人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第4课时课时练习

正弦函数、余弦函数的性质(二)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数f(x)＝sin 的单调增区间是(　　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

2．已知函数f(x)＝sin 在区间[0，a](其中a＞0)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A．

B．

C．

D．

3．函数f(x)＝sin 在[0，π]上的对称轴条数为(　　)

A．4    B．3    C．2    D．1

4．已知函数y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，则b－a的值不可能是(　　)

A．    B．π    C．    D．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．函数f(x)＝3cos2x－4cosx＋1，x∈，当x＝________时，f(x)最小且最小值为________．

6．下列不等式中成立的是________．

①sin >sin ；

②cos 400°>cos(－50°)；

③sin 3>sin 2；

④sin >cos .

三、解答题

7．(10分)已知函数f(x)＝sin ＋1，x∈R.

(1)求出f(x)的单调递减区间；

(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知函数f(x)＝sin ，(ω＞0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．

2．(多选题)已知函数f(x)＝sin ，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝对称

B．f(x)在上单调递减

C．f(x)在[0，π]上有2个零点

D．f(x)在上的最大值为1

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．已知函数f(x)＝3sin ，则以下说法正确的是________．

①f(x)的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)；

②f(x)的对称中心为(k∈Z)；

③f(x)的单调增区间为(k∈Z)；

④f(x)的最小正周期为4π.

4．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为________．

三、解答题

5．(10分)已知函数f(x)＝a sin ＋1－a(a∈R)，x∈，若定义在非零实数集上的奇函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，且g(2)＝0，求当g[f(x)]<0恒成立时实数a的取值范围．

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数f(x)＝sin 的单调增区间是(　　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

分析选C.求f(x)＝sin ＝

－sin (2x－)的单调增区间，

即求函数y＝sin 的单调减区间．

令2kπ－≤2x－≤2kπ－，求得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故函数y＝sin 的单调减区间为(k∈Z)，

即函数f(x)＝sin 的单调增区间为(k∈Z).

2．已知函数f(x)＝sin 在区间[0，a](其中a＞0)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A．

B．

C．

D．

分析选A.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

取k＝0，得－≤x≤，

则函数f(x)＝sin 的一个增区间为

[－，].

因为函数f(x)＝sin 在区间[0，a](其中a＞0)上单调递增，

所以0＜a≤.

3．函数f(x)＝sin 在[0，π]上的对称轴条数为(　　)

A．4    B．3    C．2    D．1

分析选B.因为当x∈[0，π]时，所以可得3x＋∈，

所以函数的对称轴为：3x＋＝，，，

所以x＝，或x＝，或x＝.

所以f(x)＝sin 在[0，π]上的对称轴条数为3.

4．已知函数y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，则b－a的值不可能是(　　)

A．    B．π    C．    D．

分析选D.函数y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，

所以x∈[a，b]时，－1≤sin x≤，

故sin x能取到最小值－1，最大值只能取到，

例如当a＝－，b＝时，区间长度b－a最小为；

当a＝－，b＝时，区间长度b－a取得最大为，即≤b－a≤，

故b－a一定取不到.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．函数f(x)＝3cos2x－4cosx＋1，x∈，当x＝________时，f(x)最小且最小值为________．

分析令t＝cos x，x∈，所以t∈，y＝3t2－4t＋1＝3－.

因为y＝3－在t∈上单调递减，

所以当t＝，即x＝时ymin＝3×－4×＋1＝－.

答案：　－

6．下列不等式中成立的是________．

①sin >sin ；

②cos 400°>cos(－50°)；

③sin 3>sin 2；

④sin >cos .

分析y＝sin x在上单调递增，

又－<－，

所以sin <sin ，故①不成立．

cos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故②成立．

y＝sin x在上单调递减，

又<2<3<π，所以sin 2>sin 3，故③不成立．

sin ＝－sin ，cos ＝－cos ＝－sin (－)＝－sin .

因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增．

所以sin <sin ，

所以sin >cos ，故④成立．

答案：②④

三、解答题

7．(10分)已知函数f(x)＝sin ＋1，x∈R.

(1)求出f(x)的单调递减区间；

(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．

分析(1)设X＝2x＋，则X＝2x＋在R内是单调递增函数．y＝sin X的单调递减区间为，k∈Z，

由2kπ＋≤X≤2kπ＋，k∈Z，

即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以f(x)＝sin ＋1的单调递减区间为，k∈Z.

(2)当x∈时，2x＋∈，

所以当2x＋＝，即x＝时，sin 取得最大值为1，

所以，函数f(x)的最大值为2.

当2x＋＝，即x＝0时，sin 取得最小值为.所以函数f(x)的最小值为.

综上可知函数f(x)的值域为.

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知函数f(x)＝sin ，(ω＞0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．

分析选C.方法一(复合函数法)：令X＝ωx＋，－≤x≤，

则因为－＋≤X≤＋.

所以函数y＝sin X在区间

上单调递增，

所以⊆，

所以ω≤.当0≤x≤π时，≤X≤πω＋，

所以函数y＝sin X在区间恰好取一次最大值1，

所以≤πω＋≤，

所以≤ω≤.

综上所知≤ω≤.

2．(多选题)已知函数f(x)＝sin ，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝对称

B．f(x)在上单调递减

C．f(x)在[0，π]上有2个零点

D．f(x)在上的最大值为1

分析选AC.对于函数f(x)＝sin ，

当x＝时，f(x)取得最值，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；

x∈，则2x＋∈(π，2π)，函数f(x)＝sin (2x＋)不单调，故排除B；

x∈[0，π]，2x＋∈，f(x)在[0，π]上有2个零点，，故C正确；

x∈，2x＋∈，f(x)的最大值为sin ＝，故D错误．

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．已知函数f(x)＝3sin ，则以下说法正确的是________．

①f(x)的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)；

②f(x)的对称中心为(k∈Z)；

③f(x)的单调增区间为(k∈Z)；

④f(x)的最小正周期为4π.

分析对于函数f(x)＝3sin ，令2x＋＝kπ＋，求得x＝＋，k∈Z，故它的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z，故①不正确．令2x＋＝kπ，求得x＝－，k∈Z，故它的图象的对称中心为，k∈Z，故②正确．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，求得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故它的单调递增区间为，k∈Z，故③不正确．该函数的最小正周期为＝π，故④错误．

答案：②

4．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为________．

分析作出函数y＝sin x的图象，如图所示．

由图可知，

b－a的最大值为－＝，

b－a的最小值为－＝.

所以最大值与最小值之和为＋＝2π.

答案：2π

三、解答题

5．(10分)已知函数f(x)＝a sin ＋1－a(a∈R)，x∈，若定义在非零实数集上的奇函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，且g(2)＝0，求当g[f(x)]<0恒成立时实数a的取值范围．

分析f(x)＝a sin ＋1－a，

根据已知条件，由g(x)<0可得x∈(－∞，－2)∪(0，2)，

由题意，若g[f(x)]<0，则f(x)∈(－∞，－2)或f(x)∈(0，2)恒成立．

(1)若a sin ＋1－a<－2恒成立，

则a<－3，

因为x∈，所以sin ∈[1，]，

当x＝0或x＝时，不满足．

所以a<＝h(x)，而h(x)无最小值．

故这时的a不存在．

(2)若0<a sin ＋1－a<2恒成立，

则－1<a<1，

只需a的最大值和最小值同时在(－1，1)中，

即，即得－1－<a<1＋.

综上，a的取值范围为－1－<a<1＋.