人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念课后测评

第七章　复数

7.1　复数的概念

7.1.1　数系的扩充和复数的概念

基础过关练

题组一　数系的扩充和复数的概念　　　　 　　　　　 　　　　　

1.下列复数中,满足方程x2+2=0的是(　　)

A.±1 B.±i

C.±i D.±2i

2.(2020北京通州高一下期末)已知i为虚数单位,复数z=2-3i的虚部为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.3i B.-3i

C.3 D.-3

3.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是(　　)

A.,1 B.,5

C.±,5 D.±,1

4.以3i-的虚部为实部,3i2+i的实部为虚部的新复数是(　　)

A.3-3i B.3+i

C.-+i D.+i

5.(多选)下列说法不正确的是(　　)

A.复数2+3i的虚部是3i

B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数

C.若a∈R,a≠-3,则(a+3)i是纯虚数

D.若两个复数能够比较大小,则它们都是实数

题组二　复数的分类

6.用C,R,I分别表示复数集、实数集、纯虚数集,且取全集为C,则下列结论成立的是(　　)

A.R∪I=C B.R∩∁CI=⌀

C.∁CR=I D.∁CR∪∁CI=C

7.在+2,i,0,8+5i,(1+)i,-i2这几个数中,纯虚数的个数为(　　)

A.0 B.1

C.2 D.3

8.下列说法中正确的是(　　)

A.复数由实数、虚数、纯虚数构成

B.若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有x≠0

C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数

D.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i

9.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值为　　　　.深度解析 

10.(2020湖南长沙高二期末)设m∈R,复数z=(m2-3m-4)+(m2+3m-28)i,其中i为虚数单位.

(1)当m为何值时,复数z是虚数?

(2)当m为何值时,复数z是纯虚数?

题组三　复数相等的充要条件及其应用

11.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=(　　)

A.-2+i B.2+i

C.1-2i D.1+2i

12.(2019浙江杭州高二期末)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n=(　　)

A.4或0 B.-4或0

C.2或0 D.-2或0

13.如果复数x-1+yi与i-3x相等,x,y为实数,则x=　　　　,y=　　　　. 

14.已知=(x2-2x-3)i(x∈R),则x=　　　　. 

15.已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.深度解析

能力提升练

题组一　复数的相关概念及其应用

1.(2020北京通州高一期末,)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e为自然对数的底数,i为虚数单位,θ∈R)是瑞士著名数学家欧拉发明的,eiπ+1=0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知,复数的虚部为(　　)　　　　 　　　　　 　　　　　

A.- B. C.-i D.i

2.(多选)()下列命题是真命题的是(　　)

A.复数m+ni的实部是m,虚部是n

B.1+i2不是虚数

C.若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则实数a=1

D.若z∈C,则z2≥0

3.(多选)()已知i为虚数单位,下列命题中正确的是(　　)

A.若a≠0,则ai是纯虚数

B.虚部为-的虚数有无数个

C.实数集是复数集的真子集

D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等

题组二　复数的分类及其应用

4.(2019湖北荆州沙市中学高二期末联考,)“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的(　　)

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.(2020辽宁辽阳高二期末,)若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则(　　)

A.a=-1 B.a≠-1且a≠2

C.a≠-1 D.a≠2

6.()若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是　　　　. 

7.()已知复数z=+(x2-2x-15)i,则实数x取什么值时,z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

题组三　复数相等的充要条件及其应用

8.()已知i为虚数单位,复数cos θ+isin θ和sin θ+icos θ(θ∈R)相等,则θ的值为(　　)

A. B.或

C.2kπ+(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)

9.(多选)()已知i为虚数单位,下列命题正确的是(　　)

A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1

B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数

C.若+=0,则z1=z2=0

D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数

10.()满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的有序实数对(x,y)表示的点的个数为　　　　. 

11.(2020北京西城高一月考,)定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=(i为虚数单位),那么实数x,y的值分别为　　　　. 

12.()已知关于x,y的方程组有实数解,求实数a,b的值.

13.()已知i为虚数单位,集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},且M∩N≠⌀,求整数a,b的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　由题意得,x2=-2=2i2,所以x=±i.

2.D　复数2-3i的虚部是-3.故选D.

3.C　由题意,得a2=2,-(2-b)=3,

∴a=±,b=5.故选C.

4.A　3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故新复数为3-3i.故选A.

5.AB　复数2+3i的虚部是3,故A中说法不正确;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,例如,当a∈R,b=0时,a+bi不是虚数,故B中说法错误;只有当a∈R,a+3≠0,即a≠-3时,(a+3)i是纯虚数,故C中说法正确;因为虚数不能比较大小,所以若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故D中说法正确.故选AB.

6.D　利用复数集C,实数集R,虚数集,纯虚数集I之间的关系,结合Venn图可知选项D正确.

7.C　在这些数中,i,(1+)i是纯虚数,所以纯虚数有2个,故选C.

8.C　选项A错误,复数由实数与虚数构成,虚数又分为纯虚数和非纯虚数;选项B错误,若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0,对x的取值没有限定;选项C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数⇔x=0且y≠0,因此只要x≠0,复数z一定不是纯虚数;选项D错误,当a,b∈R时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小.

9.答案　-3

解析　因为z<0,所以解得m=-3.

方法技巧

由于虚数不能比较大小,因此若z<0,则z一定是实数.

10.解析　(1)要使复数z是虚数,必须使m2+3m-28≠0⇒m≠4且m≠-7,

所以当m≠4且m≠-7时,复数z是虚数.

(2)要使复数z是纯虚数,必须使解得m=-1,

所以当m=-1时,复数z是纯虚数.

11.B　由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意,得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件,得x=2,y=1,故x+yi=2+i.

12. A　由z1=z2,得解得 所以m+n=4或0,故选A.

13. 答案　;1

解析　由复数相等的充要条件可知所以

14.答案　3

解析　因为x∈R,所以∈R,由复数相等的充要条件,得解得x=3.

15. 解析　由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(a∈R),

所以解得a=-1.

所以实数a的值为-1.

深度剖析

复数相等的充要条件为我们提供了将复数问题转化为实数问题来解决的途径.

能力提升练

1.B　由欧拉公式得=cos +isin =+i,其虚部为,故选B.

2.BC　复数m+ni中,未指明m,n是实数,故A错误;1+i2=1-1=0,是实数,所以B正确;若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则a2-1=0且a2+3a+2≠0,解得a=1,所以C正确;若z=i,则z2=-1<0,所以D错误.故选BC.

3.BCD　对于A ,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-的虚数可以表示为m-i(m∈R),有无数个,故B正确;C显然正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.故选BCD.

4.A　复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数⇔a=0且b≠0,所以“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件.

5.C　解法一:复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0,解得a≠-1.故选C.

解法二:若该复数为纯虚数,则a2-a-2=0且|a-1|-1≠0,解得a=-1,所以若该复数不是纯虚数,则a≠-1.故选C.

6.答案　-2

解析　因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,

所以

即解得x=-2.

7.解析　(1)当x满足即x=5时,z是实数.

(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.

(3)当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.

8.D　由复数相等的充要条件,知sin θ=cos θ,

解得θ=kπ+(k∈Z).

9.BD　取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误;∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i(a∈R)是纯虚数,故B正确;取z1=i,z2=1,则+=0,但z1=z2=0不成立,故C错误;当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=lg 1+42i=42i,是纯虚数,故D正确.故选BD.

10.答案　2

解析　由题意知,x,y都是实数,由x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0,得解得或所以有序实数对(x,y)表示的点有,,共2个.

11.答案　-1,2

解析　由=ad-bc,得=3x+2y+yi,

故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.

因为x,y为实数,所以

即解得

12.解析　设(x0,y0)是方程组的实数解,

由已知及复数相等的充要条件,得

由①②,得代入③④,得

所以实数a,b的值分别为1,2.

13.解析　由题意,得(a+3)+(b2-1)i=3i,①

或8=(a2-1)+(b+2)i,②

或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③

由①得a=-3,b=±2,

由②得a=±3,b=-2,

③中,a,b无整数解,不符合题意.

综上,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.