人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数练习题

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课后篇巩固提升
合格考达标练
1.若函数f(x)=lg2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为( )

A.[0,1]B.(0,1)
C.(-∞,1]D.[1,+∞)
答案A
解析由于0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,∴lg21≤lg2(x+1)≤lg22,即0≤lg2(x+1)≤1,故函数f(x)的值域为[0,1],故选A.
2.已知函数f(x)=lga(x-m)(a>0,且a≠1)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是( )
A.增函数B.减函数
C.奇函数D.偶函数
答案A
解析将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有0=lga(4-m),1=lga(7-m),解得a=4和m=3,则有f(x)=lg4(x-3).由于定义域是x>3,则函数不具有奇偶性.函数f(x)在定义域上是增函数.
3.已知函数f(x)=lg(a-1)(2x+1)在-12,0内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(1,2)
答案D
解析由-120恒成立,则04.已知lga13>lgb13>0,则下列关系正确的是( )
A.0C.1答案A
解析由于lga13>lgb13>0,则由对数换底公式可得-lg3lga>-lg3lgb>0,即lg3lga0可得lga<0,lgb<0且lga>lgb,因此05.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点(a,a),则f(x)=( )
A.lg2xB.lg12x
C.12xD.x2
答案B
解析因为y=ax的反函数为y=lgax,又此函数经过点(a,a),因此lgaa=a,解得a=12,
所以f(x)=lg12x.
6.已知a=2-13,b=lg213,c=lg1213,则( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>b>aD.c>a>b
答案D
解析∵0lg1212=1,∴c>a>b.故选D.
7.(2021江苏南京六校高一期中)已知函数f(x)=lga(a-ax)(a>1),则f(x)的定义域为 ,值域为 .
答案(-∞,1) R
解析令a-ax>0,即ax因为a>1,所以x<1.
因为a-ax>0,所以f(x)=lga(a-ax)∈R,因此,函数f(x)的定义域为(-∞,1),值域为R.
8.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
解(1)设f(x)=lgax(a>0,且a≠1).
由题意得f(9)=lga9=2,故a2=9,
解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=lg3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=lg3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lg13x.
等级考提升练
9.(多选题)已知a>0且a≠1,函数y=lgax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是( )
答案ABD
解析∵函数y=ax与y=lgax的图象关于直线y=x对称,又函数y=ax的图象过(0,1),y=lgax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确,故选ABD.
10.将y=2x的图象先 ,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=lg2(x+1)的图象( )
A.先向上平移1个单位长度
B.先向右平移1个单位长度
C.先向左平移1个单位长度
D.先向下平移1个单位长度
答案D
解析y=lg2(x+1)的反函数是y=2x-1,所以将y=2x先向下平移1个单位长度,得y=2x-1.
11.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是( )
A.-eB.-1e
C.eD.1e
答案B
解析∵函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,∴函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=lnx,又由y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=ln(-x).又f(m)=-1,
∴ln(-m)=-1,m=-1e,故选B.
12.(多选题)(2020山东滕州一中高一月考)已知函数f(x)=lgax(a>0,a≠1)图象经过点(4,2),则下列命题正确的有( )
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若0答案ACD
解析由题知2=lga4,a=2,故f(x)=lg2x.
函数为增函数,故A正确;
f(x)=lg2x不为偶函数,故B错误;
当x>1时,f(x)=lg2x>lg21=0成立,故C正确;
因为f(x)=lg2x往上凸,故若013.已知函数f(x)=lg2x,x>0,3x,x≤0,直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .
答案(0,1]
解析函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则014.已知实数a,b满足等式lg2a=lg3b,给出下列五个关系式:
①a>b>1;②b>a>1;③a答案②④⑤
解析实数a,b满足等式lg2a=lg3b,即y=lg2x在x=a处的函数值和y=lg3x在x=b处的函数值相等,当a=b=1时,lg2a=lg3b=0,此时⑤成立;作直线y=1,由图象知,此时lg2a=lg3b=1,可得a=2,b=3,由此知②成立,①不成立;作出直线y=-1,由图象知,此时lg2a=lg3b=-1,可得a=12,b=13,由此知④成立,③不成立.综上知正确的关系式为②④⑤.
15.(2021安徽黄山高一期末)设f(x)=ax(a>0,且a≠1),其图象经过点12,10,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称.
(1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值;
(2)若g(x)在区间[10,c]上的值域为[m,n],且n-m=32,求c的值.
解(1)因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点12,10,所以10=a12,所以a=10,所以f(x)=10x.
因为f(2m)=4,f(n)=25,所以102m=4,10n=25,
所以102m·10n=100,
所以102m+n=102,所以2m+n=2.
(2)因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称,所以g(x)=lgx(x>0),且为增函数,
所以g(x)在区间[10,c]上的值域为[lg10,lgc]=[m,n].
因为n-m=32,所以lgc-lg10=32,
所以lgc=2,则c=100.
新情境创新练
16.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.
(1)若1∉M,2∈M,求实数a的取值范围;
(2)若M=R,求实数a的取值范围.
解(1)由题意M={x|ax2+2x+a>0}.
由1∉M,2∈M可得a×12+2×1+a≤0,a×22+2×2+a>0,
化简得2a+2≤0,5a+4>0,解得-45所以a的取值范围为-45,-1.
(2)由M=R可得ax2+2x+a>0恒成立.
当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;
当a≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即4-4a2<0,a>0,化简得a2>1,a>0,解得a>1.
所以a的取值范围为(1,+∞).