人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程课时练习

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程课时练习，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点坐标是( )
A．(±4,0) B．(0，±4)
C．(±3,0) D．(0，±3)
2．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为( )
A．10 B．20
C．40 D．50
3．已知椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1
B.eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1
D．以上都不对
4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1
B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
D．以上答案都不对
二、填空题
5．设F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________．
6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．
7．焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))的椭圆的方程是____________．
三、解答题
8．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，求它的标准方程；
(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．
9．已知F1、F2是椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．
[尖子生题库]
10．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
课时作业(十九) 椭圆的标准方程
1．答案：D
2．解析：由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝20，故选B.
答案：B
3．解析：设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)A＋16B＝1，,\f(16,25)A＋9B＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝1，,B＝\f(1,25).))所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
答案：A
4．解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
∴a2＝5，所求椭圆标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.
答案：C
5．解析：由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，∴原方程化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1，将Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
6．解析：①eq \r(2)<2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；④点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为4eq \r(10)>8，故点P的轨迹为椭圆．故填②④.
答案：②④
7．解析：∵椭圆焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过(2,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，))
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
答案：eq \f(x2,4)＋y2＝1
8．解析：(1)方法一：因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知
2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2)＝2eq \r(10)，
所以a＝eq \r(10).
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.
因此，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1.
方法二：设标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(25,4a2)＋\f(9,4b2)＝1，,a2－b2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝10，,b2＝6.))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1.
(2)方法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1.))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设所求椭圆的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
因为椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(0,a2)＋\f(4,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(0,b2)＝1，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2，))
与a＞b矛盾，故舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
方法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
因为椭圆过(2,0)和(0,1)两点，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4m＝1，,n＝1，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,4)，,n＝1.))
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
9．解析：∵F1，F2为椭圆焦点，∴|F1F2|＝12.
∵P是椭圆上一点，
∴根据椭圆性质，|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，①
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝122，②
联立①②可求得|PF1|·|PF2|＝128.
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝64.
10．解析：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图：
由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即
|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6.
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6.
∴a＝3，c＝2，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(5)，
∴所求圆心的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.