高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试免费同步练习题

本章复习提升

易混易错练

易错点1　对向量的有关概念理解不清致错　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.()下列命题中:

①a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R,使得b=λa;

②e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e;

③|a·a·a|=|a|3;

④a与b共线,b与c共线,则a与c共线;

⑤若a·b=b·c且b≠0,则a=c.

其中正确命题的序号是　　　　. 

易错点2　混淆向量坐标和点的坐标致错

2.()已知A,B,C三点在一条直线上,且A(3,-6),B(-5,2),若点C的横坐标为6,则点C的纵坐标为(　　)

A.-13 B.9 C.-9 D.13

3.()已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),=+λ(λ∈R),点P在第三象限,求λ的取值范围.

易错点3　忽略向量的方向致错

4.()已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则λ的值为(　　)

A.1 B.0 C.-1 D.±1

5.()已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为(　　)

A. B.

C. D.

6.()已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为　　　　.易错 

易错点4　对向量夹角理解不清致错

7.()在边长为1的等边△ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=(　易错　)

A.- B.0 C. D.3

8.()设a=(1,-2),b=(1,λ),且a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是

(　易错　)

A.(-∞,-2)∪ B.

C.∪ D.

易错点5　忽略三角形边角关系的隐含条件致错

9.()设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,则a的取值范围是　　　　.易错 

10.()在△ABC中,三边a,b,c互不相等,且a为最长边,若a2<b2+c2,则A的取值范围是　　　　.易错 

11.()在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且C为钝角,c-b=2bcos A.

(1)求证:A=2B;

(2)若b=,求a的取值范围.

易错点6　忽略三角形解的个数致错

12.(2019福建厦门高二期末质量检测,)在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积是(　易错　)

A. B.2

C.或2 D.2或4

思想方法练

一、函数与方程思想在向量的运算及解三角形中的应用

1.()在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=3,c=7,C=60°,则b=　　　　. 

2.(2020福建三明高一上期末,)如图,在△OBC中,点A是BC的中点,点D在线段OB上,且OD=2DB,设=a,=b.

(1)若|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为,求(2a+b)·(a-b);

(2)若向量与+k共线,求实数k的值.

3.()在△ABC中,a2+c2=b2+ac.

(1)求B的大小;

(2)求cos A+cos C的最大值.

二、数形结合思想在向量的运算及解三角形中的应用　　　　　　 　　　　　 　　　　　

4.()在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=30°,AD为BC边上的高,若=λ+μ,则=(　　)

A.2 B. C. D.2

5.()海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75°,距离为12 n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求:

(1)A处到D处的距离;

(2)灯塔C与D处之间的距离.

三、转化与化归思想在向量的运算及解三角形中的应用　　　　 　　　　　 　　　　　

6.()如图,扇形ABC的半径为1,圆心角∠BAC=150°,点P在弧上运动,=m+n,则m-n的最大值是(　　)

A.1 B. C.2 D.2

7.(2020湖南长沙长郡中学高三上月考,)已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=6,AC=8,=α+β(α,β∈R),若sin2∠BAC·(t为实数)有最小值,则实数t的取值范围是　　　　. 

8.()如图所示,在△ABC中,已知点D在边BC上,且∠DAC=90°,cos∠DAB=,AB=6.

(1)若sin C=,求线段BC的长;

(2)若点E是BC的中点,AE=,求线段AC的长.

答案全解全析

易混易错练

1.答案　②③

解析　若a为零向量,则①不成立.当b为零向量时,④不成立.根据向量数量积的概念可知⑤错误.易知②③正确,故正确命题的序号为②③.

2.C　设C点坐标为(6,y),则=(3,y+6).

∵A,B,C三点共线,=(-8,8),

∴=,∴y=-9.

3.解析　由题意得=(3,1),=(5,7).

设P(x,y),则=(x-2,y-3).

因为=+λ=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),

所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),

即解得

因为点P在第三象限,所以x=5+5λ<0且y=4+7λ<0,解得λ<-1.

所以λ的取值范围是{λ|λ<-1}.

4.C　∵向量a+λb与b+λa的方向相反,

∴(a+λb)∥(b+λa).由共线向量定理可知,存在一个实数m,使得a+λb=m(b+λa),即(1-mλ)a=(m-λ)b,∵a与b不共线,∴1-mλ=m-λ=0,可得m=λ,∴1-λ2=0,λ=±1.当λ=1时,向量a+b与b+a是相等向量,其方向相同,不符合题意,故舍去.∴λ=-1.

5.A　∵A(1,3),B(4,-1),

∴=(3,-4),||=5,

∴与同方向的单位向量为=.故选A.

6.答案　或(-5,8)

解析　设P(x,y),由||=2||,得=2或=-2.

若=2,则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y).

所以解得

故P.

若=-2,则同理可得

故P(-5,8).

综上,点P的坐标为或(-5,8).

易错警示

在将模的关系转换为向量之间的关系时,需要从方向的角度加以分析,若不能确定,则需分类讨论.

7.A　如图所示,由题意可得a、b、c这三个向量两两夹角都是,且模都等于1,

故有a·b=b·c=c·a=1×1×cos=-,∴a·b+b·c+c·a=-,故选A.

易错警示

在求向量夹角时,一定要先将向量平移到同一起点再进行计算,本题易误认为a、b、c这三个向量两两夹角都是,从而导致解题错误.

8.A　∵a=(1,-2),b=(1,λ),且a与b的夹角为锐角,

∴a·b=1-2λ>0,即λ<,

又当λ=-2时,a与b的夹角为0°,

故实数λ的取值范围是(-∞,-2)∪.故选A.

易错警示

本题易忽略a与b同向的情况,即a与b的夹角为0°.解此类题要注意:当两向量的夹角为锐角时,要排除它们同向的情况;当两向量的夹角为钝角时,要排除它们反向的情况.

9.答案　(2,8)

解析　由2a+1,a,2a-1为三角形的三边长,可得2a-1>0,即a>,∴最大边长为2a+1,∴2a-1+a>2a+1,解得a>2.

∵三角形为钝角三角形,

∴a2+(2a-1)2<(2a+1)2,

解得0<a<8.

综上,2<a<8.

易错警示

本题隐含的条件为①三角形的三边长均为正数;②三角形中两边之和大于第三边.

10.答案　{A|60°<A<90°}

解析　∵a2<b2+c2,

∴b2+c2-a2>0,则cos A=>0,

∴A<90°.又∵a为最长边,∴A>60°.

故A的取值范围是{A|60°<A<90°}.

易错警示

本题易忽略a为最长边,从而得出错解0°<A<90°.

11.解析　(1)证明:由c-b=2bcos A,得sin C-sin B=2sin Bcos A.

在△ABC中,因为C=π-(A+B),

所以sin C=sin(A+B).

所以sin(A+B)-sin B=sin Acos B+sin B·cos A-sin B=2sin Bcos A,

整理,得sin(A-B)=sin B.

因为C为钝角,所以0<B<,-<A-B<,所以A-B=B,故A=2B.

(2)由正弦定理及(1),得==.

因为b=,所以a=cos B.

因为C为钝角,

所以0<A+B=2B+B<,即0<B<,

所以<cos B<1,所以a的取值范围为.

12.C　由AB=2,AC=2,B=30°及正弦定理,得sin C===.

由角C为三角形的内角可知C=60°或120°,因此A=90°或30°.

当A=90°时,S△ABC=AC·AB·sin A=2;

当A=30°时,S△ABC=AC·AB·sin A=.

易错警示

本题中AB·sin B<AC<AB,且B为锐角,因此角C应该有两解.

思想方法练

1.答案　8

解析　由余弦定理得32+b2-72=2×3b×cos 60°,即b2-3b-40=0,

解得b=8或b=-5(舍去).故答案为8.

2.解析　(1)因为|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,所以a·b=|a|·|b|cos=3,所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=-1-3.

(2)由题图得,=+=+2=2-,=+=-+2-=2-,

因为=a,=b,所以=2a-b,=2a-b,

所以+k=a+k=(2k+1)a-kb.

若与+k共线,则存在实数λ,使得=λ(+k),

即2a-b=λ,

所以(2-2λk-λ)a=b,

因为a与b不共线,所以

解得所以实数k的值为.

3.解析　(1)由余弦定理及已知得cos B===.

因为0<B<π,所以B=.

(2)由(1)知A+C=,∴C=-A.

∴cos A+cos C=cos A+cos

=cos A-cos A+sin A

=cos A+sin A=cos.

设y=cos,0<A<,

由余弦函数的性质可知,

当A=时,y=cos取得最大值1,故cos A+cos C的最大值为1.

4.A　由题意得BD=AB·cos∠ABD=2×=,∴BD=BC.

∴=+=+=+(-)=+.

又=λ+μ,

∴λ=,μ=.

∴=2.故选A.

5.解析　由题意,画出示意图,如图所示.

(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,则∠B=45°.由正弦定理,得AD==24,即A处到D处的距离为24 n mile.

(2)在△ADC中,由余弦定理,得

CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°

=242+(8)2-2×24×8×=(8)2,

∴CD=8,即灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.

6.C　以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图.

设P(cos θ,sin θ),0°≤θ≤150°,

则A(0,0),B(1,0),C,

∵=m+n,

∴(cos θ,sin θ)=m(1,0)+n=,

∴cos θ=m-n,sin θ=,

∴m=cos θ+sin θ,n=2sin θ,

∴m-n=cos θ+3sin θ-2sin θ=cos θ+sin θ=2sin(θ+60°),

∵0°≤θ≤150°,

∴60°≤θ+60°≤210°,

∴当θ+60°=90°,

即θ=30°时,

m-n取得最大值,且最大值为2,故选C.

7.答案　

解析　如图所示,取AB的中点D,连接OD,

由于O是三角形ABC外接圆的圆心,故OD⊥AB,所以·=||·||·cos∠OAB=||·||=||2=18,同理可得·=||·||·cos∠OAC=||·||=||2=32.

由于=α+β(α,β∈R),

所以

即

解得

将上述结果代入sin2∠BAC·并化简,得cos2∠BAC-cos∠BAC+,

由于-1<cos∠BAC<1,cos2∠BAC-cos∠BAC+有最小值,所以结合二次函数的性质可知,

当-1<-<1时,cos2∠BAC-cos∠BAC+有最小值,由-1<-<1解得-<t<.

故答案为.

8.解析　(1)由条件可得sin∠BAC=sin(90°+∠DAB)=cos∠DAB=.

在△ABC中,=,

所以=,得BC=4.

(2)由(1)知sin∠BAC=,因为∠BAC为钝角,所以cos∠BAC=-.

由题意得+=2,

所以(+)2=||2+||2+2||·||cos∠BAC=4||2,

所以36+||2+2×6××||=68,整理,得||2-4||-32=0,

解得||=8(负值舍去),所以线段AC的长为8.