高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词课后练习题

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

基础过关练

题组一　全称量词命题和存在量词命题的否定

1.(2020山东滨州高一上期末)设命题p:所有的矩形都是平行四边形,则¬p为 (　　)

A.所有的矩形都不是平行四边形

B.存在一个平行四边形不是矩形

C.存在一个矩形不是平行四边形

D.不是矩形的四边形不是平行四边形

2.(2020安徽临泉第一中学高二上期中)已知命题p:∀x∈{x|x>1},x2+16>8x,则命题p的否定为 (　　)

A.¬p:∀x∈{x|x>1},x2+16≤8x

B.¬p:∀x∈{x|x>1},x2+16<8x

C.¬p:∃x∈{x|x>1},x2+16≤8x

D.¬p:∃x∈{x|x>1},x2+16<8x

3.(2021浙江五湖联盟高一上期中联考)命题p:∃x∈R,x+|x|≥0,则命题p的否定是 (　　)

A.∀x∈R,x+|x|>0           B.∀x∈R,x+|x|<0

C.∀x∈R,x+|x|≤0          D.∀x∈R,x+|x|≥0

4.(2020辽宁丹东高一上期末)命题“存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根”的否定是              (　　)

A.存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0无实数根

B.不存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根

C.对任意实数m,都能使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根

D.至多有一个实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根

5.命题“∃x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是　　　　. 

6.若命题p:∀x∈R,<0,则¬p:　　　　　　　　. 

题组二　全称量词命题和存在量词命题的否定的真假判断

7.(2020湖南长沙雅礼中学高一10月月考)给出下列四个命题:

①有理数是实数;②有些平行四边形不是菱形;③∀x∈R,x2-2x>0;④∃x∈R,2x+1为奇数.

以上命题的否定为真命题的是 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.①④       B.②④       C.①②③④    D.③

8.已知命题p:∃x∈R,x-2>,命题q:∀x∈R,x2>0,则 (　　)

A.命题p,q都是假命题

B.命题p,q都是真命题

C.命题p,¬q都是真命题

D.命题p,¬q都是假命题

9.(多选)(2021湖南娄底第一中学高二上期中)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的是              (　　)

A.∃x∈R,x2-x+<0

B.所有的正方形都是矩形

C.∃x∈R,x2+2x+2≤0

D.至少有一个实数x,使x3+1=0

题组三　全称量词命题和存在量词命题的否定的应用

10.(2020陕西商洛高二上期末)命题“∃x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≤0”为假命题,则a的取值范围为              (　　)

A.{a|a<2}     B.{a|a<6}           C.{a|a≤2}       D.{a|a≤6}

11.(2021山东泰安新泰第一中学高一上月考)已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0,若命题¬p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是              (　　)

A.a≤-2或a=1    B.a≤-2或1≤a≤2

C.a≥1           D.a≥2

12.(2021福建福州高一上检测)已知命题“∃x∈R,x2-ax+1=0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　. 

13.已知命题p:∀x∈{x|0<x<1},x+m-1<0,命题q:∀x∈{x|x>0},mx2+4x-1≠0.若p是真命题,q是假命题,求实数m的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　命题p:所有的矩形都是平行四边形,¬p:存在一个矩形不是平行四边形,故选C.

2.C　在¬p中,量词“∀”改为“∃”,结论“x2+16>8x”改为“x2+16≤8x”,故选C.

3.B　命题p:∃x∈R,x+|x|≥0为存在量词命题,则其否定为全称量词命题:∀x∈R,x+|x|<0.

故选B.

4.B　由命题的否定知原命题的否定是“对任意实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0无实数根”,即“不存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根”.故选B.

5.答案　∀x∈R,x2+2x+5≠0

解析　存在量词命题的否定是全称量词命题,将“∃”改为“∀”,“=”改为“≠”.

6.答案　∃x∈R,>0或x-2=0

7.D　①“有理数是实数”为真命题,则命题的否定是假命题;

②“有些平行四边形不是菱形”为真命题,则命题的否定是假命题;

③当x=0时,不等式x2-2x>0不成立,

∴“∀x∈R,x2-2x>0”为假命题,则命题的否定是真命题;

④“∃x∈R,2x+1为奇数”为真命题,则命题的否定是假命题.

故满足条件的命题的序号是③,故选D.

8.C　当x=9时,9-2>=3,∴p为真命题.∵∀x∈R,x2≥0,∴q是假命题,¬q是真命题.故选C.

9.AC　由题意可知,符合条件的原命题为存在量词命题且为假命题,选项B为全称量词命题,排除;选项D为真命题,排除.

∵x2-x+=≥0,x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴A、C均为假命题.

故选AC.

10.A　∵命题“∃x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≤0”为假命题,

∴该命题的否定“∀x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a>0”为真命题,

即a<x2+x在x∈{x|1≤x≤2}上恒成立,∴a<(x2+x)min,由二次函数y=x2+x的图象知,(x2+x)min=1+1=2,∴a<2.故选A.

11.D　若命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0为真命题,则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立,∴a≤1.

若命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0为真命题,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.

∵命题¬p和命题q都是真命题,

∴解得a≥2.

故选D.

12.答案　{a|-2<a<2}

解析　∵命题“∃x∈R,x2-ax+1=0”为假命题,∴“∀x∈R,x2-ax+1≠0”为真命题,

∴Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,

∴实数a的取值范围是{a|-2<a<2}.

13.解析　若p是真命题,则x+m-1<0对任意x∈{x|0<x<1}恒成立,则m<-x+1对任意x∈{x|0<x<1}恒成立,所以m≤0.

若命题q是假命题,则¬q:∃x∈{x|x>0},mx2+4x-1=0为真命题,

即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.

当m=0时,方程为4x-1=0,有正实数根;

当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4.设两个实数根分别为x1,x2.

①当方程有两个正实数根时,x1+x2=->0,且x1x2=->0,解得m<0,此时-4≤m<0;

②当方程有一正一负两个实数根时,x1x2=-<0,解得m>0,此时m>0.

综上所述,m≥-4.

因为p是真命题,q是假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.