高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制达标测试

第五章　5.1　5.1.1

A组·素养自测

一、选择题

1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　B　)

A．120°　　　　　　　 B．－120°

C．－60° D．60°

[解析]　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B．

2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是(　B　)

A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°

C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°

[解析]　－885°＝－3×360°＋195°.故选B．

3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是(　A　)

A．第一、三象限 B．第一、二象限

C．第二、四象限 D．第三、四象限

[解析]　由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.

当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；

当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限．

综上，α终边所在的象限是第一或第三象限．

4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是(　C　)

A．{α|－45°<α<120°}

B．{α|120°<α<315°}

C．{α|k·360°－45°<α<k·360°＋120°，k∈Z}

D．{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋315°，k∈Z}

[解析]　在(－360°，360°)范围内，阴影部分表示为(－45°，120°)，故选C．

5．下列叙述正确的是(　B　)

A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角

B．始边相同而终边不同的角一定不相等

C．若α是第一象限角，则2α是第二象限角

D．钝角比第三象限角小

[解析]　－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；若α是第一象限角，则k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，所以2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，所以2α是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角，故C错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D错．

6．已知α为第三象限角，则所在的象限是(　D　)

A．第一或第二象限 B．第二或第三象限

C．第一或第三象限 D．第二或第四象限

[解析]　因为α终边在第三象限，

所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，

所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，k为偶数时，在第二象限，k为奇数时，在第四象限．故选D．

二、填空题

7．已知角α终边所在的位置，请你完成下表：

[解析]　如下表：

8.－1 485°角是第__四__象限的角，与其终边相同的角中最大的负角是__－45°__.

[解析]　因为－1 485°＝－5×360°＋315°，

而315°∈(270°，360°)，所以－1 485°是第四象限角．

又－360°＋315°＝－45°，最大的负角是－45°.

9．终边在直线y＝x上的角的集合S＝__{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}__.

[解析]　在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：30°、210°(如图)，

所以终边在y＝x上的角的集合是S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．

三、解答题

10．已知α＝－1 910°.

(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.

[解析]　(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，

则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．

令－1 910°－k·360°≥0°，解得k≤－＝－5.

k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，

于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．

(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，

取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．

250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.

故θ＝－110°或θ＝－470°.

11.已知，如图所示．

(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

[解析]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．

(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．

B组·素养提升

一、选择题

1．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是(　C　)

A．第一象限角的集合

B．第一或第二象限角的集合

C．第一或第三象限角的集合

D．第一或第四象限角的集合

[解析]　由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.

∴k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z，故选C．

2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于(　C　)

A．{－36°，54°}

B．{－126°，144°}

C．{－126°，－36°，54°，144°}

D．{－126°，54°}

[解析]　令k分别取－1,0,1,2，对应得到α的值为－126°，－36°，54°，144°.故选C．

3．(多选题)下列与412°角的终边相同的角是(　ACD　)

A．52° B．778°

C．－308° D．1 132°

[解析]　因为412°＝360°＋52°，所以与412°角的终边相同的角为β＝k×360°＋52°，k∈Z.当k＝－1时，β＝－308°；当k＝0时，β＝52°；当k＝2时，β＝772°；当k＝3时，β＝1 132°；当k＝4时，β＝1 492°.综上，ACD正确．

4．(多选题)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　BD　)

A．α＋β＝90°

B．α＋β＝180°

C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)

D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)

[解析]　假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，AC都不满足条件．

二、填空题

5．与－500°角的终边相同的最小正角是__220°__，最大负角是__－140°__.

[解析]　与－500°角的终边相同的角可表示为α＝k·360°－500°(k∈Z)，当k＝2时α＝220°为最小正角，当k＝1时α＝－140°为最大负角．

6.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈__{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}__.

[解析]　在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．

三、解答题

7．已知角β的终边在直线x－y＝0上．

(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．

[解析]　(1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，

所以，角β的集合S＝S1∪S2

＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}

＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}

＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．

(2)由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，

解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2、－1、0、1、2、3.

所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：

60°－2×180°＝－300°；

60°－1×180°＝－120°；

60°－0×180°＝60°；

60°＋1×180°＝240°；

60°＋2×180°＝420°；

60°＋3×180°＝600°.

8．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°.点P从点A处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转．已知点P在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟第一次到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求θ，并判断其所在的象限．

[解析]　由题意有14θ＋45°＝k·360°＋45°(k∈Z)，θ＝(k∈Z)．

又180°<2θ＋45°<270°，

即67.5°<θ<112.5°，

∴67.5°<<112.5°，且k∈Z.

∴k＝3或k＝4.

∴所求的θ值为θ＝或θ＝.

易知0°<<90°，90°<<180°，

∴θ在第一象限或第二象限．