第三章达标检测-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份第三章达标检测-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共21页。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在下列图形中,表示函数关系y=f(x)的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A B C D
2.函数f(x)=1x+1+9-x2的定义域为 (　　)
A.(-3,-1)∪(-1,3)
B.(-3,-1)∪(3,+∞)
C.[-3,3]
D.(-1,3]
3.函数y=2x+1-3x的值域是 (　　)
A.-∞,23 B.2524,+∞
C.-∞,2524 D.23,+∞
4.已知函数f(x)=x2,x>1,4-a2x-1,x≤1,若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(1,+∞) B.[4,8)
C.[1,4) D.[2,8)
5.已知定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,f(-1)=0,则不等式xf(x)<0的解集是 (　　)
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
6.函数f(x)=(x-1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和,则g(1)等于 (　　)
A.-2 B.0
C.1 D.2
7.定义在[-1,1]上的函数f(x)满足下列两个条件:①对任意的x∈[-1,1],都有f(-x)=-f(x);②对任意的m,n∈[0,1],当m≠n时,都有 f(m)-f(n)m-n<0,则不等式f(1-2x)+f(1-x)<0的解集是 (　　)
A.0,12 B.12,23
C.-1,12 D.0,23
8.形如f(x)=1|x|-1的函数因其图象类似于汉字“囧”,故被称为“囧函数”,则下列说法正确的个数为 (　　)
①函数f(x)的定义域为{x|x≠1};
②f[f(2 020)]=-2 0192 018;
③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
④当x∈(-1,1)时,f(x)max=-1;
⑤函数g(x)=f(x)-x2+4的图象与x轴有4个交点.
A.2 B.3
C.4 D.5
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知f(x)=2xx2+1,则下列说法正确的有 (　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)的值域是[-1,1]
C.f(x)在[-1,1]上单调递增
D.f(x)的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞)
10.我们称具有性质f1x=-f(x)的函数为满足“倒负”变换的函数,则下列函数中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A.f(x)=2x-x2
B.f(x)=x-1x
C.f(x)=x+1x
D.f(x)=x,01
11.假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量用x(t)表示,被捕食者的数量用y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是 (　　)

A.若在t1、t2时刻满足y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)
B.如果y(t)的数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量也一定是先上升后下降的
C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时达到最大值或最小值
D.被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值
12.已知f(x)=x2-6x+6,x≥0,3x+4,x<0,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),且x1 A.x1∈-73,0
B.x1+x2+x3的取值范围为113,6
C.x2+x3=6
D.x1+x2=0
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知函数f(x)=ax3+bx(a,b∈R),若f(1)=3,则f(-1)的值为　　　　. 
14.若函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4的定义域为R,值域为(-∞,0],则满足条件的实数a组成的集合是　　　　. 
15.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=2,当x1、x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,有 f(x1)+f(x2)x1+x2 >0,若f(x)≥m2-2am-5对任意x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 
16.设函数f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(x+1)=13f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=1+2x2x,则当x∈(0,1]时,f(x)的最小值为　　　　;若对任意x∈(0,m](m>0),都有f(x)≥1181恒成立,则实数m的最大值是　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=-x2+2|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)将函数f(x)写成分段函数的形式,在如图所示的坐标系内作出函数的图象,并直接写出单调区间.






18.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x+1x+1.
(1)求f(x)在R上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)内的单调性,并给出证明.














19.(本小题满分12分)2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0千米/时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为100千米/时.研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的一次函数.
(1)当0≤x≤220时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x(单位:辆/千米)为多大时,车流量f(x)=x·v(x)可以达到最大?并求出最大车流量.(注:车流量是指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)















20.(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)是单调函数,满足f(3)=6,且f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R).
(1)求f(0),f(1);
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)若对于任意x∈12,3,都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求实数k的取值范围.
















21.(本小题满分12分)已知一次函数y=f(x)满足f(x-1)=2x+a,　　　. 
在所给的三个条件中,任选一个补充到题目中,并作答.
①f(a)=5;②4a=f 12;③4f(1)-2f(2)=6.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上的最大值为2,求实数λ的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.















22.(本小题满分12分)如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a (1)y=x4是不是[-1,1]上的平均值函数?如果是,找出它的均值点,如果不是,请说明理由;
(2)若函数f(x)=-2x2+2mx+1是[-1,1]上的平均值函数,求实数m的取值范围.















答案全解全析
一、单项选择题
1.D　根据函数的概念知选D.
2.D　由题可知x+1>0,9-x2≥0,解得-1 3.C　设t=1-3x(t≥0),则x=1-t23,
所以y=2(1-t2)3+t=-23t2-32t-1=-23t-342-2516,
因为t≥0,且-23<0,
所以当t=34时,y取得最大值,且最大值为2524,所以y≤2524,所以函数的值域为-∞,2524.故选C.
4.B　因为f(x)是R上的增函数,
所以4-a2>0,12≥4-a2×1-1,解得4≤a<8.
故选B.
5.D　由于对任意的x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上为减函数,由于f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=f(-1)=0.画出f(x)的大致图象,如图所示:

由图可知,不等式xf(x)<0的解集是(-∞,-1)∪(0,1).故选D.
6.D　∵h(x)是奇函数,
∴h(-x)=-h(x),
∵g(x)是偶函数,
∴g(-x)=g(x),
由题可得h(x)+g(x)=(x-1)2①,
∴h(-x)+g(-x)=(-x-1)2,
即-h(x)+g(x)=(-x-1)2②,
由①+②得2g(x)=(x-1)2+(-x-1)2=2x2+2,
∴g(x)=x2+1,
∴g(1)=1+1=2.
故选D.
7.D　由①知函数f(x)在[-1,1]上为奇函数,且f(0)=0,由②知函数f(x)在[0,1]上为减函数,所以函数f(x)在[-1,1]上既是奇函数,也是减函数,所以原不等式可变形为f(1-2x) 8.B　函数的定义域为{x|x≠±1},故①错误;
f[f(2 020)]=f12 019=112 019-1=- 2 0192 018,故②正确;
易知函数f(x)=1|x|-1为偶函数,所以其图象关于y轴对称,故③错误;
f(x)=1|x|-1=1x-1,x>0且x≠1,-1x+1,x<0且x≠-1,作出y=1|x|-1和y=x2-4的图象如图所示,可知④,⑤正确.故选B.

二、多项选择题
9.ABC　对于选项A,f(x)=2xx2+1的定义域为R,f(-x)=-2xx2+1=-f(x),则f(x)为奇函数,故A正确;
对于选项B,y=2xx2+1,即yx2-2x+y=0,令Δ=4-4y2≥0,解得-1≤y≤1,即f(x)的值域为[-1,1],故B正确,D错误;
对于选项C,任取x1,x2∈R,且x1 故选ABC.
10.BD　f1x=-f(x),即-f1x=f(x),x≠0.
对于A选项,x=0在定义域内,不符合题意.
对于B选项,-f1x=-1x-x=x-1x=f(x),满足“倒负”变换.
对于C选项,-f1x=-1x+x=-x-1x≠f(x),不符合题意.
对于D选项,当01,此时-f1x=-(-x)=x=f(x);当x=1时,1x=1,此时-f1x=-f(1)=0=f(x);当x>1时,0<1x<1,此时-f1x=-1x=f(x),满足“倒负”变换.
故选BD.
11.ABD　由题图可知,曲线上的点纵坐标相等时横坐标未必相等,故A中说法不正确;
在曲线上半段中观察到y(t)从右到左是先上升后下降的,而x(t)从右到左是不断变小的,故B中说法不正确;
捕食者数量最大时是在题图的最右端,最小时是在题图的最左端,此时都不是被捕食者数量的最值处,同样当被捕食者数量最大(即题图的最上端)和最小(即题图的最下端)时,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值或最小值,故C中说法正确;
当捕食者数量最大时在题图的最右端,x(t)∈(25,30),y(t)∈(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)∈(25,80),由题图可知存在x(t)=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者数量也会达到最大值,故D中说法错误.
故选ABD.
12.ABC　作出f(x)的图象,如图所示.

由图象可知,x2+x3=6,故C正确;令3x+4=-3,解得x=-73,所以x1∈-73,0,故A正确;结合上述分析易知x1+x2+x3的取值范围为113,6,故B正确;x1,x2不一定关于y轴对称,故x1+x2=0不一定成立.故选ABC.
三、填空题
13.答案　-3
解析　易知函数f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=-3.
14.答案　{-2}
解析　当a=2时,f(x)=-4,值域是{-4},不符合题意,故舍去;
当a≠2时,f(x)≤0,
则a-2<0,Δ=4(a-2)2+16(a-2)=0,解得a=-2.
综上,满足条件的实数a组成的集合是{-2}.
15.答案　[-1,1]
解析　∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,
∴当x1,x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,
f(x1)+f(x2)x1+x2 >0 等价于 f(x1)-f(-x2)x1-(-x2)>0,
∴f(x)在[-1,1]上单调递增.
∵f(1)=2,∴f(x)min=f(-1)=-f(1)=-2.
f(x)≥m2-2am-5对任意x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即-2≥m2-2am-5对任意a∈[-1,1]恒成立,
∴m2-2am-3≤0对任意a∈[-1,1]恒成立.设g(a)=m2-2am-3,
则g(-1)=m2+2m-3≤0,g(1)=m2-2m-3≤0,
即-3≤m≤1,-1≤m≤3,∴-1≤m≤1,
∴实数m的取值范围是[-1,1].
16.答案　22;103
解析　由f(x)=1+2x2x得f(x)=1x+2x,
因为x∈(0,1],所以f(x)=1x+2x≥21x·2x=22,当且仅当1x=2x,即x=22时取等号,所以f(x)的最小值为22.
因为f(x+1)=13f(x),
所以f(x)=13f(x-1),
因为当x∈(0,1]时,f(x)=1+2x2x∈[22,+∞),
所以当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],
f(x)=13f(x-1)=13·1+2(x-1)2x-1=13·1x-1+2(x-1)≥223;
当x∈(2,3]时,x-1∈(1,2],x-2∈(0,1],f(x)=13f(x-1)=19f(x-2)=191x-2+2(x-2)≥229;
当x∈(3,4]时,x-1∈(2,3],x-2∈(1,2],x-3∈(0,1],f(x)=13f(x-1)=19f(x-2)=127f(x-3)=1271x-3+2(x-3)≥2227.
因为229>1181>2227,所以当x∈(3,4]时,1271x-3+2(x-3)=1181,解得 x=103.
若对任意x∈(0,m](m>0),都有f(x)≥1181恒成立,则m≤103,
所以实数m的最大值为103.
四、解答题
17.解析　(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, (1分)
对于任意的x,f(-x)=-(-x)2+2|-x|=-x2+2|x|=f(x),故f(x)是偶函数. (3分)
(2)当x≥0时,f(x)=-x2+2|x|=-x2+2x,其图象为开口向下,对称轴为直线x=1的抛物线的一部分;
当x<0时,f(x)=-x2+2|x|=-x2-2x,其图象为开口向下,对称轴为直线x=-1的抛物线的一部分.故f(x)=-x2+2x,x≥0,-x2-2x,x<0. (5分)
作图如下:

(7分)
由图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,+∞). (10分)
18.解析　(1)设x<0,则-x>0,
f(-x)=-x-1x+1, (2分)
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(0)=0,
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=x+1x-1;
当x=0时,f(0)=0. (5分)
∴f(x)=x+1x+1,x>0,0,x=0,x+1x-1,x<0. (6分)
(2)函数在(0,1)内单调递减. (7分)
证明:在(0,1)内任取x1,x2,且x1 则f(x1)-f(x2)=x1+1x1+1-x2+1x2+1
=x1-x2-x1-x2x1x2
=(x1-x2)·x1x2-1x1x2, (8分)
当0 x1x2>0, (10分)
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数在(0,1)内单调递减.(12分)
19.解析　(1)由题意可得,当0≤x≤20时,v(x)=100. (2分)
当20≤x≤220时,设v(x)=ax+b(a≠0),
则v(20)=20a+b=100,v(220)=220a+b=0,解得a=-12,b=110, (4分)
所以v(x)=100,0≤x≤20,-12x+110,20 (2)由(1)得f(x)=x·v(x)=
100x,0≤x≤20,-12x2+110x,20 当0≤x≤20时,f(x)=100x为增函数,所以f(x)的最大值为f(20)=2 000; (9分)
当20 综上所述,当车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大车流量为6 050辆/时. (12分)
20.解析　(1)令x=0,得f(0+y)=f(0)+f(y),即f(y)=f(0)+f(y),
∴f(0)=0. (1分)
∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=6,∴f(1)=2. (3分)
(2)令y=-x,则f(0)=f [x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0, (5分)
∴f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数. (6分)
(3)∵f(x)是奇函数,且f(kx2)+f(2x-1)<0在x∈12,3上恒成立,
∴f(kx2) ∴f(x)在R上是增函数, (8分)
∴kx2<1-2x在x∈12,3上恒成立,
∴k<1x2-21x在x∈12,3上恒成立. (10分)
令g(x)=1x2-21x=1x-12-1.
∵12≤x≤3,
∴13≤1x≤2,
∴g(x)min=g(1)=-1,
∴k<-1,
即实数k的取值范围为(-∞,-1).(12分)
21.解析　设f(x)=kx+b(k≠0),则k(x-1)+b=2x+a,即kx-k+b=2x+a,
所以k=2,-k+b=a,则b=2+a,
所以f(x)=2x+2+a. (3分)
选①.
(1)由f(a)=5得2a+2+a=5,解得a=1,所以f(x)=2x+3. (6分)
(2)g(x)=x(2x+3)+λ(2x+3)+x=2x2+(4+2λ)x+3λ,
其图象的对称轴为直线x=-2+λ2,区间[0,2]的中点值为1. (8分)
当-2+λ2≤1,即λ≥-4时,f(x)max=f(2)=8+8+4λ+3λ=7λ+16,所以7λ+16=2,解得λ=-2. (10分)
当-2+λ2>1,即λ<-4时,f(x)max=f(0)=3λ,所以3λ=2,解得λ=23(舍去).
综上所述,λ=-2. (12分)
选②.
(1)由4a=f12得4a=2×12+2+a,解得a=1,所以f(x)=2x+3. (6分)
(2)同选①中的(2). (12分)
选③.
(1)由4f(1)-2f(2)=6得4(2+2+a)-2(4+2+a)=6,解得a=1,所以f(x)=2x+3. (6分)
(2)同选①中的(2). (12分)
22.解析　(1)是. (1分)
由已知得 f(1)-f(-1)1-(-1)=0,因为x4=0的解有且只有x=0,所以y=x4是[-1,1]上的平均值函数,且它的均值点为0. (4分)
(2)因为函数f(x)=-2x2+2mx+1是[-1,1]上的平均值函数,所以 f(1)-f(-1)1-(-1)=2m,
即关于x的方程-2x2+2mx+1=2m在(-1,1)内有实数根,
即2x2-2mx+2m-1=0在(-1,1)内有实数根. (6分)
令g(x)=2x2-2mx+2m-1,则g(1)=1,g(-1)=4m+1.
当g(-1)<0,即m<-14时,方程2x2-2mx+2m-1=0在(-1,1)内有一个实数解,满足条件; (8分)
当g(-1)=0,即m=-14时,方程2x2-2mx+2m-1=0的实数解为-1,34,满足条件; (10分)
当g(-1)>0,即m>-14时,要使得方程2x2-2mx+2m-1=0在(-1,1)内有实数根,则Δ≥0,且函数图象的对称轴在(-1,1)内,即4m2-8(2m-1)≥0,m2∈(-1,1),解得-14 综上,实数m的取值范围是m≤2-2. (12分)