必修第一册章末检测：第三章　函数的概念与性质+Word版含解析

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章末检测(三)　函数的概念与性质

(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，f(2 020)＝3，则f(－2 020)＝(　　)
A．－7　　　　　　　　　 B．－5
C．－3 D．3
解析：选A　∵f(2 020)＝a×2 0203＋b×2 020－2＝3，
∴a×2 0203＋b×2 020＝5，
∴f(－2 020)＝－a×2 0203－b×2 020－2
＝－5－2＝－7.
2．若a>0，则函数y＝|x|(x－a)的图象的大致形状是(　　)

解析：选B　函数y＝|x|(x－a)＝当x≥0时，函数y＝x(x－a)的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为(0，0)，(a，0)．当x<0时，函数y＝－x(x－a)的图象为开口向下的抛物线的一部分．故选B.
3．已知函数y＝f(x＋1)定义域是[－2，3]，则y＝f(x－1)的定义域是(　　)
A．[0，5] B．[－1，4]
C．[－3，2] D．[－2，3]
解析：选A　由题意知，－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4.
∴－1≤x－1≤4，得0≤x≤5，即y＝f(x－1)的定义域为[0，5]．
4．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，1] B．[－2，0]
C．[0，2] D．[－2，2]
解析： 选D　依题意，可得
或或
解得－2≤a≤2.
5．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上，F(x)有(　　)
A．最小值－8 B．最大值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
解析：选D　∵f(x)和g(x)都是奇函数，∴f(x)＋g(x)也是奇函数．又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，∴f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.
6．已知函数f(x)为奇函数，且f(x)＝(a，b∈R)，则f(－2)＝(　　)
A．－7 B．7
C．0 D．2
解析：选B　当x>0时，－x<0，f(－x)＝x3＋，又f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x3－＝bx3＋，
所以a＝－4，b＝－1，
所以f(x)＝
所以f(－2)＝－(－2)3－＝8－1＝7.故选B.
7．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c C．b 解析：选B　∵函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴a＝f＝f.又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2) 8．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足<0，且f(2)＝4，则不等式f(x)－>0的解集为(　　)
A．(4，＋∞) B．(0，4)
C．(0，2) D．(2，＋∞)
解析：选C　由题意，设g(x)＝xf(x)，
因为<0，即<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
不等式f(x)－>0，即>0，
等价于xf(x)－8>0，即xf(x)>8，
又由f(2)＝4，则g(2)＝2·f(2)＝8，所以不等式xf(x)>8的解集为(0，2)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a A．6 B．1
C．－4 D．－6
解析：选ABC　由题意知f(x)＝(1x)x－(2x)＝易知函数f(x)在[－2，2]上单调递增，所以f(x)∈[－4，6]，所以函数f(x)的值可以为－4，1，6.故选ABC.
10．下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的值域是[－2，2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3，1]
B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C．若A∪B＝B，则A∩B＝A
D．函数f(x)的定义域是[－2，2]，则函数f(x＋1)的定义域为[－3，1]
解析：选BCD　由f(x)与f(x＋1)的值域相同知，A错误；设f(x)＝0，且x∈D，D是关于原点对称的区间，则f(x)既是奇函数又是偶函数，由于D有无数个，故f(x)有无数个，B正确；由A∪B＝B得，A⊆B，从而A∩B＝A，C正确；由－2≤x＋1≤2得－3≤x≤1，D正确．故选B、C、D.
11．对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]．那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数．下列结论正确的是(　　)
A．函数y＝x2＋1是闭函数
B．函数y＝－x3是闭函数
C．函数f(x)＝是闭函数
D．k＝－2时，函数y＝k＋是闭函数
解析：选BD　因为y＝x2＋1在定义域R上不是单调函数，所以函数y＝x2＋1不是闭函数，A错误；y＝－x3在定义域上是减函数，由题意设[a，b]⊆D，则解得因此存在区间[－1，1]，使y＝－x3在[－1，1]上的值域为[－1，1]，B正确；f(x)＝＝1－，在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；若y＝k＋是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数f(x)的值域为[a，b]，即所以a，b为方程x＝k＋的两个实数根，即方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0(x≥－2，x≥k)有两个不等的实根．当k≤－2时，有解得－－2时，有此不等式组无解．综上所述，k∈，因此D正确．故选B、D.
12．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．f(x)＝x－ B．f(x)＝x＋
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：选AC　对于A，f＝－x＝－＝－f(x)，满足“倒负”变换．对于B，f＝＋x＝x＋＝f(x)≠－f(x)，不满足“倒负”变换．对于C，当01，f＝－＝－x＝－f(x)；当x＝1时，＝1，f＝0＝－f(x)；当x>1时，0<<1，f＝＝－＝－f(x)，满足“倒负”变换．对于D，当01，f＝＝x≠－f(x)，不满足“倒负”变换．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________．
解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
14．若关于x的函数f(x)＝(t>0)的最大值为M，最小值为m，且M＋m＝4，则实数t的值为______________．
解析：由题意得，函数f(x)＝＝＋t，
令g(x)＝，可得函数g(－x)＝＝－＝－g(x)，
所以函数g(x)为奇函数，
因为函数f(x)的最大值为M，最小值为m，且M＋m＝4，
所以M－t＝－(m－t)，即2t＝M＋m＝4，所以t＝2.
答案：2
15．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为________；
(2)若函数f(x)在[－1，1]上与x轴有交点，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)∵f(x)的图象与x轴无交点，
∴Δ＝16－4(a＋3)<0，∴a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)．
(2)∵函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝2，且开口向上，
∴f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴要使f(x)在[－1，1]上与x轴有交点，
需满足即∴－8≤a≤0，
即实数a的取值范围为[－8，0]．
答案：(1)(1，＋∞)　(2)[－8，0]
16．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}，则min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的最大值为________．
解析：如图所示，y＝min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的图象为图中的实线部分，则易知所求最大数即为图中B点的纵坐标．又B，故所求最大值为.

答案：
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示．

(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为[2，4]．
18．(本小题满分12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解：(1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x|＋－1(x≠0)．
(1)当m＝2时，判断f(x)在(－∞，0)的单调性，并用定义证明；
(2)若对任意x∈R，不等式f(2x)>0恒成立，求m的取值范围．
解：(1)当m＝2，且x<0时，f(x)＝－x＋－1是单调递减的．
证明：设x1 f(x1)－f(x2)＝－x1＋－1－
＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)＋
＝(x2－x1)，
又x10，x1x2>0，
所以(x2－x1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故当m＝2时，f(x)＝－x＋－1在(－∞，0)上单调递减．
(2)由f(2x)>0得|2x|＋－1>0，
变形为(2x)2－2x＋m>0，即m>2x－(2x)2，
而2x－(2x)2＝－＋，
当2x＝时，即x＝－1时，(2x－(2x)2)max＝，所以m>.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
解：(1)f(x)＝－－m＋，则最大值－m＋＝0，即m2－4m＝0，解得m＝0或m＝4.
(2)函数f(x)图象的对称轴是x＝，要使f(x)在[－1，0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2.
(3)①当≤2，即m≤4时，f(x)在[2，3]上递减，
若存在实数m，使f(x)在[2，3]上的值域是[2，3]，则
即此时m无解．
②当≥3，即m≥6时，f(x)在[2，3]上递增，则即解得m＝6.
③当2<<3，即4 综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]．
21．(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
解：(1)由题意可知，2≥30.
所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
所以x的取值范围是[3，10]．
(2)易知获得的利润y＝
＝120，x∈[1，10]，
令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5)．
当t＝，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋mx＋m－1(a≠0)．
(1)若f(－1)＝0，判断函数f(x)的零点个数；
(2)若对任意实数m，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；
(3)已知x1，x2∈R且x1 解：(1)∵f(－1)＝0，∴a－m＋m－1＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x2＋mx＋m－1.
Δ＝m2－4(m－1)＝(m－2)2.
当m＝2时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；
当m≠2时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．
(2)已知a≠0，则Δ1＝m2－4a(m－1)>0对于m∈R恒成立，即m2－4am＋4a>0恒成立，
∴Δ2＝16a2－16a<0，解得0 即实数a的取值范围为(0，1)．
(3)证明：设g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x1)－f(x2)]，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[f(x2)－f(x1)]．
∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2<0，
∴g(x)＝0在区间(x1，x2)上有实数根．
即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在区间(x1，x2)上有实数根．