专题01 数列的概念（知识精讲）（解析版）
展开专题一 数列的概念
一 知识结构图
内 容 | 考点 | 关注点 |
数列的概念 | 数列的概念 | 数列概念 |
数列的通项公式 | 归纳通项公式 | |
数列的递推公式 | 由递推公式求通项公式 | |
an与Sn的关系 | 由Sn求an。 |
二.学法指导
1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
2．数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列；若an与an＋1的大小不确定，则{an}是摆动数列．
3．数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N*(或它的一个子集{1，2，3，…，n})．
4．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式，也并不是通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝
5．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．
6．数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．
7.通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
8．数列通项公式的求法
(1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳；
(2)累加法．适合类型为an＋1＝an＋f(n)；
(3)累乘法．适合类型为an＋1＝anf(n)；
(4)利用an与Sn关系，即an＝
三.知识点贯通
知识点1 数列的概念与分类
数列的分类
| 类别 | 含义 |
按项的个数 | 有穷数列 | 项数有限的数列 |
无穷数列 | 项数无限的数列 | |
按项的变化趋势 | 递增数列 | 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 |
递减数列 | 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 | |
常数列 | 各项都相等的数列 | |
摆动数列 | 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 |
例题1.已知下列数列：
①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．
【答案】①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
【解析】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
知识点二 由数列的前几项求通项公式
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
例题2：已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)4，44，444，4 444，…；
(3)－1，3，－5，7，－9，…；
(4)2，－，，－，，－，…；
(5)1，2，1，2，1，2，….
【解析】(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1.
(2)各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝(10n－1)．
(3)所给数列有这样几个特点：
①符号正、负相间；
②整数部分构成奇数列；
③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；
④分数部分的分子依次大1.
综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为
an＝(－1)n，
所以an＝(－1)n.
(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，－，，－，…，再把各分母分别加上1，数列又变为，－，，－，…，所以an＝.
(5)法一：可写成分段函数形式：
an＝
法二：an＝
＝
即an＝＋.
知识点三 通项公式的应用
数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 | 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) |
解析式 | 数列的通项公式 |
值域 | 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 |
表示方法 | (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 |
例题3 .已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
【解析】 (1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2) 令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
知识点四 由递推公式求数列中的项
数列的递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
例题4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
【解析】(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
知识点五 数列的单调性
数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 | 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) |
解析式 | 数列的通项公式 |
值域 | 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 |
表示方法 | (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 |
例题5已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
【解析】 法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝×.
当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.
法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
＝＝.
又an＞0，
令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.
法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则
即
解得即5≤n≤6.
故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝.
知识点六 利用an＝求通项
数列{an}的前n项和
(1)数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为
an＝
例题6. 根据下列数列的前n项和Sn求通项an.
(1)Sn＝2n2－n＋1；
(2)Sn＝2·3n－2.
【解析】(1)由Sn＝2n2－n＋1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]
＝4n－3.
当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3.
∴an＝
(2)由Sn＝2·3n－2，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝2·3n－2－(2·3n－1－2)
＝4·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4·31－1，
∴an＝4·3n－1(n∈N*)．
知识点七 根据递推公式求通项
数列递推公式与通项公式的关系
| 递推公式 | 通项公式 |
区别 | 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 | 表示an与n之间的关系 |
联系 | (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 | |
例题7. (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
【解析】 (1)∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
五 易错点分析
易错一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
例题8.写出下面各数列的一个通项公式：
(1)9，99，999，9 999，…；
(2)，2，，8，，…；
【解析】 (1)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
(2)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：，，，，，….所以，它的一个通项公式为an＝.
误区警示
根据数列的前几项归纳数列的通项公式，要找每一项的共同规律，以及每一项和项数之间的关系。
易错二 与Sn求an
例题9.已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2－2n＋1，则其通项公式an＝________.
【答案】
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋1－(n－1)2＋2(n－1)－1＝2n－3，而当n＝1时，a1＝12－2×1＋1＝0≠2×1－3，所以通式公式an＝
错误区警示
由数列的前n项和Sn求通项公式an，一定要分n=1和n≥2两步来做。
