43cos2x+acos x+53≥0在区间（-∞，+∞）上恒成立.设t=cos x（-1≤t≤1），g（t）=-43t2+at+53（-1≤t≤1），则g（t）≥0在区间[-1，1]上恒成立，于是有g(-1)=-43-a+53≥0,g(1)=-43+a+53≥0,解得-13≤a≤13，故所求a的取值范围为−13,13.8.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f'（x），f'（0）>0，且对于任意实数x，有f（x）≥0，则f(1)f'(0)的最小值为（　　）A.3 B.52 C.2 D.328.【答案】C【解析】由题意，得f'（x）=2ax+b.由对任意实数x，有f（x）≥0，知函数f（x）的图象开口向上，所以a>0，且Δ=b2-4ac≤0，所以ac≥b24.因为f'（0）>0，所以b>0，所以ac≥b24>0，又a>0，所以c>0.所以f(1)f'(0)=a+b+cb≥b+2acb≥b+2b24b=2，当且仅当a=c=b2时，取等号.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列四个函数中，既有极小值又有最小值的是（　　）A.y=|x| B.y=ex-x-1 C.y=xln x-5 D.y=x-sin x9.【答案】ABC【解析】函数y=|x|，当x=0时，函数取得极小值也是最小值.函数y=ex-x-1，求导得y'=ex-1.令y'=0，解得x=0.当x<0时，y'<0，f（x）在区间（-∞，0]上单调递减;当x>0时，y'>0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增.所以当x=0时，函数取得极小值也是最小值.函数y=xln x-5，y'=ln x+1.令y'=0，解得x=1e.根据函数的单调性，可得当x=1e时，函数y取得极小值也是最小值.函数y=x-sin x，因为x∈（-∞，+∞），sin x∈[-1，1]，所以y=x-sin x没有最小值.故选ABC.10.若函数exf（x）（e=2.718…，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.给出下列函数，不具有M性质的为（　　）A.f（x）=ln x B.f（x）=x2+1 C.f（x）=sin x D.f（x）=x310.【答案】CD【解析】对于A，f（x）=ln x，令g（x）=exln x，则g'（x）=exlnx+1x，令h（x）=ln x+1x，则h'（x）=1x−1x2=x-1x2，则h（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，故h（x）≥h（1）=1，所以g'（x）>0，从而g（x）在f（x）的定义域（0，+∞）上单调递增，故f（x）=ln x具有M性质;对于B，f（x）=x2+1，令g（x）=exf（x）=ex（x2+1），则g'（x）=ex（x2+1）+2xex=ex（x+1）2≥0在R上恒成立，因此g（x）=exf（x）在f（x）的定义域R上单调递增，则f（x）=x2+1具有M性质;对于C，f（x）=sin x，令g（x）=exsin x，则g'（x）=ex（sin x+cos x）=2exsinx+π4，显然g（x）在f（x）的定义域R上不单调，故f（x）=sin x不具有M性质;对于D，f（x）=x3，令g（x）=exf（x）=exx3，则g'（x）=exx3+3exx2=exx2（x+3），当x<-3时，g'（x）<0，因此g（x）=exf（x）在f（x）的定义域R上先单调递减后单调递增，故f（x）=x3不具有M性质.故选CD.11.已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7，其导函数为f'（x），下列命题中是真命题的为（　　）A.f（x）的单调递减区间是23,2B.f（x）的极小值是-15C.当a>2时，对任意的x>2，且x≠a，恒有f（x）2时，g'（x）>0，故g（x）即f'（x）在区间（2，+∞）上单调递增.设G（x）=f（x）-f（a）-f'（a）（x-a）（x>2），则G'（x）=f'（x）-f'（a）.令G'（x）=0，得x=a.根据函数的单调性，知函数G（x）在x=a处取得极小值也是最小值G（a）=0.故当a>0时，对任意的x>2，且x≠a，恒有G（x）>0，即f（x）>f（a）+f'（a）（x-a）.故C错误.故选BD.12.对于函数f（x）=lnxx2，下列说法正确的是（　　）A.f（x）在x=e处取得极大值12eB.f（x）有两个不同的零点C.f（2）e212.【答案】ACD【解析】函数f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=(lnx)'·x2-lnx·(x2)'x4=x-2xlnxx4=1−2lnxx3.令f'（x）=0，解得x=e.当00，f（x）在区间（0，e）内单调递增;当x>e时，f'（x）<0，f（x）在区间（e，+∞）上单调递减.所以函数f（x）在x=e处取得极大值f（e）=12e.因为函数f（x）在区间（e，+∞）上单调递减，f（2）=f（2），2>π>3，所以f（2）1+lnxx2.设g（x）=1+lnxx2，则g'（x）=-1+2lnxx3（x>0）.令g'（x）=0，解得x=e-12.根据函数g（x）的单调性，得g（x）max=g（e-12）=e2，则k>e2.故D正确.故选ACD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数f（x）=ln x-x的单调递增区间为　　　　　. 13.【答案】（0，1）【解析】令f'（x）=1x-1>0，解不等式得x<1，又函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以00，所以当f（a）=0时，a∈（0，1）.又g（x）=ln x+x2-3在区间（0，+∞）内单调递增，且g（1）=-2<0，所以g（a）<0.由g（2）=ln 2+1>0，g（b）=0，得b∈（1，2）.又f（1）=e-1>0，且f（x）=ex+x-2在R上单调递增，所以f（b）>0，所以g（a）0）. （1）求函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程; （2）当a>1时，求函数y=f（x）的单调区间和极值. 18.【解析】（1）由已知可得f（0）=1，f'（x）=ax+1+x-a=x(x-a+1)x+1，则f'（0）=0，所以函数y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1. （2）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），令f'（x）=0，即x(x-a+1)x+1=0，解得x=0或x=a-1. 当a>1时，f（x），f'（x）随x变化的变化情况如下表:可知f（x）的单调递减区间是（0，a-1），单调递增区间是（-1，0）和（a-1，+∞），极大值为f（0）=1，极小值为f（a-1）=aln a-12a2+32.19.（12分）已知函数f（x）=x2-mln x，h（x）=x2-x+a，（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的取值范围;（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.19.【解析】（1）由a=0，且f（x）≥h（x）在区间（1，+∞）内恒成立，得m≤xlnx在区间（1，+∞）内恒成立，令g（x）=xlnx，则g'（x）=lnx-1(lnx)2，故g'（e）=0，当x∈（1，e）时，g'（x）<0;x∈（e，+∞）时，g'（x）>0.故g（x）在区间（1，e）内单调递减，在区间（e，+∞）内单调递增.故当x=e时，g（x）取得极小值，也为最小值，为g（e）=e.所以m≤e.（2）由已知可知k（x）=x-2ln x-a，函数k（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，相当于函数φ（x）=x-2ln x的图象与直线y=a有两个不同的交点，φ'（x）=1-2x=x-2x，故φ'（2）=0，所以当x∈[1，2）时，φ'（x）<0，φ（x）单调递减，当x∈（2，3]时，φ'（x）>0，φ（x）单调递增.又φ（1）=1，φ（3）=3-2ln 3，φ（2）=2-2ln 2，且φ（1）>φ（3）>φ（2）>0，所以当2-2ln 20，y（t）单调递增;当100，且x≠1时，f（x）>lnxx-1. 21.（1）【解析】f'（x）=ax+1x-lnx(x+1)2−bx2，由于直线x+2y-3=0的斜率为-12，且过点（1，1）， 故f(1)=1,f'(1)=-12, 即b=1,a2-b=−12, 解得a=1,b=1. （2）证明:由（1）知，f（x）=lnxx+1+1x， 所以f（x）-lnxx-1=11−x22ln x-x2-1x. 设函数h（x）=2ln x-x2-1x（x>0）， 则h'（x）=2x−2x2-(x2-1)x2=-(x-1)2x2. 所以当x≠1时，h'（x）<0，而h（1）=0， 所以当x∈（0，1）时，h（x）>0，11−x2>0， 所以f（x）>lnxx-1; 当x∈（1，+∞）时，h（x）<0，11−x2<0， 所以f（x）>lnxx-1. 故当x>0，且x≠1时，f（x）>lnxx-1. 22.（12分）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点. （1）求a的取值范围; （2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明:x1+x2<2. （1）【解析】f'（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）. ①若a=0，则f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一个零点. ②若a>0，则当x∈（-∞，1）时，f'（x）<0;当x∈（1，+∞）时，f'（x）>0，所以f（x）在区间（1，+∞）内单调递增，在区间（-∞，1）内单调递减.又f（1）=-e，f（2）=a>0，取b满足b<0且ba2（b-2）+a（b-1）2=ab2−32b>0，故f（x）在R上存在两个零点.③设a<0，由f'（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.若a≥-e2，则ln（-2a）≤1，故当x∈（1，+∞）时，f'（x）>0，因此f（x）在区间（1，+∞）内单调递增.又当x≤1时，f（x）<0，所以f（x）不存在两个零点.若a<-e2，则ln（-2a）>1，故当x∈（1，ln（-2a））时，f'（x）<0;当x∈（ln（-2a），+∞）时，f'（x）>0.因此f（x）在区间（1，ln（-2a））内单调递减，在区间（ln（-2a），+∞）内单调递增.又当x≤1时，f（x）<0，所以f（x）不存在两个零点.综上，a的取值范围为（0，+∞）.（2）证明:不妨设x1f（2-x2），即f（2-x2）<0.由于f（2-x2）=-x2e2−x2+a（x2-1）2，而f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0，所以f（2-x2）=-x2e2−x2-（x2-2）ex2.设g（x）=-xe2-x-（x-2）ex（x>1），则g'（x）=（x-1）（e2-x-ex）.所以当x>1时，g'（x）<0，而g（1）=0，故当x>1时，g（x）<0.从而g（x2）=f（2-x2）<0，故x1+x2<2.x-∞,-23-23-23,22（2，+∞）f'（x）+0-0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增x（-1，0）0（0，a-1）a-1（a-1，+∞）f'（x）+0-0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增