数学人教B版 (2019)第六章 导数及其应用本章综合与测试同步练习题

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易混易错练

易错点1　对导数的定义理解不够深刻致错

1.()设f'(1)=4,则=(　　)

A.8 B.4 

C.-8 D.-4

2.(2020江西吉安第一中学高二月考,)已知函数f(x)可导且f'(1)=-2,则=　　　　. 

易错点2　对f'(x0)与f'(x)理解有误致错

3.(2020陕西宝鸡中学高二期中,)若函数f(x)满足f(x)=-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为(　　)

A.0 B.2 

C.1 D.-1

4.()已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=3x2+2xf'(2),则f'(5)=(　　)

A.5 B.6 

C.7 D.-12

易错点3　对切线定义的理解有误致错

5.()在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是　　　　. 

6.()已知曲线C:y=f(x)=,曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y=4x-4,试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点?若有,求出公共点的坐标;若没有,请说明理由.

易错点4　混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错

7.(2020湖南师大附中高二期末,)曲线y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为　　　　　　　. 

8.()求过点P(1,0)且与曲线f(x)=x3-x相切的直线的方程.

易错点5　对复合函数的求导法则理解不透彻致错

9.(2020山东潍坊高二期末,)函数y=cos的导函数是(　　)

A.y'=sin   B.y'=-2sin

C.y'=-sin D.y'=2sin

10.()已知函数f(x)=ln(3x-1),则f'(1)=　　　. 

易错点6　将函数单调性的充分条件误认为是充要条件致错

11.()已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求实数a的取值范围.

易错点7　将函数取极值的必要条件误认为是充要条件致错

12.()求函数f(x)=x6-3x4+3x2的极值.

易错点8　利用导数研究实际问题时忽视定义域致错

13.()现将一根长为180 cm的木条制成一个长方体形状的木质框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

思想方法练

一、函数与方程思想

1.()设函数f(x)=1-e-x,证明:当x>-1时, f(x)≥.

2.()已知函数f(x)=x2·eax+1-bln x-ax(a,b∈R).

(1)若b=0,曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x平行,求a的值;

(2)若b=2,且函数f(x)的值域为[2,+∞),求a的最小值.

二、数形结合思想

3.()已知曲线f(x)=-x3+3x2+9x+a与x轴只有一个交点,求实数a的取值范围.

三、分类讨论思想

4.()求函数f(x)=ax3-3x2+1-的单调区间.

5.(2020辽宁葫芦岛高三期末,)已知函数f(x)=xln x+kx,k∈R.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若不等式f(x)≤x2+x恒成立,求k的取值范围;

(3)设g(x)=,记g(x)在[-2,4]上的最大值为φ(k),当φ(k)最小时,求k的值.

四、转化与化归思想

6.(2020浙江湖州高三期末,)已知函数f(x)=(logax)2+x-ln x,a>1.

(1)求证:f(x)在(1,+∞)上单调递增;

(2)若关于x的方程|f(x)-t|=1在区间(0,+∞)上有三个零点,求实数t的值;

(3)若对任意的x1,x2∈[a-1,a],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立(e为自然对数的底数),求实数a的取值范围.

答案全解全析

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易混易错练

1.A　=2f'(1)=8.

2.答案　1

解析　已知函数f(x)可导且f'(1)=-2,

则

=×

=-

=-f'(1)=1.

3.A　f'(x)=x2-2f'(1)x-1,

令x=1,得f'(1)=12-2f'(1)×1-1,

解得f'(1)=0.

故选A.

4.B　∵f(x)=3x2+2xf'(2),

∴f'(x)=6x+2f'(2),

∴f'(2)=12+2f'(2),∴f'(2)=-12,

∴f'(x)=6x-24,∴f'(5)=6×5-24=6.

5.答案　-3

解析　函数y=ax2+的导数为y'=2ax-,

直线7x+2y+3=0的斜率为-.

由题意得解得

则a+b=-3.

6.解析　由消去y,

得x3-12x+16=0,

即(x-2)2(x+4)=0,所以x=2或x=-4.

当x=2时,y=4;当x=-4时,y=-20,

所以该切线与曲线C的公共点的坐标为(2,4),(-4,-20),

所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(-4,-20).

7.答案　2x-y=0

解析　函数y=3x-ln(x+1)的导数为y'=3-,当x=0时,y'=3-1=2,

所以曲线y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线斜率为2,

则曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.

故答案为2x-y=0.

8.解析　由题易得f'(x)=3x2-1.设切点为(x0,-x0),则f'(x0)=3-1,

则曲线在切点处的切线方程为y-(-1)(x-x0).

由切线过点P(1,0),得0-(-1)(1-x0),整理得2+1=0,

即(x0-1)2(2x0+1)=0,所以x0=1或x0=-.

所以切线方程为2x-y-2=0或x+4y-1=0.

9.B　y'=·' =-2sin.

10.答案　

解析　易得f'(x)=·(3x-1)'=,∴f'(1)=.

11.解析　f'(x)=3ax2+6x-1.

(1)当f'(x)<0时, f(x)是减函数,

所以f'(x)=3ax2+6x-1<0,

所以解得a<-3.

(2)当a=-3时, f'(x)=-9x2+6x-1

=-(3x-1)2≤0,

当且仅当x=时, f'(x)=0.

易知此时函数f(x)在R上也是减函数.

综上,实数a的取值范围为(-∞,-3].

12.解析　f'(x)=6x(x2-1)2.

令f'(x)=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.

当x变化时, f'(x)的变化情况如下表所示:

因此函数f(x)无极大值,当x=0时,函数f(x)取极小值0.

13.解析　设长方体的长为2x cm,宽为x cm,高为y cm,体积为V(x) cm3,则4(2x+x+y)=180,即y=45-3x,V(x)=2x·x·y=2x2y=2x2(45-3x)=-6x3+90x2.

由y=45-3x>0得0<x<15.易得V'(x)=-18x2+180x=-18x(x-10),当0<x<10时,V'(x)>0,当10<x<15时,V'(x)<0,所以V(x)在(0,10)上单调递增,在(10,15)上单调递减,在x=10处取得极大值,也是最大值,

且最大值为V(10)=-6×103+90×102=3 000(cm3),

此时长、宽、高分别为20 cm,10 cm,15 cm.

思想方法练

1.证明　要证当x>-1时, f(x)≥,即证当x>-1时,1-e-x≥,即证当x>-1时,ex≥1+x.令g(x)=ex-x-1(x>-1),则g'(x)=ex-1.

解方程ex-1=0,得x=0.

当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:

从上表看出,当x=0时,g(x)取得极小值,也是最小值,且g(0)=0.

因而当x>-1时,有g(x)≥g(0)=0,即ex≥1+x.

所以当x>-1时, f(x)≥.

2.解析　(1)当b=0时, f(x)=x2·eax+1-ax,

则f'(x)=xeax+1(2+ax)-a,

由曲线在点(1, f(1))处的切线与直线y=2x平行可知f'(1)=2,即f'(1)=ea+1(2+a)-a=2,

故ea+1(2+a)-(a+2)=0,

即(ea+1-1)(2+a)=0,

解得a=-1或a=-2,

当a=-1时, f(1)=e0+1=2,此时直线y=2x恰为切线,故舍去,经验证,a=-2时符合题意,

所以a=-2.

(2)当b=2时, f(x)=x2·eax+1-2ln x-ax,

设t=x2eax+1(x>0),则ln t=2ln x+ax+1,

故函数f(x)可化为g(t)=t-ln t+1.

由g'(t)=1-,可得g(t)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞),

所以g(t)的最小值为g(1)=1-ln 1+1=2,

所以函数f(x)的值域为[2,+∞).

所以问题转化为当t=1时,ln t=2ln x+ax+1有解,

即ln 1-(2ln x+ax+1)=0有解,即a=-有解.

设h(x)=-,则h'(x)=,

故h(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞),

所以h(x)的最小值为h( ,故a的最小值为- .

3.解析　f'(x)=-3x2+6x+9.令f'(x)=0,

解得x1=-1,x2=3.

当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:

所以当x=-1时, f(x)有极小值f(-1)=a-5;当x=3时, f(x)有极大值f(3)=a+27.

画出大致图像,要使f(x)的图像与x轴只有一个交点,只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2),

所以a+27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5.

故实数a的取值范围为{a|a<-27或a>5}.

4.解析　f'(x)=3ax2-6x.由题意,得a≠0.

当a>0时,令3ax2-6x>0,解得x<0或x>;令3ax2-6x<0,解得0<x<,

此时f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和,单调递减区间为.

当a<0时,令3ax2-6x>0,解得<x<0;

令3ax2-6x<0,解得x<或x>0,

此时f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为和(0,+∞).

5.解析　(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),

且f'(x)=1+ln x+k,

∴f'(1)=1+k,

又f(1)=k,∴曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-k=(k+1)(x-1),

即y=(k+1)x-1.

(2)f(x)≤x2+x⇔ln x+k≤x+1.

设F(x)=ln x-x+k-1,则F'(x)=-1,

当x∈(0,1)时,F'(x)>0,F(x)单调递增,

当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,F(x)单调递减.

∵不等式f(x)≤x2+x恒成立,且x>0,

∴ln x-x+k-1≤0在(0,+∞)上恒成立,

∴F(x)max=F(1)=k-2≤0即可,故k≤2.

(3)令u(x)=x3-x2,则u'(x)=,当x<0时,u'(x)>0,u(x)为增函数;

当0<x<时,u'(x)<0,u(x)为减函数;当x>时,u'(x)>0,u(x)为增函数,

又u(0)=u(4)=0,u(-2)=-6,u,

∴在x∈[-2,4]上,u(x)∈[-6,0].

①当k≥0时,g(x)=|u(x)-k|=-u(x)+k,

g(x)max=6+k,即φ(k)=6+k(k≥0);

②当k≤-6时,g(x)=u(x)-k,所以φ(k)=g(x)max=-k;

③当-6<k<0时,g(0)=g(4)=|-k|=-k,g,

g(-2)=|-6-k|=|6+k|,

当+k>0时,g+k<6+k=g(-2);

当+k<0时,g-k<-k=g(0),

所以g(x)max=max{g(-2),g(0)}

=max{-k,6+k},

即φ(k)=max{-k,6+k}=

综上,φ(k)=所以当k=-3时,φ(k)min=3.

6.解析　(1)证明:f'(x)=2·,当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增.

(2)f'(x)=,

令g(x)=2ln x+x(ln a)2-(ln a)2,则g'(x)=+(ln a)2,∵a>1,∴g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,

故当x∈(0,1)时,g(x)<0,即f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,即f'(x)>0,

∴f(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增,故当x=1时, f(x)取得最小值,为f(1)=1,

若关于x的方程|f(x)-t|=1在区间(0,+∞)上有三个零点,则t-1=f(1),解得t=2.

(3)若对任意的x1,x2∈[a-1,a],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,则对任意的x1,x2∈[a-1,a],|f(x1)-f(x2)|max≤e-1.由(2)可知, f(x)在x∈[a-1,1]上单调递减,在x∈(1,a]上单调递增.

故f(x)min=f(1)=1, f(x)max=max,

令h(a)=f-f(a)=2ln a+-a,

易得h(a)<0,

故f(x)max=f(a)=1+a-ln a,∴|a-ln a|≤e-1恒成立,即a-ln a≤e-1在a>1时恒成立,

设φ(a)=a-ln a,则φ'(a)=1-,∵a>1,∴1->0,故φ(a)=a-ln a为(1,+∞)上的增函数,

又φ(e)=e-ln e=e-1,∴a∈(1,e].