人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案设计
展开课程基本信息 | |||||||||
课例编号 |
| 学科 | 数学 | 年级 | 高二 | 学期 | 上 | ||
课题 | 等差数列的概念(1) | ||||||||
教科书 | 书名:普通高中教科书 数学选择性必修第二册(A版) 出版社:人民教育出版社 出版日期: 2019年 4 月 | ||||||||
教学人员 | |||||||||
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授课教师 |
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指导教师 |
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教学目标 | |||||||||
教学目标: (1)理解并掌握等差数列、等差中项的概念,能用定义判断一个数列是否为等差数列; (2)经历由等差数列的递推公式推导通项公式的过程,掌握等差数列的通项公式,并掌握其与一次函数之间的关系; (3)对等差数列的通项公式进行简单应用,体会函数与方程的思想在研究等差数列时的重要意义. 教学重点:等差数列的定义,等差数列的通项公式. 教学难点:等差数列的通项公式. | |||||||||
教学过程 | |||||||||
时间 | 教学环节 | 主要师生活动 | |||||||
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师生问答、共同探究
| 问题1 什么是等差数列? 追问1:看下面几个问题中的数列,你能发现它们的规律吗? (1) 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内向外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81. ① (2) S,M,L,XL,XXL,XXXL 型号的服装上衣对应的尺码分别是: 38,40,42,44,46,48. ② (3) 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度,得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位:℃)依次为 25,24,23,22,21. ③ 追问2:你能给出等差数列的定义吗? 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示. 追问3:判断下列数列是否为等差数列. (1) 5,9,13,17,21,… 是,公差为4; (2) 9,7,5,3,1,… 是,公差为-2; (3) 6,6,6,6,6,… 是,公差为0; (4) 0,1,0,1,0,1,… 不是,1-0=1,0-1=-1,不是同一个常数. 可以看到,等差数列的公差可以为正数、负数或者0.公差为正数时,等差数列单调递增;公差为负数时,等差数列单调递减;公差为0时,数列为常数列. 追问4:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列数列,那么A应满足什么条件? 由等差数列的定义,有:A-a=b-A,所以A=. 此时,我们把A叫做a和b的等差中项.也就是说,两个数a和b的等差中项是它们的算术平均数.这个性质在等差数列的研究中有重要的意义. 问题2 如何推导等差数列的通项公式呢? 追问1:你能根据定义,写出等差数列的递推公式吗? 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由定义可得: an+1-an=d,n∈N* . 追问2:你能根据递推公式,推导等差数列的通项公式吗? 由递推公式,有a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…. 于是a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, …… 归纳可得 an=a1+(n-1)d,由于刚才的推导过程是从a2=a1+d开始的,所以这里n的范围是n≥2. 当n=1时,上式为a1=a1+(1-1)d=a1,这就是说,上式对n=1也成立. 因此我们得到首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为: an=a1+(n-1)d,n∈N* . 在刚才的推导过程中,我们根据等差数列的递推公式,先写出一些具体的递推关系式,观察它们的规律,归纳得到一般结论.这种由特殊到一般的推理方式,是数学中发现新规律和新结论的重要方法. 追问3:还能用其他方法推导等差数列的通项公式吗? an-an-1=d, an-2-an-3=d, … a3-a2=d, a2-a1=d. 一共有多少个等式呢?共有n个,我们可以从减项或被减项的角标发现规律,这也是我们在数列中数清项数的常用方法. 我们把这n个等式进行累加求和.我们看到,在等式的左边,每一个式子的减项和下一个式子的被减项都消去了,最后只剩下第一个式子的被减项an+1和最后一个式子的减项a1;每一个等式的右边都是常数d,一共有n个式子,所以累加后有 an-a1=(n-1) d,即an=a1+(n-1)d,n∈N* 我们推导通项公式时用的累加法的过程,是由递推公式,写出了从a1到an+1的所有递推关系式,对他们求和,最终得到an和a1、d与n的关系,并对n=1时的情况进行了验证,是一种严谨的推导方法. 这种方法在处理由形如等差数列的递推公式,推导通项公式时,有非常广泛的应用. 追问4:你能写出下面这些数列的通项公式吗? (1) 5,9,13,17,21,… an=5+(n-1)×4=4n+1; (2) 9,7,5,3,1,… an=9+(n-1)×(-2)=-2n+11; (3) 6,6,6,6,6,… an=6+(n-1)×0=6. 问题3 观察等差数列的通项公式,它与哪一类函数有关? 因为an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d), 所以当d=0时,an=a1是常值函数; 当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d) (x∈R)当x=n时的函数值,即an=f (n[张劲松1]). 追问1:等差数列{an}的图象和一次函数f(x)=dx+(a1-d)的图象有什么关系? 追问2:由一次函数f(x)=kx+b (k,b为常数)得到[张劲松2]的数列an=kn+b一定是等差数列吗? 任给f(x)=kx+b (k,b为常数),则an=kn+b, a1=f(1)=k+b,a2=f(2)=2k+b,…, an=f(n)=nk+b,…,an+1=f(n+1)=(n+1)k+b an+1-an =f(n)-f(n)=(nk+b)-[(n+1)k+b] =k,n∈N*. 所以,数列{an}是以k+b为首项,k为公差的等差数列. 实际上,数列{an}为公差不为0的等差数列的充要条件是,数列{an}的通项公式是关于n的一次函数. 追问3:可以从函数的角度,研究等差数列的单调性吗? 根据一次函数单调性的结论,当一次项系数大于0时,函数单调递增;当一次项系数小于0时,函数单调递减.等差数列通项公式看做一次函数时,一次项系数为公差d,因此,我们有: 问题4 利用通项公式,可以解决等差数列的哪些问题呢? 例1 已知等差数列{an}的通项公式为an=5-2n,求等差数列[张劲松3]{an}的首项a1和公差d. 分析:有了通项公式,只要将n=1代入,就能求得a1;由通项公式写出an-1的表达式,由an-an-1可求得公差d. 解:把n=1代入通项公式,得a1=5-2×1=3. 当n≥2时,an-1=5-2(n-1)=7-2n. 于是d=an-an-1=(5-2n)-(7-2n)=-2. 所以,数列{an}的首项a1为3,公差d为-2[张劲松4]. 追问1:还有其他方法求公差d吗? 分析:由于已知数列{an}为等差数列,所以每一项与它前一项的差都等于公差d,已求出首项a1=3,只需再求出a2,a2-a1即为公差d. 解法2:把n=2代入通项公式,得a2=5-2×2=1. 于是d=a2-a1=1-3=-2. 追问2:能直接从通项公式看出公差d的值吗? 分析:由于等差数列通项公式是关于n的一次函数,即an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d).一次项系数记为公差d,可以直接从通项公式看出公差d的值. 解法3:因为an=5-2n,所以公差d=-2. 思路小结:数列是一种特殊的函数.研究数列时,运用函数观点,将数列的通项公式或前n项和公式,看成关于n的函数,用函数方法研究数列的相关性质,是研究数列时的常用方法. 例2 求等差数列8,5,2,… 的通项公式an和第20项,并判断 -289是否是数列中的项,若是,是第几项? 分析:只要知道首项a1和公差d,就可以求得数列的通项公式,从而可以求得第20项.公差d可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后,它是一个关于n的方程,判断-289是否是数列中的项,只需要看-289是否能使得该方程有正整数解即可. 解:由已知条件,得d=5-8=-3. 把a1=8,d=-3代入an=a1+(n-1)d,得 an=8+(n-1)×(-3)=-3n+11. 所以a20=-3×20+11=-49. 令-3n+11=-289,得n=100. 所以-289是该数列中的第100项. 思路小结:等差数列的首项a1和公差d是等差数列的“基本量”,知道了这两个基本量,就可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项.实际上,等差数列的通项公式中共有四个量a1、d、n和an,知道其中3个,就可以列出方程,求出另外一个.根据已知条件,列出关于等差数列的通项公式中未知量的方程或方程组,求得未知量,是解决等差数列相关问题的常用方法. 问题5 回顾本节课的探究过程,你学到了什么? 1. 从知识角度,我们学习了等差数列、等差中项的定义,推导了通项公式,并进行了简单的应用.在此过程中,我们由等差数列的定义,写出等差数列的递推公式;由递推公式,分别用归纳和累加的方法,推导出等差数列的通项公式.我们分别从函数和方程的角度,对通项公式进行了理解和认识,并解决了一些简单问题. 2. 从研究方法上看,由定义,写出等价的递推公式,再用适当方法推导出通项公式,这是我们研究特殊数列的常用方法,在我们今后学习等比数列的概念时还会用到. 在得到等差数列的通项公式后,我们分别从通过函数和方程的角度,运用通项公式,解决了一些简单问题. 函数和方程的思想,在我们学习数列的过程中发挥着重要的作用,希望同学在今后的学习中继续体会,自觉运用. | |||||||
[张劲松1]强调一下这种对应,为后面运用带来方便,如an-1=f (n-1)
[张劲松2]全脚括号,下同
[张劲松3]表述完整,下同。
[张劲松4]表述完整,下同.
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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案及反思: 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案及反思,共10页。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案: 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案,共10页。教案主要包含了典例解析,达标检测,小结,课时练等内容,欢迎下载使用。