人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）当堂达标检测题

第五章　5.6

A组·素养自测

一、选择题

1．用“五点法”作函数y＝cos(4x－)在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　A　)

A．(，0)　　　　　 B．(－，1)

C．(，1) D．(－，0)

[解析]　令4x－＝，得x＝.∴该点坐标为(，0)．

2．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是(　C　)

A．y＝sin　　 B．y＝sinx－

C．y＝sin D．y＝sinx＋

[解析]　函数y＝sinx的图象向左平移个单位，

得到y＝sin的图象．

3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则A，ω的值分别为(　A　)

A．2,2 B．2,1

C．4,2 D．2,4

[解析]　由函数的图象可得A＝2，T＝－＝π，

∴ω＝＝2，故选A．

4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　A　)

A．2　　　 　 B．4　 　

C．6　　  D．8

[解析]　函数f(x)的周期T≤4＝π，

则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.

5．已知函数f(x)＝sinx(a>0)的图象上的一个最大值点恰在圆x2＋y2＝a2上，则f(x)的最小正周期是(　D　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]　当x＝，即x＝时，f(x)max＝.

把点(，)代入x2＋y2＝a2，

∵a>0，∴a＝4，f(x)＝sinx，则T＝4.

二、填空题

6．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝____.初相φ＝____.

[解析]　当t＝时，s＝3sin＝3×＝.

7．把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，所得函数的解析式为__y＝－cos2x__.

[解析]　把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin(2x＋)的图象；再将图象向右平移个单位，可得y＝sin(2x－＋)＝sin(2x－)＝－cos2x的图象．

8．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－，0)对称，则函数的解析式为__y＝sin(2x＋)__.

[解析]　因为函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，所以ω＝2；因为函数图象关于点(－，0)对称，

所以2(－)＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，

由于0<φ<π，当取k＝0时，φ＝，

所以函数的解析式为y＝sin(2x＋)．

三、解答题

9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．

[解析]　方法一(最值点法)：由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.

又(＋)＝，

∴图象上的最高点为(，)，∴＝sin(2×＋φ)，即sin(＋φ)＝1，可取φ＝－，

故函数的一个解析式为y＝sin(2x－)．

方法二(五点对应法)：由图象知A＝，又图象过点(，0)，(，0)，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得解得

故函数的一个解析式为y＝sin(2x－)．

10．已知函数y＝3sin(x－)．

(1)用“五点法”画函数的图象；

(2)说出此图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的．

[解析]　(1)列表：

描点：在坐标系中描出下列各点(，0)，(，3)，(，0)，(，－3)，(，0)．

连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图所示．

这样就得到了函数y＝3sin(x－)在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin(x－)的图象．

(2)①把y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象；

②把y＝sin(x－)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)的图象；

③将y＝sin(x－)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin(x－)的图象．

B组·素养提升

一、选择题

1．设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　B　)

A．4 B．2

C．1 D．

[解析]　f(x)的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2.

2．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：

则有(　C　)

A．A＝2，ω＝，φ＝0 B．A＝2，ω＝3，φ＝

C．A＝2，ω＝3，φ＝－ D．A＝1，ω＝2，φ＝－

[解析]　由表格得A＝2，π－＝，

∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.

当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.

3．(多选题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)＝sin(2x＋φ)(　BD　)

A．在区间[，]上单调递减

B．在区间[，]上单调递增

C．在区间[－，]上单调递减

D．在区间[－，－]上单调递增

[解析]　将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin(2x＋＋φ)，函数y的图象过点P(0,1)，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z；所以φ＝－＋2kπ，k∈Z；因为－π<φ<0，所以φ＝－；所以函数f(x)＝sin(2x－)，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z；解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；所以f(x)在[－π，－]，[－，]上单调递增．

4．(多选题)已知f(x)＝2cos(ωx＋)，x∈R，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是π，则ω的值为(　AC　)

A．－ B．

C． D．－

[解析]　因为f(x)＝2cos(ωx＋)，x∈R，若f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值是π，故＝π，即＝π，解得：ω＝±.

二、填空题

5．将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为__y＝cos(2x＋)__.

6．若将函数y＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为____.

[解析]　y＝sin(ωx＋)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[ω(x－)＋π]，即y＝sin(ωx＋π－π)，

故π－π＋2kπ＝(k∈Z)，

即π＝π＋2kπ，ω＝＋6k(k∈Z)，

∵ω>0，∴ω的最小值为.

7．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为__②④__.

[解析]　∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋.∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．由图象及性质可知②④正确．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝sin＋.

(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；

(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；

(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．

[解析]　(1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

所以对称中心为(k∈Z)．

(3)当sin＝－1，

即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，

所以x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为，此时x的取值集合是.

9．将函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)＝4sinx的图象．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)求函数f(x)在上的值域；

(3)求证：对任意λ>0，都存在μ>0，使f(x)＋x－4<0对x∈(－∞，λμ)恒成立．

[解析]　(1)∵将函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)＝4sinx＝4sin的图象，∴·ω＝1，且φ＝0，∴ω＝2，∴f(x)＝4sin2x.令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

即函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.

(2)∵x∈，∴2x∈，∴sin2x∈，∴4sin2x∈[－2,4]，即f(x)在上的值域为[－2,4]．

(3)证明：不等式f(x)＋x－4<0，即f(x)<4－x，故函数f(x)的图象位于直线y＝4－x的下方．显然，当x≤0时，函数f(x)的图象位于直线y＝4－x的下方．当x∈时，f(x)单调递增，f＝2，显然f<4－，即函数f(x)的图象位于直线y＝4－x的下方．

综上可得，当x≤时，函数f(x)的图象位于直线y＝4－x的下方．

故对任意λ>0，都存在μ＝>0，使f(x)＋x－4<0对x∈(－∞，λμ)恒成立．