人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质课时训练，共21页。试卷主要包含了下列函数中,周期为2π的是，下列函数中是偶函数的是，函数图象如图所示等内容，欢迎下载使用。

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
基础过关练
题组一　正、余弦(型)函数的周期性
1.(2019北京西城高一上期末)函数f(x)=sinx2+π3的最小正周期为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.π B.2π C.4π D.6π
2.函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)的最小正周期为π5,则ω等于(　　)
A.5 B.10 C.15 D.20
3.下列函数中,周期为2π的是(　　)
A.y=cos x2 B.y=cos 2x
C.y=cos x2 D.y=|cos 2x|
4.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π2的函数,若f(x)=cosx,-π2≤x≤0,sinx,0 A.1 B.22 C.0 D.-22
5.已知函数y=12sin x+12|sin x|.
(1)画出该函数图象的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.



题组二　正、余弦(型)函数的奇偶性
6.下列函数中是偶函数的是(　　)
A.y=sin 2x B.y=-sin x
C.y=sin|x| D.y=sin x+1
7.设函数f(x)=sin2x-π2,x∈R,则f(x)是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π2的偶函数
8.函数y=sin12x-φ(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ的值是(　　)
A.0 B.π4 C.π2 D.π
9.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|(x∈R)为奇函数,则a=　　　　.  
题组三　正、余弦(型)函数图象的对称性
10.(2019福建八县(市)一中高一上期末联考)函数y=2sinx-π4图象的一条对称轴是直线(　　)
A.x=π4 B.x=π2 C.x=3π4 D.x=2π
11.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末)最小正周期为π,且图象关于点7π12,0对称的一个函数是(　　)
A.y=sinx2+π6 B.y=sin2x+π6
C.y=cos2x-π6 D.y=sin2x-π6
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),且对于任意x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ6的值为　　　　. 
13.已知函数f(x)=cosx2+π3,则f(x)的最小正周期是　　　　, f(x)的对称中心是　　　　　　　.  
题组四　正、余弦(型)函数的单调性
14.已知函数y=sin x和y=cos x在区间I上都是减函数,那么区间I可以是(　　)
A.0,π2 B.π2,π C.π,3π2 D.3π2,2π
15.函数y=-23cos x,x∈[0,2π]的单调性是(　　)
A.在[0,π]上是增函数,在[π,2π]上是减函数
B.在0,π2,3π2,2π上是增函数,在π2,3π2上是减函数
C.在[π,2π]上是增函数,在[0,π]上是减函数
D.在π2,3π2上是增函数,在0,π2,3π2,2π上是减函数
16.函数f(x)=2cos2x-π4的单调递减区间是　　　　　　　. 
17.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是　　　　.  
18.已知函数f(x)=sin12x+φ0<φ<π2,且f(x)的图象的一条对称轴是直线x=π4.
(1)求φ的值;

(2)求函数f(x)的单调递增区间.






题组五　正、余弦(型)函数的值域与最大(小)值
19.y=sin x-|sin x|的值域是(　　)
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[-1,1] D.[-2,0]
20.当-π2≤x≤π2时,函数f(x)=2sinx+π3有(　　)
A.最大值1,最小值-1
B.最大值1,最小值-12
C.最大值2,最小值-2
D.最大值2,最小值-1
21.函数y=2sinxsinx+2的最小值是(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
22.(1)求函数y=3-2sin x取得最大值、最小值时自变量x的集合,并写出函数的最大值、最小值;
(2)求函数f(x)=2sin2x+2sin x-12,x∈π6,5π6的值域.





23.已知函数f(x)=a-bcos2x+π6(b>0)的最大值为32,最小值为-12.
(1)求a,b的值;
(2)求函数g(x)=-4asinbx-π3的最小值,并求出取最小值时x的集合.






题组六　利用正、余弦函数的单调性比较大小
24.下列关系式中正确的是(　　)
A.sin 11° B.sin 168° C.sin 11° D.sin 168° 25.下列不等式成立的是(　　)
A.sin-π8>sin-π10 B.sin 3>sin 2
C.sin7π5>sin-2π5 D.sin 2>cos 1
26.(2019山东师大附中高一期中)设a=cosπ12,b=sin41π6,c=cos7π4,则(　　)
A.a>c>b B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
27.比较下列各组数的大小:
(1)sin-37π6与sin 49π3;
(2)cos 870°与sin 980°.




能力提升练
题组一　正、余弦(型)函数的周期性、奇偶性与对称性
1.(多选)(2020山东济南高一检测,)关于函数f(x)=4sin2x+π3(x∈R),下列命题正确的是(　　)
A.y=f(x)的解析式可改写为y=4cos2x-π6
B.y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
C.函数y=fx-π6是奇函数
D.y=fx+π12的图象关于y轴对称
2.(2020北京西城高一上期末,)设函数f(x)=sinωx+π3.若f(x)的图象关于直线x=π6对称,则ω的取值集合是　　　　. 
题组二　正、余弦(型)函数的单调性与最大(小)值
3.(2020广东佛山高一上期末,)函数y=sinx+π4+cosπ4-x的最大值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3 C.2 D.1
4.(2020天津一中高一上期末,)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立,且fπ2>f(π),则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.kπ-π3,kπ+π6(k∈Z)
B.kπ,kπ+π2(k∈Z)
C.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)
D.kπ-π2,kπ(k∈Z)
5.(2020福建八县(市)一中高一上期末联考,)已知ω>0,函数f(x)=sinωx+π4在π2,π上单调递减,则ω的取值范围是(　　)
A.0,12
B.(0,2]
C.12,54
D.12,34
6.(2020北京一一中学高一上期末,)函数y=sin(cosx)的值域是　　　　. 
7.(2020北京师大附中高一上期末,)已知函数f(x)=2sin2x-π3+1.
(1)求函数f(x)的周期;
(2)求函数f(x)在(0,π)上的单调区间;
(3)若对任意x∈R,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,试求m的取值范围.



题组三　正、余弦(型)函数性质的综合运用
8.(2019北京东城高一上期末,)sin 1,sin 2,sin 3的大小关系是(　　)
A.sin 1 C.sin 2 9.(2020吉林五地六校高一上期末,)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=0,且y=f(x-1)的图象关于(1,0)对称,f(2)=4,则f(2 014)=(　　)
A.0 B.-4 C.-8 D.-16
10.(多选)(2020河北石家庄二中高一上期末,) 已知定义在区间[-π,π]上的函数f(x)=cos x-x2,则下列条件中能使f(x1) A.-π≤x1 C.|x1|>|x2| D.x12≤x22
11.(多选)()对于函数f(x)=ax3+bsin x+c(a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值去计算f(-1)和f(1)的值,所得出的正确结果可能是(深度解析)
A.2和6 B.3和9
C.4和11 D.5和13
12.(2020山东泰安高一上期末,)
从①函数fx-π3为奇函数;
②当x=π3时,f(x)=3;
③2π3是函数f(x)的一个零点,
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2, f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π,　　　　　. 
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间.深度解析







13.()已知函数f(x)=2sin(2x+φ)-π2<φ<π2,且f(x)的图象过点(0,1).
(1)求函数f(x)的最小正周期及φ的值;
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合;
(3)求函数f(x)的单调增区间.




14.()已知函数f(x)=2cos2x-π4,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈-π8,π2时,方程f(x)=a恰有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.




15.()已知f(x)=-2asin2x+π6+2a+b,x∈π4,3π4,是否存在常数a,b∈Q,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤3-1}?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.












答案全解全析
基础过关练
1.C　由周期公式可得函数f(x)=sinx2+π3的最小正周期为T=2π12=4π.故选C.
2.B　由题意知T=2πω=π5,所以ω=10.
3.C　y=cos x2的周期为T=2π12=4π;
y=cos 2x的周期为T=2π2=π;
y=cos x2的周期为T=2π;
y=|cos 2x|的周期为T=π2.故选C.
4.B　f-15π4=f3π2×(-3)+3π4
=f3π4=sin3π4=22.
5.解析　(1)y=12sin x+12|sin x|
=sinx,x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z),0,x∈[2kπ-π,2kπ)(k∈Z).函数图象如图所示.

(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.
6.C　A,B中的函数是奇函数,D中的函数是非奇非偶函数,C中的函数符合f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),所以y=sin|x|是偶函数.
7.B　f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
∵sin2x-π2=-sinπ2-2x=-cos 2x,
∴f(x)=-cos 2x.
又f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
8.C　由题意,得sin(-φ)=±1,即sin φ=±1,因为φ∈[0,π],所以φ=π2,故选C.
9.答案　0
解析　∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x)=-sin x+|a|,∴|a|=0,∴a=0.
10.C　将各项中x的取值分别代入函数解析式,得当x=π4时,y=2sin 0=0,不是最大(小)值,A错误;当x=π2时,y=2sinπ4=2,不是最大(小)值,B错误;当x=3π4时,y=2sinπ2=2,是最大值,C正确;当x=2π时,y=2sin-π4=-2,不是最大(小)值,D错误.故选C.
11.D　由于函数的最小正周期为π,所以2πω=π,所以ω=2,所以选项A错误;
对于选项B, f7π12=sin2×7π12+π6=sin4π3=-32≠0,所以选项B是错误的;
对于选项C, f7π12=cos2×7π12-π6=cos π=-1≠0,所以选项C是错误的;
对于选项D,f7π12=sin2×7π12-π6=sin π=0,所以选项D是正确的.
12.答案　2或-2
解析　∵fπ6+x=fπ6-x,∴直线x=π6是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象的一条对称轴,∴fπ6=±2.
13.答案　4π;2kπ+π3,0(k∈Z)
解析　由f(x)=cosx2+π3,得T=2π12=4π;令x2+π3=kπ+π2,k∈Z,求得x=2kπ+π3,k∈Z,可得f(x)的对称中心是2kπ+π3,0,k∈Z.
14.B　逐一验证所给的区间:A.0,π2,函数y=sin x在该区间上单调递增,函数y=cos x在该区间上单调递减,不合题意;B.π2,π,函数y=sin x在该区间上单调递减,函数y=cos x在该区间上单调递减,符合题意;C.π,3π2,函数y=sin x在该区间上单调递减,函数y=cos x在该区间上单调递增,不合题意;D.3π2,2π,函数y=sin x在该区间上单调递增,函数y=cos x在该区间上单调递增,不合题意.故选B.
15.A　函数y=-23cos x的单调减区间是[π+2kπ,2π+2kπ](k∈Z),单调增区间是[2kπ,π+2kπ](k∈Z).∵x∈[0,2π],∴y=-23cos x在[0,π]上是增函数,在[π,2π]上是减函数.
16.答案　π8+kπ,5π8+kπ(k∈Z)
解析　令2kπ≤2x-π4≤π+2kπ,k∈Z,
得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z,
即f(x)的单调递减区间是
π8+kπ,5π8+kπ(k∈Z).
17.答案　(-π,0]
解析　因为y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有-π 18.解析　(1)∵直线x=π4是f(x)的图象的一条对称轴,
∴12×π4+φ=π8+φ=kπ+π2,k∈Z,
又∵0<φ<π2,
∴φ=3π8.
(2)由(1)知φ=3π8,因此f(x)=sin12x+3π8.令2kπ-π2≤12x+3π8≤2kπ+π2,k∈Z,得4kπ-7π4≤x≤4kπ+π4,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ-7π4,4kπ+π4,k∈Z.
19.D　y=sin x-|sin x|
=0,0≤sinx≤1,2sinx,-1≤sinx<0,
当-1≤sin x<0时,-2≤2sin x<0,
因此函数的值域为[-2,0].
20.D　因为-π2≤x≤π2,所以-π6≤x+π3≤5π6,所以-12≤sinx+π3≤1,所以-1≤f(x)≤2.
21.B　因为y=2sinxsinx+2=2-4sinx+2,所以当sin x=-1时,y=2sinxsinx+2取得最小值-2.
22.解析　(1)∵-1≤sin x≤1,∴当sin x=-1,即x=2kπ+3π2,k∈Z时,y取得最大值5,
相应的自变量x的集合为xx=2kπ+3π2,k∈Z;
当sin x=1,即x=2kπ+π2,k∈Z时,y取得最小值1,
相应的自变量x的集合为xx=2kπ+π2,k∈Z.
(2)令t=sin x,g(t)=2t2+2t-12.
∵x∈π6,5π6,
∴12≤sin x≤1,
即12≤t≤1,
∴g(t)=2t2+2t-12=2t+122-1,
∴1≤g(t)≤72,
∴函数f(x)的值域为1,72.
23.解析　(1)由题意知cos2x+π6∈[-1,1],∵b>0,∴-b<0.
∴f(x)max=b+a=32,f(x)min=-b+a=-12,∴a=12,b=1.
(2)由(1)知a=12,b=1,
∴g(x)=-2sinx-π3,
∵sinx-π3∈[-1,1],
∴g(x)∈[-2,2].
∴g(x)的最小值为-2,此时sinx-π3=1,则x-π3=2kπ+π2,k∈Z,∴x=2kπ+5π6,k∈Z,故取最小值时x的集合为xx=2kπ+5π6,k∈Z.
24.C　由诱导公式,得cos 10°=sin 80°,sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,因为当0°≤x≤90°时,正弦函数y=sin x是单调递增的,所以sin 11° 即sin 11° 25.D　∵sin 2=cosπ2-2=cos2-π2,
且0<2-π2<1<π,∴cos2-π2>cos 1,即sin 2>cos 1.
26.A　由已知得b=sin41π6=sin6π+5π6=sin5π6=sinπ6=cosπ3,c=cos7π4=cosπ4,
因为π2>π3>π4>π12>0,且y=cos x在0,π2上是减函数,所以cos π12>cos π4>cos π3,即a>c>b,故选A.
27.解析　(1)sin-37π6=sin-6π-π6=sin-π6,sin 49π3=sin16π+π3=sinπ3.
∵y=sin x在-π2,π2上是增函数,-π2<-π6<π3<π2,
∴sin-π6 即sin-37π6 (2)cos 870°=cos(2×360°+150°)=cos 150°,sin 980°=sin(2×360°+260°)=sin 260°=sin(90°+170°)=cos 170°,
∵0°<150°<170°<180°,且当0°≤x≤180°时,y=cos x是减函数,
∴cos 150°>cos 170°,即cos 870°>sin 980°.
能力提升练
1.ACD　A正确, f(x)=4sin2x+π3=4cosπ2-2x+π3=4cos2x-π6;B错误,由题意知T=2π2=π;C正确, fx-π6=4sin2x-π6+π3=4sin 2x,是奇函数;D正确, fx+π12=4sin2x+π12+π3=4cos 2x,是偶函数,其图象关于y轴对称.综上知,ACD正确.
2.答案　{ω|ω=6k+1,k∈Z}
解析　由题意可知,函数f(x)=sinωx+π3图象的对称轴方程为ωx+π3=kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+π6ω(k∈Z),结合题意有kπ+π6ω=π6(k∈Z),整理可得ω的取值集合是{ω|ω=6k+1,k∈Z}.
3.A　由诱导公式得y=sinx+π4+cos π4-x=sinx+π4+sinx+π4=2sinx+π4,
因为-1≤sinx+π4≤1,
所以-2≤2sinx+π4≤2,因此函数的最大值为2,故选A.
4.C　因为对任意x∈R,f(x)≤fπ6恒成立,所以fπ6=sinπ3+φ=±1,则可取φ=π6或φ=7π6.当φ=π6时,f(x)=sin2x+π6,则fπ2=-12f(π)=-12,符合题意.故f(x)=sin2x+7π6.令2kπ+3π2≤2x+7π6≤2kπ+5π2,k∈Z,解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z,即f(x)的单调递增区间是kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).故选C.
5.C　∵函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)在π2,π上单调递减,∴周期T=2πω≥π,解得0<ω≤2.
∵f(x)=sinωx+π4的单调递减区间满足π2+2kπ≤ωx+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,
即π4ω+2kπω≤x≤5π4ω+2kπω,k∈Z,
∴存在k∈Z,使π4ω+2kπω≤π2,5π4ω+2kπω≥π均成立,此时12+4k≤ω≤54+2k,k∈Z,
∴12≤ω≤54,即ω的取值范围是12,54,故选C.
6.答案　[0,sin1]
解析　要使函数有意义,则sin(cos x)≥0,∵-1≤cos x≤1,∴0≤cos x≤1,
此时0≤sin(cos x)≤sin 1,则0≤sin(cosx)≤sin1,
即函数的值域为[0,sin1],故答案为[0,sin1].
7.解析　(1)函数f(x)的周期为2π2=π.
(2)令-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,
当k=0时,-π12≤x≤5π12,
当k=1时,11π12≤x≤17π12.
∵x∈(0,π),
∴函数f(x)在(0,π)上的单调增区间为0,5π12,11π12,π.
同理,函数f(x)在(0,π)上的单调减区间为5π12,11π12.
(3)∵f(x)=2sin2x-π3+1,
∴-1≤f(x)≤3,∴f(x)+2>0,
∴mf(x)+2m≥f(x)可化为m≥1-2f(x)+2,∴要想不等式恒成立,只需m≥1-2f(x)+2max即可.
又∵-1≤f(x)≤3,
∴-1≤1-2f(x)+2≤35,∴m≥35.
8.D　由诱导公式得sin 2=sin(π-2),sin 3=sin(π-3),
又0<π-3<1<π-2<π2,且y=sin x在0,π2上为增函数,
∴sin(π-3) 9.B　函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)=-f(x),∴f(x+12)=- f(x+6)=-[-f(x)] =f(x),因此函数f(x)的周期T=12.
∵y=f(x-1)的图象关于(1,0)对称,
∴把y=f(x-1)的图象向左平移1个单位得到的y=f(x-1+1)=f(x)的图象关于(0,0)对称,
因此函数f(x)为奇函数,
∴f(2 014)= f(167×12+10)= f(10)=f(10-12)=f(-2)=-f(2)=-4,故选B.
10.AC　∵f(x)=cos x-x2,x∈[-π,π],
f(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos x-x2=f(x),
∴f(x)是偶函数,易知f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减.
因此当-π≤x1 ∴A正确,B错误.
又f(x)是偶函数, f(x1) ∴|x1|>|x2|,x12>x22,
从而C正确,D错误.故选AC.
易错警示　偶函数在原点两侧对称的单调区间上的单调性相反,解题时要将自变量化到同一单调区间内,防止错用单调区间造成错误.
11.ABD 　设F(x)=f(x)-c=ax3+bsin x,
∵F(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-(ax3+bsin x)=-F(x),∴F(x)是奇函数.
∴F(-1)=-F(1).
又F(-1)=f(-1)-c,F(1)=f(1)-c,
因此f(-1)-c=-f(1)+c,∴f(1)+f(-1)=2c.
由c∈Z知f(1)+f(-1)为偶数,
故A,B,D有可能正确,而4与11的和15为奇数,C不可能正确,因此选ABD.
思路探究　研究自变量取一对相反数时两函数值的关系时,常利用函数的奇偶性.对于不具有奇偶性的函数,常根据解析式的特点构造新的具有奇偶性的函数.解本题时要注意对条件c∈Z的应用,防止漏用导致解题受阻.
12.解析　∵函数f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π,
∴T=2πω=2π,
∴ω=1,
∴f(x)=2sin(x+φ).
方案一:选条件①.
(1)∵fx-π3=2sinx+φ-π3为奇函数,
∴φ-π3=kπ,k∈Z,
∴φ=π3+kπ,k∈Z.
∵0<φ<π2,
∴φ=π3,
∴f(x)=2sinx+π3.
(2)令-π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得-5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z,
∴令k=0,得-5π6≤x≤π6,
令k=1,得7π6≤x≤13π6.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为0,π6,7π6,2π.
方案二:选条件②.
(1)∵fπ3=2sinπ3+φ=3,
∴sinπ3+φ=32,
∴π3+φ=π3+2kπ或π3+φ=2π3+2kπ,k∈Z,
∴φ=2kπ或φ=π3+2kπ,k∈Z.
∵0<φ<π2,
∴φ=π3,
∴f(x)=2sinx+π3.
(2)令-π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得-5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z,
∴令k=0,得-5π6≤x≤π6,
令k=1,得7π6≤x≤13π6.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为0,π6,7π6,2π.
方案三:选条件③.
(1)∵2π3是函数f(x)的一个零点,
∴f2π3=2sin2π3+φ=0,
∴2π3+φ=kπ,k∈Z,
∴φ=kπ-2π3,k∈Z.
∵0<φ<π2,
∴φ=π3,
∴f(x)=2sinx+π3.
(2)令-π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得-5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z,
∴令k=0,得-5π6≤x≤π6,
令k=1,得7π6≤x≤13π6.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为0,π6,7π6,2π.
解题模板　补充条件问题的解决,首先应明确已知条件的实质和要解决的问题;然后判断补充条件与已知条件是否矛盾,若两者矛盾则不能选择;最后利用补充条件解决问题.
13.解析　(1)函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
因为f(x)的图象过点(0,1),所以f(0)=2sin φ=1,即sin φ=12.
又-π2<φ<π2,
所以φ=π6.
(2)由(1)知, f(x)=2sin2x+π6,所以函数f(x)的最大值是2.
令2x+π6=π2+2kπ(k∈Z),得x=π6+kπ(k∈Z),
所以f(x)取得最大值时,x的集合是x|x=π6+kπ,k∈Z.
(3)由(1)知, f(x)=2sin2x+π6.
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调增区间为-π3+kπ,π6+kπ(k∈Z).
14.解析　(1)因为f(x)=2cos2x-π4,
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π,
令-π+2kπ≤2x-π4≤2kπ,k∈Z,
得-3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为-3π8+kπ,π8+kπ(k∈Z).
(2)易知f(x)=2cos2x-π4在区间-π8,π8上为增函数,在区间π8,π2上为减函数,
又f-π8=0,fπ8=2,fπ2=-1,
∴当a∈[0,2)时,方程f(x)=a恰有两个不同的实数根.
15.解析　∵π4≤x≤3π4,∴2π3≤2x+π6≤5π3,∴-1≤sin2x+π6≤32.
假设存在有理数a,b,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤3-1},则当a>0时,-3a+2a+b=-3,2a+2a+b=3-1,
解得a=1,b=3-5(不合题意,舍去);当a=0时, f(x)=b(不合题意,舍去);
当a<0时,2a+2a+b=-3,-3a+2a+b=3-1,解得a=-1,b=1.故a=-1,b=1时,使得f(x)的值域为{y|-3≤y≤3-1}.