第三章复习提升-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽视函数的定义域导致错误

1.(2021天津第二南开学校高一上期中,)已知f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f(x)是减函数,如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围是              (　　)

A. B.

C.(1,3) D.

2.(2021北京八中高一上期中,)给出下列三个函数:①y=;②y=;③y=.

其中与函数f(x)=x表示同一个函数的序号是　　　　. 

3.(2020河南洛阳一高高一上月考,)函数f(x)=的单调递增区间是　　　　. 

易错点2　忽略分段函数自变量的范围导致错误

4.(2020安徽六安第一中学高一上期中,)若函数f(x)=在R上为增函数,则实数a的取值范围为　　　　. 

5.(2021天津河东高一上期中,)对任意x∈R,函数f(x)=max,则f(x)的最小值是　　　　. 

6.(2021山西太原高一上期中,)已知[x]表示不超过x的最大整数,定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:

①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0,1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.

其中错误的是　　　　.(填序号) 

易错点3　忽视对参数取值范围的讨论导致错误

7.(2021山东临沂部分学校高一上期中,)已知函数f(x)=x2-kx-8在定义域[5,10]内是单调函数.

(1)求实数k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使函数f(x)的最小值为7?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

8.(2020河北承德一中高一上月考,)已知函数f(x)=-x2+2x-3.

(1)求f(x)在区间[a,a+1]上的最大值g(a);

(2)若(1)中的g(a)=-3,求a的值.

9.(2020山西长治二中高一上期末,)已知函数f(x)=其中a为实数.

(1)若函数f(x)为定义域上的单调函数,求a的取值范围;

(2)若a<7,使不等式f(x)-a>0成立的正整数解有且仅有一个,求a的取值范围.

思想方法练

一、数形结合思想在函数中的运用

1.(2021山东省实验中学高一上期中,)在同一坐标系中,函数f(x)=ax+与g(x)=ax2的图象可能是              (　　)

2.(多选)(2020山东滨州高一上期末,)已知函数f(x)=x2-2x-3,则下列结论正确的是              (　　)

A.函数f(x)的最小值为-4

B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增

C.函数f(|x|)为偶函数

D.若方程f(|x-1|)=a在R上有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4

二、分类讨论思想在函数中的运用

3.()已知函数f(x)=若f(x)的图象与x轴恰有两个交点,则实数m的取值范围是　　　　　. 

4.()若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数,而y=在区间I上是减函数,则称函数y=f(x)在区间I上是“弱增函数”.

(1)若函数h(x)=x2+x+b(m,b是常数)在区间(0,1]上是“弱增函数”,求m,b应满足的条件;

(2)已知f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+k|x-4|(k是常数且k≠0),若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,求k的取值范围.

三、转化与化归思想在函数中的运用

5.(2021山西太原高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=x++1.则f(x)≤3的解集是              (　　)

A.[0,1] B.[-1,1]

C.[-2,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

6.(2020河北石家庄二中高一上期末,)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-2x(x+2).若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m的取值范围是              (　　)

A. B.

C. D.

四、方程思想在函数中的运用

7.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)满足2f(x)=xf+,则f(3)=              (　　)

A.3 B. C. D.

8.(2020黑龙江哈尔滨四校高一上期中联考,)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y), f=1.

(1)求f(0)的值;

(2)若f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.

答案全解全析

易混易错练

1.A　∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,

∴-1<x<1, f(-x)=-f(x),∴f(m-2)+f(2m-3)>0可转化为f(m-2)>-f(2m-3)=f(-2m+3).

∵f(x)是减函数,∴

∴1<m<.故选A.

2.答案　②

解析　易知f(x)=x的定义域为R.

①y=的定义域为{x|x≠2},定义域不同,与f(x)=x不是同一个函数;

②y==x的定义域为R,与f(x)=x表示同一个函数;

③y==|x|,对应关系不同,与f(x)=x不是同一个函数.

3.答案　[2,+∞)

解析　由x2+x-6≥0得x≥2或x≤-3,设t=x2+x-6,则g(t)=(t≥0)在[0,+∞)上单调递增,t=x2+x-6在(-∞,-3]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)=的单调递增区间是[2,+∞).

4.答案　[1,2]

解析　若函数f(x)=

在R上为增函数,

则需满足解得1≤a≤2,

即实数a的取值范围为[1,2].

5.答案　2

解析　在同一直角坐标系中画出y=-x+3,y=x+,y=x2-4x+3的图象,则f(x)的图象如图中实线部分所示.

由图可得, f(x)min=f(1)=-1+3=2.

故答案为2.

6.答案　①④

解析　根据定义函数f(x)=x-[x]=

对于①,作出函数f(x)的部分图象如图所示,因此①中结论错误;

对于②,根据函数的图象可知函数的值域为[0,1),因此②中结论正确;

对于③,直线y=与函数f(x)的图象有无穷多个交点,因此③中结论正确;

对于④,根据函数的图象知,函数在每个小区间内单调递增,但是在整个定义域内不具备单调性,因此④中结论错误.故答案为①④.

7.解析　(1)由题意可知函数f(x)=x2-kx-8的图象的对称轴方程为x=,

因为函数f(x)=x2-kx-8在定义域[5,10]内是单调函数,

所以≤5或≥10,即k≤10或k≥20,

所以实数k的取值范围是(-∞,10]∪[20,+∞).

(2)当k≤10时,函数f(x)=x2-kx-8在区间[5,10]上单调递增,

因此函数在区间[5,10]上的最小值是f(5)=17-5k=7,解得k=2;

当k≥20时,函数f(x)=x2-kx-8在区间[5,10]上单调递减,

因此函数在区间[5,10]上的最小值是f(10)=92-10k=7,解得k=(舍去).

综上,存在k=2,使函数f(x)的最小值为7.

8.解析　(1)∵f(x)=-x2+2x-3的图象开口向下,图象的对称轴方程为x=1,

∴当a≥1时,f(x)在区间[a,a+1]上单调递减,g(a)=f(a)=-a2+2a-3;

当0<a<1时,f(x)在区间[a,a+1]上先增后减,g(a)=f(1)=-12+2-3=-2;

当a+1≤1,即a≤0时,f(x)在区间[a,a+1]上单调递增,g(a)=f(a+1)=-(a+1)2+2(a+1)-3=-a2-2.

综上所述,g(a)=

(2)由(1)知,g(a)=

∵g(a)=-3,∴当g(a)=-a2-2=-3(a≤0)时,a=-1或a=1(舍去);

当g(a)=-a2+2a-3=-3(a≥1)时,a=2或a=0(舍去);

当g(a)=-2(0<a<1)时,不符合题意.

综上可得,a的值为-1或2.

9.解析　(1)当0<x≤2时, f(x)=-x,为减函数,若f(x)为定义域上的单调函数,

则当x>2时, f(x)=-x2+(a+2)x-2a也为减函数,且f(x)≤f(2)=0,

故解得a≤2.

故a的取值范围为(-∞,2].

(2)由函数的解析式,可得f(1)=3, f(2)=0.

当a<0时, f(2)=0>a, f(1)=3>a,不符合题意;

当0≤a≤2时,由(1)知f(x)为定义域上的减函数,仅有f(1)=3>a成立,符合题意;

当2<a<3时,在(0,2]上,仅有f(1)=3>a,

在(2,+∞)上, f(x)的最大值为f=<<a,不存在x满足f(x)-a>0,符合题意;

当3≤a<7时,在(0,2]上,不存在整数x满足f(x)-a>0,

在(2,+∞)上,-a=<-,不存在x满足f(x)-a>0,不符合题意.

综上所述,0≤a<3.

思想方法练

1.A　在函数f(x)=ax+中,由a与同号,可排除B、D,

在选项A、C中,由f(x)的图象可知a>0,此时g(x)的图象应为开口向上的抛物线,故选A.

2.ACD　f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,最小值为-4,所以选项A正确;

f(x)的图象的对称轴为直线x=1,单调递增区间为(1,+∞),所以选项B不正确;

令g(x)=f(|x|)=x2-2|x|-3,则g(-x)=x2-2|x|-3=g(x),又x∈R,所以g(x)为偶函数,所以选项C正确;

令h(x)=f(|x-1|)=(x-1)2-2|x-1|-3,方程f(|x-1|)=a的根转化为y=h(x)的图象与直线y=a的交点的横坐标,作出h(x)的图象如图所示:

h(x)的图象关于直线x=1对称,若y=h(x)的图象与直线y=a有四个交点,

则x1+x2+x3+x4=4,所以选项D正确.故选ACD.

3.答案　m<-或-≤m<

解析　设g(x)=2x2+2x-,令g(x)=0,得4x2+4x-3=0,

解得x1=-,x2=.

设h(x)=3x+,令h(x)=0,得x3=-.

当m<-时,x1,x2∈(m,+∞),则x1,x2是f(x)=0的解,x3∉(-∞,m],则x3不是f(x)=0的解.

因此, f(x)的图象与x轴恰有两个交点,适合题意.

当-≤m<-时,同上知x2是f(x)=0的解, f(x)的图象与x轴仅有一个交点,不适合题意.

当-≤m<时,x2,x3是f(x)=0的解, f(x)的图象与x轴恰有两个交点,适合题意.

当m≥时,仅x3是f(x)=0的解,不适合题意.

因此m的取值范围是m<-或-≤m<.

4.解析　(1)由题意,h(x)=x2+x+b(m,b是常数)在(0,1]上是增函数,

=x++在(0,1]上是减函数,∴-≤0,b≥1,

∴m≥,b≥1.

(2)f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+k|x-4|,

当x<1且x≠0时, f(x)=-(k+3)x+(6+4k),=-(k+3)+,

若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则无解;

当1≤x<2时, f(x)=-(k+1)x+(4+4k),=-(k+1)+,

若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则无解;

当2≤x<3时, f(x)=(1-k)x+4k,=(1-k)+,

若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则解得0<k<1;

当3≤x<4时, f(x)=(3-k)x+(4k-6),=(3-k)+,

若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则解得<k<3;

当x≥4时, f(x)=(3+k)x+(-4k-6),=(3+k)+,

若存在区间I使得y=f(x)是“弱增函数”,则解得-3<k<-.

综上,k的取值范围是∪(0,1)∪.

5.B　当x≥0时, f(x)=x++1,则f(x)在[0,+∞)上为增函数,

且f(1)=1+1+1=3,

又函数f(x)是定义在R上的偶函数,

所以f(x)≤3⇔f(|x|)≤f(1)⇔|x|≤1,

解得-1≤x≤1,即x的取值范围为[-1,1],故选B.

6.D　由f(x)=2f(x+2)得f(x+2)=f(x),则f(x)=f(x-2).

当x∈[-2,0)时, f(x)=-2(x+1)2+2,其最大值为2.

当x∈[0,2)时,x-2∈[-2,0), f(x)=×f(x-2)=×[-2(x-2+1)2+2]=-(x-1)2+1,其最大值为1,

同理当x∈[2,4)时, f(x)max=, f(x)≤恒成立.依此类推,可知当x≥2时, f(x)≤恒成立.当x∈[0,2)时,由f(x)=得-(x-1)2+1=⇒(x-1)2=⇒x=或x=.结合图象(图略)知,若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m≥.综上所述,m的取值范围是,故选D.

7.B　在2f(x)=xf+中,分别令x=3和x=,得2f(3)=3f+①,

2f=f(3)+3②,

联立①②消去f,解得f(3)=.故选B.

8.解析　(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),

即f(0)=0.

(2)由题意知f(x)+f(2+x)=f(2x+2), f+f=f=2,所以由f(x)+f(2+x)<2,可得f(2x+2)<f,

又f(x)在R上单调递增,

∴2x+2<,

∴x<-,

∴x的取值范围是.