第一章 章末复习课学案

章末复习课

一、等差与等比数列的基本运算

1．数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小．

2．通过等差数列、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养．

例1　设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　(1)由已知得

解得a2＝2.

设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，

又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，

即2q2－5q＋2＝0，

解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，

∴q＝2，∴a1＝1.

故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.

(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，

由(1)得a3n＋1＝23n，

∴bn＝ln 23n＝3nln 2.

又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2.

故Tn＝ln 2.

反思感悟　在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．

跟踪训练1　已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.

(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；

(2)在(1)的条件下，若a1＞0，求Sn.

解　(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，

即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.

(2)因为a1＞0，所以a1＝2，

所以Sn＝2n＋＝＋，n∈N＋.

二、等差、等比数列的判定

1．判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列．

2．通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养．

例2　设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N＋，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N＋)．

(1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．

解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，

即＝(n≥2，n∈N＋)．

所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，

故数列{an}的通项公式为an＝n－1.

(2)因为a1＝1，所以b1＝2a1＝2.

因为bn＝，所以＝＋1，

即－＝1(n≥2)．

所以数列是首项为，公差为1的等差数列．

所以＝＋(n－1)·1＝，

故数列{bn}的通项公式为bn＝.

反思感悟　判定一个数列是等差或等比数列的方法

跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ.

解　(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan.

由a1≠0，λ≠0且λ≠1，得an≠0，

所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝n－1.

(2)由(1)得Sn＝1－n.

由S5＝，得1－5＝，

即5＝.

解得λ＝－1.

三、数列求和

1．数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式出现，难度中等．

2．通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养．

例3　已知数列{an}是n次多项式f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系数，且f(1)＝.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求f ，并说明f <2.

解　(1)由题意知

f(1)＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝，

则an＝Sn－Sn－1＝－＝n，n≥2，

当n＝1时，a1＝1，S1＝1成立，所以an＝n(n∈N＋)．

(2)由(1)知f(x)＝x＋2x2＋…＋nxn，

所以f ＝＋2×＋3×＋…＋n×，①

 f ＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)＋n×，②

由①－②得 f ＝＋＋…＋－n×＝1－－，所以f ＝2－－<2.

反思感悟　数列求和的常用类型

(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn.

(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列．

(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和．

(4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数(是奇数还是偶数)的讨论．

跟踪训练3　设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.

(1)求an；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　(1)设数列{an}的公差为d，

由题意得

解得a1＝3，d＝2，

∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.

(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)，

∴bn＝＝.

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn

＝

＝

＝－.

1．数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋2n，则a9等于(　　)

A．1 024  B．1 023  C．510  D．511

答案　D

解析　由题意可得an＋1－an＝2n，则a9＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a9－a8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.

2．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项，则S18等于(　　)

A．398  B．388  C．189  D．199

答案　C

解析　由题可得a＝a3a8，

即(2＋4d)2＝(2＋2d)(2＋7d)，

整理得d2－d＝0，

因为d≠0，所以d＝1.

故S18＝18×2＋×18×17×1＝189.

3．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则a1＝________，S5＝________.

答案　1　121

解析　由题意知，a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，

解得a1＝1，a2＝3，

再由an＋1＝2Sn＋1，即an＝2Sn－1＋1(n≥2)，

得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，

又a2＝3a1，所以an＋1＝3an(n≥1)，S5＝＝121.

4．在等比数列{an}中，an<an＋1，且a2a11＝6，a4＋a9＝5，则＝________.

答案　

解析　∵a4·a9＝a2a11＝6，

又∵a4＋a9＝5，且an<an＋1，∴a4＝2，a9＝3，

∴q5＝＝，∴＝＝.