湘教版（2019）必修 第一册3.2 函数的基本性质测试题

这是一份湘教版（2019）必修 第一册3.2 函数的基本性质测试题，共16页。

考点1 函数的概念与表示
1.(2019江苏,4,5分,)函数y= 7+6x-x2的定义域是 .
考点2 分段函数的应用
2.(2019课标全国Ⅱ,12,5分,)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m的取值范围是( )
A.-∞,94 B.-∞,73
C.-∞,52 D.-∞,83
3.(2021浙江,12,4分,)已知a∈R,函数f(x)=x2-4,x>2,|x-3|+a,x≤2.若f(f(6))=3,则a= .
4.(2018天津,14,5分,)已知a∈R,函数f(x)=x2+2x+a-2,x≤0,-x2+2x-2a,x>0.若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是 .
5.(2021全国乙文,9,5分,)设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是( )
A. f(x-1)-1 B. f(x-1)+1
C. f(x+1)-1 D. f(x+1)+1
考点3 函数基本性质的综合运用
6.(2020天津,3,5分,)函数y=4xx2+1的图象大致为( )
7.(2018课标全国Ⅱ,11,5分,)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50 B.0C.2D.50
8.(2020全国新高考Ⅰ,8,5分,)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]
9.(2021全国甲理,12,5分,)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=( )
A.-94B.-32C.74 D.52
10.(2021新高考Ⅰ,13,5分,)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
11.(2019浙江,16,4分,)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a的最大值是 .
三年模拟练
1.(2021北京房山高一上期中,)已知函数f(x)=x,x≥a,x2,00,则实数a的取值范围是( )
A.(0,+∞)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)
2.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)设f(x)=x,0A.8B.6C.4D.2
3.(2020山东德州高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,A(0,1),B(2,-1)是其图象上的两点,则不等式|f(x-1)|>1的解集为( )
A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)
4.(多选)(2020山东菏泽高一上期末,)下列关于函数f(x)=x2-x4|x-1|-1的性质描述正确的是( )
A. f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]
B. f(x)的值域为(-1,1)
C. f(x)在定义域上是增函数
D. f(x)的图象关于原点对称
5.(多选)(2021山东省实验中学高一上期中,)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是( )
A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称
B.若对x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称
C.若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)为偶函数
D.若f(1+x)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称
6.(多选)(2020山东淄博高一上期中,)我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”:(1)对任意的x∈[0,+∞),总有f(x)≥0;(2)若x≥0,y≥0,则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立.下列判断正确的是( )
A.若f(x)为“Ω函数”,则f(0)=0
B.若f(x)为“Ω函数”,则f(x)在[0,+∞)上为增函数
C.函数g(x)=0,x∈Q,1,x∉Q在[0,+∞)上是“Ω函数”
D.函数g(x)=x2+x在[0,+∞)上是“Ω函数”
7.(2021天津第二南开学校高一上期中,)已知f(x)=12x+1,x≤0,-(x-1)2,x>0,则使f(x)≥-1成立的x的取值范围是 .
8.(2020天津六校高一上期中联考,)已知函数f(x)=x2-4x+10(x∈[m,n])的值域为[3m,3n],则2m+n= .
9.(2021北京人大附中高一上期中,)设函数f(x)=x,x≥a,-x2+2x,x(1)若存在x∈R,使得f(1+x)=f(1-x)成立,则实数a的取值范围是 ;
(2)若函数f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是 .
10.(2020湖南衡阳一中高一上期中,)已知函数f(x)对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,有f(x)>0.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)求证:f(x)是R上的奇函数;
(3)若f(1)=1,解不等式f(x2)-f(x+2)>4.
11.(2020山东烟台高一上期中,)经过函数性质的学习,我们知道“函数y=f(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”.
(1)若f(x)为偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)>f(2x-1)的解集;
(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数y=f(x)的图象是以直线x=a为对称轴的轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,g(x)=x2-1x.
①求g(x)的解析式;
②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集.
答案全解全析
五年高考练
1.答案 [-1,7]
解析 由题意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故该函数的定义域是[-1,7].
2.B 由题可知,当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=12时, f(x)min=-14,且当x=13时, f(x)=-29.当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=12f(x+1).
∴若x∈(1,2],则当x=32时, f(x)min=-12,且x=43时, f(x)=-49.
同理,若x∈(2,3],则当x=52时, f(x)min=-1,且x=73时, f(x)=-89.
∴函数f(x)的大致图象如图所示.
∵f(x)≥-89对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时, f(x)min≥-89,由图可知m≤73.故选B.
3.答案 2
解析 因为6>4=2,所以f(6)=(6)2-4=2,所以f(f(6))=f(2)=|2-3|+a=1+a=3,解得a=2.
4.答案 18,2
解析 当x>0时, f(x)=-x2+2x-2a,
此时只需-x2+2x-2a≤x恒成立,
即2a≥-x2+x恒成立,
因为x>0时,y=-x2+x的最大值为14,
所以a≥18;
当-3≤x≤0时, f(x)=x2+2x+a-2,
此时只需x2+2x+a-2≤-x恒成立,
即a≤-x2-3x+2恒成立,
因为-3≤x≤0时,y=-x2-3x+2的最小值为2,所以a≤2.
故a的取值范围为18,2.
5.B 解法一:f(x)=-1+2x+1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.
解法二:选项A, f(x-1)-1=2x-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=2x,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=-2x-2x+2,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=2x+2,此函数为非奇非偶函数,故选B.
6.A 设y=f(x)=4xx2+1,易知f(x)的定义域为R,f(-x)=-4xx2+1=-f(x),∴函数f(x)=4xx2+1是奇函数,∴y=f(x)的图象关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,故选A.
7.C 因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.
又因为f(1-x)=f(1+x),
所以f(-x)=f(2+x)②.
由①②可得f(x+2)=-f(x),
则有f(x+4)=f(x).
由f(1)=2,得f(-1)=-2,
于是有f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0, f(5)=f(1)=2, f(6)=f(2)=0,……,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.
8.D ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:
若xf(x-1)≥0,
则x≥0,f(x-1)≥0或x≤0,f(x-1)≤0,
解得1≤x≤3或-1≤x≤0.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
9.D 由题知f(-x+1)=-f(x+1),f(-x+2)=f(x+2),
即f(-x)=-f(x+2),f(-x)=f(x+4),
从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),
所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①
又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②
由①②得a=-2,b=2,从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].
所以f92=f52+2=-f52=f12=-f32=-(-2)×322+2=52.故选D.
10.答案 1
解析 ∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,
∴f(1)=f(-1),
∴2a-12=-12a-2,
∴a=1.
当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
11.答案 43
解析 |f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|=|a(6t2+12t+ 8)-2|.
令m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,则m∈[2,+∞),设g(m)=f(t+2)- f(t)=am-2,
则|g(m)|≤23有解.
当a=0时,g(m)=-2,不符合题意;
当a>0时,g(m)∈[2a-2,+∞),∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≤23,得0当a<0时,g(m)∈(-∞,2a-2],∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≥-23,得a≥23,与a<0矛盾.
综上可知,0三年模拟练
1.B 根据题意,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x10,则f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,
又函数f(x)=x,x≥a,x2,00,a2≤a,解得02.C 由题意知,当a∈(0,1)时,若f(a)=f(a+1),则a=2a,所以a=14,则f1a-1=f(3)=2×(3-1)=4;
当a∈[1,+∞)时,若f(a)=f(a+1),则2(a-1)=2a,显然无解.
综上可得f1a-1=4,故选C.
3.D 由题意可知f(0)=1,f(2)=-1,
又知f(x)是定义在R上的单调函数,
所以f(x)在R上单调递减.
由|f(x-1)|>1得f(x-1)>1或f(x-1)<-1,
即f(x-1)>f(0)或f(x-1)所以x-1<0或x-1>2,
解得x<1或x>3,故选D.
4.ABD 由x2-x4≥0,|x-1|-1≠0,得-1≤x≤1且x≠0,此时f(x)=x2-x4-(x-1)-1=x2-x4-x=|x|1-x2-x,因此A正确;当05.ACD 对于A,将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x-1)的图象,若f(x)为奇函数,则其图象关于点(0,0)对称,则函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,A正确;
对于B,若对x∈R,有f(x+1)=f(x-1),即f(x-2)=f(x),函数f(x)的图象不一定关于直线x=1对称,B错误;
对于C,将f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图象,若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的图象关于直线x=0对称,即f(x)为偶函数,C正确;
对于D,若f(1+x)+f(1-x)=2,即f(1+x)-1=-[f(1-x)-1],则f(x)的图象关于点(1,1)对称,D正确.故选ACD.
6.AD 对于选项A,由条件(1)知,f(x)≥0,则f(0)≥0,由条件(2)知, f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,所以f(0)=0,A正确;
对于选项B,当f(x)=0(x∈[0,+∞))时,符合条件(1),(2), f(x)是“Ω函数”,但f(x)在[0,+∞)上不是增函数,B错误;
对于选项C,取x=2-2,y=2+2,则g(2-2)=1,g(2+2)=1,g[(2-2)+(2+2)]=g(4)=0,不满足g(x+y)≥g(x)+g(y),所以g(x)不是“Ω函数”,C错误;
对于选项D,g(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,满足条件(1),g(x+y)-g(x)-g(y)=[(x+y)2+(x+y)]-(x2+x)-(y2+y)=2xy,当x≥0,y≥0时,2xy≥0,此时g(x+y)≥g(x)+g(y),满足条件(2),D正确.故选AD.
7.答案 [-4,2]
解析 ∵f(x)≥-1,
∴x≤0,12x+1≥-1或x>0,-(x-1)2≥-1,
∴-4≤x≤0或0∴使f(x)≥-1成立的x的取值范围是[-4,2].
8.答案 9
解析 ∵f(x)=x2-4x+10=(x-2)2+6≥6,∴3m≥6,∴m≥2,
又函数f(x)图象的对称轴为直线x=2,
∴函数f(x)在[m,n]上单调递增.
∴f(m)=3m,f(n)=3n,
即m2-4m+10=3m,n2-4n+10=3n,
解得m=2或m=5,n=2或n=5,
又m∴2m+n=4+5=9,故答案为9.
9.答案 (1)a>1 (2)a≤0或a=1
解析 (1)若f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
在同一直角坐标系中画出函数y=x和y=-x2+2x的图象,如图所示.
若存在x∈R,使得f(1+x)=f(1-x),则a>1.
(2)结合图象知,若f(x)为R上的单调函数,则a≤0或a=1.
10.解析 (1)证明:任取x1,x2∈R,且x1∵对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),
∴f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).
∵当x>0时,f(x)>0,且x2-x1>0,
∴f(x2-x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),即f(x)在R上为增函数.
(2)证明:∵对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),
∴令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,
令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),
即函数f(x)为R上的奇函数.
(3)若f(1)=1,则f(2)=2f(1)=2, f(4)=2f(2)=4,
∴不等式f(x2)-f(x+2)>4等价于f(x2)-f(x+2)>f(4),
由(2)知f(x)为奇函数,
∴-f(x+2)=f(-x-2),
∴f(x2)-f(x+2)=f(x2)+f(-x-2),
∴f(x2-x-2)>f(4),
又由(1)知, f(x)在R上为增函数,
∴x2-x-2>4,即x2-x-6>0,
∴x>3或x<-2.
∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).
11.解析 (1)设x>0,则-x<0,则f(-x)=2·(-x)-1=-2x-1,
又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x-1.
所以f(x)=2x-1,x≤0,-2x-1,x>0.
因为f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|<|2x-1|,
即x2<(2x-1)2,解得x<13或x>1.
所以不等式的解集是xx<13或x>1.
(2)①因为g(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数g(x+1)为偶函数,
所以g(1+x)=g(1-x),即g(x)=g(2-x)对任意x∈R恒成立.
又当x<1时,2-x>1,
所以g(x)=(2-x)2-12-x=x2-4x+4+1x-2.
所以g(x)=x2-1x,x≥1,x2-4x+4+1x-2,x<1.
②任取x1,x2∈[1,+∞),且x1g(x1)-g(x2)=x12-1x1-x22-1x2=(x1-x2)x1+x2+1x1x2,
因为x1又x1+x2>0,1x1x2>0,
所以(x1-x2)x1+x2+1x1x2<0,
即g(x1)所以函数g(x)在[1,+∞)上是增函数,
又因为函数g(x)的图象关于直线x=1对称,
所以g(x)>g(3x-1)等价于|x-1|>|3x-2|,
即(x-1)2>(3x-2)2,解得12所以不等式的解集为x12