高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学设计及反思

例4  用 元购买某个理财产品一年.

（1）       若以月利率的复利计息，个月能获得多少利息（精确到1元）？

（2）       若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？

分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.

存入      元，

第一期末  元，

第二期末  元，

第三期末  元，

所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和，，， 构成等比数列.

这个等比数列的首项是，公比是，可得通项公式为

.

（1） “用 元购买某个理财产品”    本金

“月利率”         

个月能获得的本利和      的值

“个月能获得的利息”     利息=本利和-本金=

解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以

.

所以，个月后的利息为（元）.

（2）“季度利息”      设为，公比是

    存4个季度的本利和       的值

“存4个季度结算的利息”    

“按季结算的利息不少于按月结算的利息”   

解：（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是

                      .

因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为

                  元.

解不等式，得

                     .

所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.

小结：运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程就是数学建模。本题通过对实际问题的抽象、简化，确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子，并应用已学的知识，梳理出变量之间的关系，将复利问题转化为相应的等比数列模型，然后用数学方法解决它，再用我们的模型解释现实生活中的种种现象和规律.

例5 已知数列的首项.

（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；

（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列.

追问1：如何证明数列是等比数列、等差数列？

需要从等差数列、等比数列的定义出发证明.

追问2：用部分项，如：能证明数列是等差数列吗？

    不能，不符合等差、等比数列定义中的“从第2项起，每一项与它的前一项的差（比）都等于同一个常数”.

追问3：那么，用什么项证明呢？

    用第项，即证明.

证明：（1）由，，得的通项公式为

              .

设，则

             .

又

             ,

所以，是以27为首项，9为公比的等比数列.

  （2）由，，得

               .

两边取以3为底的对数，得

             .

所以

        .

又

              ，

所以，是首项为1，公差为的等差数列.

追问4： 已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？

    我们尝试同样的证明思路，将结论从特殊推广到一般.

证明：设等差数列的首项为，公差为，则

              .

  所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

  设各项均为正的等比数列的首项为，公比为，则

              .

  所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

由此，我们知道了等差数列与等比数列的联系，就可以把等差数列的一些性质迁移到等比数列中.

如：等差数列中，已知，且，则.那么对于各项均为正的等比数列，由上面的结论可知，是等差数列，所以，即，于是得到.即等比数列中，已知，且，则.

下面我们具体证明一下.

证明：设等比数列的公比为，则

         ，

         ，

         ，

         ，

 所以

         ，

         ，

 因为，所以

         .

小结：这是等比数列的一条重要性质，通过证明可知，此性质并不需要等比数列各项均为正.