人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式练习

5.3　诱导公式

基础过关练

题组一　利用诱导公式解决给角求值问题

1.(2020北京西城高一上期末)sin的值是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.- C. D.-

2.sin 165°等于(　　)

A.-sin 15° B.cos 15°

C.sin 75° D.cos 75°

3.(2020天津滨海新区高一上期末检测)tan 225°的值为　　　　. 

4.的值是　　　　. 

5.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是　　　　. 

6.计算下列各式的值:

(1)cos+cos +cos+cos;

(2)sin 240°cos 330°+sin(-690°)cos(-660°).

题组二　利用诱导公式解决给值求值问题

7.已知sin=,那么cos α等于(　　)

A.- B.- C. D.

8.(2019天津一中高一上期末)已知cosα+=-,则sin的值为(　　)

A. B.- C. D.-

9.若sin(-110°)=a,则tan 70°等于(　　)

A. B. C. D.

10.已知α是三角形的一个内角,cos(π+α)=,则tan(π-α)=(　　)

A.- B. C. D.-

题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题

11.(2020北京丰台高一上期末)=(　　)

A.tan α B.-tan α C.1 D.-1

12.sin2(2π-α)+cos(π+α)·cos(π-α)+1的值是(　　)

A.1 B.2 C.0 D.2sin2α

13.化简:=　　　　. 

14.化简:+.

15.求证:=.

能力提升练

题组一　利用诱导公式解决给角求值问题

1.(2020安徽安庆一中高一上期末,)若点P(x,y)是330°角终边上异于原点的任意一点,则的值是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.- C.- D.

2.()sin+costan 2 020π-cos+sin=　　　　. 

3.(2020北京人大附中高一月考,)计算:

.

题组二　利用诱导公式解决给值求值问题

4.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测,) 已知sin=,则sin=(深度解析)

A. B.- C.- D.

5.(2019四川宜宾高一上期末,)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,P为其终边上一点,则sin=(　　)

A.- B.- C. D.

6.(2019浙江“温州十校联合体”高一期末,)已知tan θ=2,则=(　　)

A.7 B.- C.- D.1

7.(2019海南海口龙华高一期末,)已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos=(　　)

A.- B.- C. D.

8.(多选)()下列化简正确的是(　　)

A.=cos α

B.=tan α

C.=1

D.若θ∈,则=sin θ-cos θ

9.(2019福建八县(市)一中高一上期末联考,)已知cos=,则sin=　　　　. 

10.(2020山东临沂外国语学校高一上期末,)已知=.

(1)求tan α的值;

(2)求sin(π-α)sin的值.

题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题

11.(2020北京师大附中高一上期末,)化简:+.

12.(2020安徽安庆高一上期末,)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,-4).

(1)求sin α-cos α的值;

(2)求的值.

13.(2020黑龙江哈三中高一上模块检测,)已知点P(1,1)在角α的终边上,求下列各式的值:

(1);

(2).

14.(2019重庆江津七校高一期末,)已知f(α)=.

(1)求f的值;

(2)若α∈(0,π)且f(α)+f=-,求sin2α-cos α的值.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由题意可得sin=-sin =-.故选D.

2.D　sin 165°=sin(90°+75°)=cos 75°.

3.答案　1

解析　tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°=1.

4.答案　-2

解析　原式=

=

=

===-2.

5.答案　b>a>c

解析　∵a=-tan=-tan

=-tan=-,

b=cos=cos=,

c=-sin=-sin=-sin

=-,∴b>a>c.

6.解析　(1)原式=cos+cos +cosπ-+cosπ-=cos+cos-cos-cos=0.

(2)原式=sin(180°+60°)cos(360°-30°)+sin(-2×360°+30°)cos(-2×360°+60°)

=-sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°

=-×+×=-.

7.C　sin=sin=cos α,

故cos α=,故选C.

8.A　∵cos=-,

∴sin=sin

=-cos=,故选A.

9.B　∵sin(-110°)=-sin 110°=-sin(180°-70°)=-sin 70°=a,∴sin 70°=-a,

∴cos 70°==,

∴tan 70°==.

10.C　∵cos(π+α)=,∴cos α=-,

又α是三角形的一个内角,∴sin α=,

∴tan(π-α)=-tan α=-=,故选C.

11.C　由题意结合诱导公式可得:==1.故选C.

12.B　原式=sin2α+(-cos α)·(-cos α)+1=sin2α+cos2α+1=2.故选B.

13.答案　-1

解析　原式===-1.

14.解析　∵tan(-α)=-tan α,

sin=cos α,

cosα-=cos-α=-sin α,

tan(π+α)=tan α,

∴原式=+=+==-=-1.

15.证明　

右边=

=

=

=

===左边,

所以原等式成立.

能力提升练

1.C　依题意得=tan 330°,又tan 330°=tan(360°-30°)=-tan 30°=-,∴ =-,故选C.

2.答案　-1

解析　原式=-sin+cos×0-cos-sin

=-sin+cos-1

=-+-1=-1.

3.解析　由诱导公式可得tan 150°=tan(180°-30°)=-tan 30°=-,

cos(-210°)=cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-,

sin(-420°)=-sin 420°=-sin(360°+60°)=-sin 60°=-,

sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=-,cos(-600°)=cos 600°=cos(3×180°+60°)=-cos 60°=-,

∴原式===-.

4.D　∵sin=,∴sin=sin=sin=.

解题模板　形如“已知θ+α的三角函数值,求θ+β的三角函数值”,解决此类给值求值问题的关键是找到θ+α与θ+β的数量关系,根据两者之间的数量关系选取公式,从而达到求值的目的,如本题中+=π.

5.A　因为P在角α的终边上,所以x=-,y=,从而求得r=1,

所以cos α=-,故sin=cos α=-,故选A.

6.C　原式==,把tan θ=2代入,得原式==-.

7.A　∵3sin2α=8cos α,∴sin2α+=1,整理可得9sin4α+64sin2α-64=0,

解得sin2α=或sin2α=-8(舍去).

又∵α是第四象限角,

∴sin α=-,

∴cos=cos

=-cos=sin α=-.

8.AD　A正确,==cos α;B错误,==-tan α;

C错误,

==-1;

D正确,

=

=

=|sin θ-cos θ|,

∵θ∈,∴sin θ>0,cos θ<0,故=sin θ-cos θ.故选AD.

9.答案　-

解析　因为+=-,

所以sin=sin

=-sin=-cos

=-.故答案为-.

10.解析　(1)由=得,

=,解得tan α=2.

(2)sin(π-α)sin

=-sin αcos α

=-

=,

由(1)可知,tan α=2,

所以-=-=-,

即sin(π-α)sin=-.

11.解析　原式=+

=-sin α+sin α=0.

12.解析　(1)由已知可得r==5,

根据三角函数的定义知sin α=-,

cos α=,

所以sin α-cos α=--=-.

(2)解法一:根据诱导公式知=

=

===.

解法二:由(1)可知tan α=-,

根据诱导公式知

=

==

===.

13.解析　∵点P(1,1)在角α的终边上,

∴sin α=cos α=,tan α=1.

(1)

===-.

(2)

===-.

14.解析　(1)因为f(α)

==-cos α,

所以f=-cos=-.

(2)由(1)知f(α)=-cos α.

又因为f(α)+f=-,

所以-cos α-cos=-,

所以cos α+sin α=,

两边平方,得1+2sin αcos α=,

所以2sin αcos α=-,

所以1-2sin αcos α=,

即(sin α-cos α)2=.

因为2sin αcos α=-<0,α∈(0,π),

所以α∈,所以sin α-cos α>0,

所以sin α-cos α=,

结合cos α+sin α=,

解得sin α=,cos α=-,

故sin2α-cos α=-=.