高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学设计

课程基本信息

课例编号

学科

数学

年级

高二

学期

上学期

课题

数列的概念（1）

教科书

书名：普通高中教科书数学A版选择性必修2                                  

出版社：人民教育出版社                出版日期：2020年5月

教学人员

姓名

单位

授课教师

指导教师

教学目标

教学目标：

1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．会用通项公式写出数列的任意一项.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.

2.经历“事实—概念”的概念形成过程，提升数学抽象的核心素养.类比函数，在数列学习中经历“定义—表示方法—性质”的研究过程，体会研究一个数学对象的基本路径，感受类比迁移、从特殊到一般等数学思想方法.

3.学会用联系的观点学习数学，形成系统的知识链，将新知识顺利纳入已有的知识体系．提升观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；感受数学文化的魅力，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.

教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.

教学难点：从实例中抽象出数列的概念

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

情境导入

问题1：德国的天文学家提丢斯于1766年提出了一个数列：

0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6，…

这个数列能够反映太阳系诸行星与太阳的平均距离.

如果你是天文学家，通过这列数，你有什么大胆的猜测？

师生活动：教师呈现情境，向学生叙述关于天文学家提丢斯的故事，学生通过教师的叙述，对数列有一个初步的印象.

研究路径

问题2：如何研究“数列”这一新的概念？

师生活动：学生在教师的引导下，回顾函数的学习过程，类比函数“定义—表示方法—性质”的研究路径来学习数列.

概念形成

问题3：如何给“数列”下定义？

师生活动：教师引导学生思考给数列下定义的方法，即：类比给出函数概念的思路，归纳几个具体的例子所满足的共同特征，通过“事实—概念（定义、表示）”的数学抽象过程，给出数列的定义.

追问（1）：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？

师生活动：教师引导学生记王芳第i岁时的身高为hi，i=1的时候，就表示1岁时的身高h1，也就是75.同理，h2＝87，h3=96，h17＝168．hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，也就是说h1＝75是排在第１位的数，h2＝87是排在第２位的数……h17＝168是排在第17位的数.学生不难理解，如果它们之间交换位置，那么表示的意义就不一样了．所以，这是具有确定顺序的一列数．

追问（2）：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？

师生活动：教师引导学生类比描述第一个例子的方法来分析这列数.记第i天月亮可见部分的数为si，那么s1＝5，s2＝10，…，s15＝240．这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置. s1＝5是排在第1位的数，s2＝10是排在第2位的数……s15＝240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置．所以，这也是具有确定顺序的一列数．

追问（3）：的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：，，，，…. 你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？

师生活动：学生仿照前两个例子的叙述，分析这列数.

追问（4）：上述例子的共同特征是什么？

师生活动：教师引导学生从特殊到一般，归纳三个例子的共同特征，抓住“一列数”和“顺序”这两个关键点.

问题4：数列的定义是什么？

师生活动：教师引导学生根据上述三个例子的共同特征，给出数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

追问（1）：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？

师生活动：教师提醒学生，根据数列的概念，数列中的数是有先后顺序的，两个数列即使所含的数完全相同，只要排列的顺序不同，就是两个不同的数列.

追问（2）：1，1，1，1，1…是不是一个数列？

师生活动：教师让学生认识到数列中的数只要求按一定顺序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现．掌握数列的概念，要抓住两个关键词：一列数和顺序．

问题5：如何用一般的符号来表示数列？

师生活动：教师引导学生通过数列的定义获得从数学上刻画数列的方法——用正整数表示数列确定的顺序，即用，，···，，…

分别表示数列的第1项（或称为首项）、第2项、…，第n项，….数列的一般形式可以写成，，···，，···，简记为．

追问：在数列中，符号与所表示的意义是否相同？

师生活动：教师引导学生认识到仅表示数列中的第n项这一个数值．而表示一个数列，通常要在其前面写上“数列”这两个字，即“数列”.

问题6：对于不同的数列，它们的项数有何特点呢？

师生活动：教师引导学生回顾第一个例子，一共有17项，第二个例子有15项，这都是含有有限项的数列.而第三个数列就不同了，它有无穷多个项.可以根据数列中项数的有限和无限，将数列分成以下两类：有穷数列（项数有限的数列）；无穷数列（项数无限的数列）．

概念辨析

问题7：数列中的各项与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？

师生活动：教师呈现数列各项与序号一一对应的关系：

学生根据教师呈现的数列各项与其序号的对应关系，认识到对于每一个正整数n，都有唯一的数与之对应，所以数列中的各项与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是函数关系.由此可见，数列实际上是由序号和项构成的函数.

追问：，，，，···，，…和，，，是同一个数列吗？能否从函数的角度解释一下？

师生活动：学生从函数的角度解释它们不是同一个数列的原因：第一个数列n可取一切正整数，所以定义域就是正整数集，它是个无穷数列.而第二个数列是个有穷数列，它的定义域实际上是正整数集的一个有限子集.因为定义域不同，所以不是同一个数列.教师借机让学生认识到继续研究数列的函数特性的必要性，并进一步引导学生得出：数列的定义域是正整数集或它的有限子集，值域是实数集的子集.所以数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数.

问题8：数列有哪些表示方法？

师生活动：教师引导学生回顾当初研究函数的时候，学习了函数的概念和构成三要素之后，又学习了函数的表示方法，有列表法、图象法、解析法.数列作为一种特殊的函数，也应当有这三种表示方法．

追问（1）：数列的图象有什么特点？

师生活动：学生画出某一数列的图象，发现它是离散的，由一些孤立的点构成，不能连在一起，这跟之前见到的大部分函数图象不太一样.教师引导学生思考导致这个现象的原因.学生不难发现根源在定义域：以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列的自变量只能取一个一个的整数，是离散的数，所以画出的图象自然也就是离散的.

追问（2）：数列通项公式的作用是什么？

师生活动：教师给出数列通项公式的定义：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式．教师帮助学生认识到：有了通项公式，就可以写出数列的各项．

问题9：数列的单调性是怎样定义的？

师生活动：教师引导学生用列表法和图像法表示数列：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.

教师让学生从表和图中观察该数列中的项随序号的变化呈现出的特点.学生不难发现从第2项起，每一项都大于它的前一项.教师趁机给出递增数列的定义：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.类比递增数列的定义，给出递减数列的定义：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列，如前面提到过的1，1，1，1，1…．

巩固新知

例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．（1）；（2）

师生活动：教师引导学生根据通项公式，令n=1，就得到了首项，令n=2，就得到，以此类推，就可分别求出这两个数列的前5项：1，3，6，10，15和1，0，-1，0，1.根据前5项的数据进行描点.

教师提醒学生注意描点后不能连线了，因为数列图象就是由一些孤立的点构成的.

追问：你能判断（1）中数列的单调性吗？

师生活动：学生根据数列单调性的定义，结合图象，不难得出：（1）中的数列是递增数列.

例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：

（1）1，，，，…；

（2）2，0，2，0，…．

师生活动：学生在教师的引导下发现第一个数列的特点是有正有负，正负相间.教师说明：我们常常用或 来表示正负相间的变化规律．学生不难发现，除了正负方面的特征之外，（1）中数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为.有了第一个的基础，学生在探究（2）中的数列时，不难发现这个数列前４项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为.

课堂小结

问题10：回顾本节课所学的知识，思考：

（1）什么是数列？数列的本质是什么？

（2）我们研究数列的基本路径是什么？

师生活动：学生根据教师提出的两个问题，回顾本节课的核心知识和研究路径.

拓展反思

（1）为什么例2中只要求写出数列的“一个”通项公式？

（2）你能写出前四项为0，2，0，2的数列的其它通项公式吗？

（3）你认为每个数列都有通项公式吗？

课后作业

1. 根据数列的通项公式填表：2. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：

（1）1，，，，，…；

（2）1，，，，，….