必修 第一册4.4 对数函数课时练习

习题课　对数函数及其性质的应用

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(2021江苏盐城高一期末)设a与b均为实数,a>0且a≠1,已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b的值为(　　)

A.6 B.8 C.10 D.12

答案C

解析令f(x)=y=loga(x+b),由图可知f(0)=logab=2,f(-3)=loga(-3+b)=0,

则解得

故a+2b=2+4×2=10,故选C.

2.(2021山东济南高一期末)已知f(x)=|ln x|,若a=f,b=f,c=f(3),则(　　)

A.a<b<c B.b<c<a

C.c<a<b D.c<b<a

答案D

解析因为f(x)=|lnx|,所以a=f=ln=ln5,b=f=ln=ln4,c=f(3)=|ln3|=ln3,因为y=lnx是增函数,所以ln5>ln4>ln3,即a>b>c,故选D.

3.函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上(　　)

A.是增函数 B.是减函数

C.先增后减 D.先减后增

答案A

解析令t=(a-1)x+1.当a>1时,y=logat和t=(a-1)x+1都是增函数,所以f(x)是增函数;

当0<a<1时,y=logat和t=(a-1)x+1都是减函数,所以f(x)是增函数.

4.(2021浙江温州高一期末)已知函数f(x)=log2(x2-x),则f(x2)的定义域为(　　)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞)

C.(-1,1) D.(0,1)

答案A

解析由f(x)=log2(x2-x)可知x2-x>0,则x>1或x<0,因此有x2>1或x2<0,显然x2<0不成立,故x2>1,解得x>1或x<-1.故选A.

5.设0<a<1,函数f(x)=loga(2ax-2),则使得f(x)<0的x的取值范围为　　　　　. 

答案-∞,loga

解析由于y=logax(0<a<1)在(0,+∞)上为减函数,则2ax-2>1,即ax>.由于0<a<1,可得x<loga.

6.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是　　　　　. 

答案

解析由题意可知,f(log4x)<0⇔-<log4x<<x<<x<2.

7.已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).

(1)求f(x)的定义域;

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;

(3)求不等式f(x)>1的解集.

解(1)要使函数f(x)有意义,

则解得-2<x<2.

故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).

(2)f(x)为奇函数.证明如下:

由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),

设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),

且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),

故f(x)为奇函数.

(3)因为f(x)在定义域(-2,2)上是增函数,

所以f(x)>1等价于>10,解得x>.

所以不等式f(x)>1的解集是.

等级考提升练

8.已知y=loga(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为(　　)

A.(0,1) B.(1,2)

C.(0,2) D.[2,+∞)

答案B

解析由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数.因为y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,

所以y=logat在定义域内是增函数,且tmin>0.

因此故1<a<2.

9.已知函数f(x)=lg5x++m的值域为R,则m的取值范围为(　　)

A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)

C.(-∞,4) D.(-∞,-4]

答案D

解析令t=5x++m≥2+m=4+m,则y=lgt.∵值域为R,∴t可取(0,+∞)的每一个正数,∴4+m≤0,∴m≤-4,故选D.

10.(2021北京通州高一期末)已知函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),则f(x)(　　)

A.是奇函数,且在(0,1)上单调递增

B.是奇函数,且在(0,1)上单调递减

C.是偶函数,且在(0,1)上单调递增

D.是偶函数,且在(0,1)上单调递减

答案D

解析由函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),得解得-1<x<1,函数f(x)的定义域为(-1,1).因为f(-x)=ln(1-x)+ln(1+x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.又f(x)=ln(1-x2),令u=1-x2,则u=1-x2在(0,1)上单调递减,函数y=lnu为增函数,故函数f(x)在(0,1)上单调递减.故选D.

11.(多选题)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的有(　　)

A.f(4)=-3

B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点

C.函数y=f(x)的最小值为-4

D.函数y=f(x)的最大值为4

答案ABC

解析∵f(x)=(log2x)2-log2x2-3=(log2x)2-2log2x-3,∴f(4)=(log24)2-2log24-3=22-2×2-3=-3,故A正确;

令f(x)=0得log2x=-1或log2x=3,∴x=或x=8,即方程f(x)=0有两个不等实根,∴函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点,故B正确;

令log2x=t,则y=t2-2t-3=(t-1)2-4(t∈R),

故函数y=f(x)有最小值-4,无最大值,

即C正确,D错误.故选A,B,C.

12.已知函数y=logax(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是　　　　　　　　　　. 

答案∪(1,2]

解析当a>1时,y=logax在区间(2,+∞)上单调递增,由loga2≥1,得1<a≤2;当0<a<1时,y=logax在区间(2,+∞)上单调递减,且loga2≤-1,得≤a<1.故a的取值范围是∪(1,2].

13.(2021浙江丽水高一期末)已知函数f(x)=log2.

(1)求f(x)的定义域;

(2)判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并证明你的结论.

解(1)由题知,>0,则x(x+2)>0,得x<-2或x>0.∴函数的定义域为{x|x<-2,或x>0}.

(2)f(x)在(0,+∞)内单调递减.

证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=log2-log2=log2,

∵0<x1<x2,∴x1x2+2x2>x1x2+2x1>0.

∴>1,∴log2>0,

∴f(x1)>f(x2),f(x)在(0,+∞)内单调递减.

新情境创新练

14.(多选题)(2021浙江杭州学军中学高一期中)已知3a=5b=15,则a,b满足下列关系的是(　　)

A.ab>4 B.a+b>4

C.a2+b2<4 D.(a+1)2+(b+1)2>16

答案ABD

解析由题意知a=log315=1+log35,b=log515=1+log53,∴=log153+log155=1,即a+b=ab;

∵a+b=2+log35+>2+2=4,∴a+b=ab>4,故A,B正确;

a2+b2=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ab=(ab-1)2-1>8,故C错误;

(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=(ab)2+2>18>16,故D正确.故选ABD.