数学人教版新课标A2.1椭圆教案

一、相关性质

由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。
例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）

　二、椭圆的第二定义及其推导过程

　　定义：当点．M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．一般称之为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．

　　其具体推导过程如下：

　　点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹．

　　解：设d是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合．

　　由此得．

　　将上式两边平方，并化简，得．

　　设，就可化成．

　　这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆．

　　三、第二定义的应用

　　例　椭圆上有一点，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P到它的右焦点的距离．

　　解：∵，∴．

　　∴．

　　依椭圆的第二定义，设点到椭圆左焦点的距离为x，则．∴．

　　∴点到椭圆右焦点距离为．

　　评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使问题化繁为简．