人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时精练

5.5　三角恒等变换

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

基础过关练

题组一　给角求值

1.cos 45°·cos 15°+sin 45°·sin 15°=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B. C. D.

2.coscos+cossin=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.0 B. C. D.

3.sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°)=(　　)

A.- B.- C. D.

4.计算:sin 75°=　　　　.  

5.计算:sin 60°+cos 60°=　　　　. 

6.化简:=　　　　.  

题组二　给值求值

7.若sin α=,α∈,则cos的值为(　　)

A.- B.- C.- D.-

8.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=,sin β=-,则cos(α-β)的值为(　　)

A.- B.- C. D.

9.若α,β都是锐角,且cos α=,sin(α-β)=,则cos β=(　　)

A. B.

C.或- D.或

10.已知sin α=,cos β=,α∈,β∈,则cos(α-β)的值为　　　　. 

11.已知cos=-,sin=,且α∈,β∈,则cos 的值为　　　　. 

12.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为,.求cos(α-β)的值.

题组三　给值求角

13.若α∈[0,π],sinsin+coscos=0,则α的值是(　　)

A. B. C. D.

14.若cos(α-β)=,cos 2α=,α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为(　　)

A. B. C. D.

15.已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β的值.

答案全解全析

基础过关练

1.B　 cos 45°·cos 15°+sin 45°·sin 15°=cos(45°-15°)=cos 30°=.

2.C　coscos+cossin

=coscos+sinsin

=cos

=cos=.

3.B　原式=-sin 100°sin 160°+cos 200°·cos 280°

=-sin 80°sin 20°-cos 20°cos 80°

=-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)

=-cos 60°=-.

4.答案　

解析　sin 75°=cos 15°=cos(45°-30°)

=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°

=×+×=.

5.答案　

解析　原式=sin 30°sin 60°+cos 30°cos 60°=cos(60°-30°)=cos 30°=.

6.答案　

解析　

=

==.

7.B　 ∵sin α=且α∈,∴cos α=-,∴cos =cos cos α+sinsin α=-.

8.A　∵α为锐角,且cos α=,∴sin α==.∵β为第三象限角,且sin β=-,∴cos β=-=-.

∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.

9.A　 由α,β都是锐角,且cos α=,sin(α-β)=,得sin α=,cos(α-β)=,

∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=.

10.答案　-

解析　∵α∈,sin α=,∴cos α=-=-.∵β∈,

cos β=,∴sin β=-=-,故cos (α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β=×+×=-.

11.答案　

解析　∵<α<π,0<β<,∴<<,-<-<0,<α+β<,

∴<α-<π,-<-β<,<<.

又cos=-,sin=,

∴sin=,cos=.

∴cos=cos

=coscos+sinα-·sin-β

=-×+×=-+=.

12.解析　依题意,得cos α=,cos β=.

因为α,β为锐角,所以sin α=,sin β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.

13.D　因为coscos+sinsin=0,

所以cos=0,所以cos α=0.

又α∈[0,π],所以α=,故选D.

14.C　∵cos(α-β)=,cos 2α=,α,β∈,且α<β,∴α-β∈,2α∈(0,π),∴sin(α-β)=-,sin 2α=,

∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]

=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)

=×+×=-,

∵α+β∈(0,π),∴α+β=.

15.解析　由条件得sin α=,sin β=.

∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

=×+×=,

又α-β∈,∴α-β=±,

∵cos α>cos β,α,β均为锐角,

∴α<β,则α-β=-.