高中5.2 三角函数的概念学案

这是一份高中5.2 三角函数的概念学案，共11页。学案主要包含了素养目标，学法解读，对点练习等内容，欢迎下载使用。
1．理解并掌握同角三角函数的基本关系．(数学抽象)
2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．(数学运算、逻辑推理)
3．通过对同角三角函数的基本关系式的探究学习，让学生学会用联系的观点，化归与转化的思想，数形结合的思想分析解决问题，培养探究精神和创新意识．(逻辑推理)
【学法解读】
本节在学习中应先利用三角函数定义推导出同角函数基本关系，培养学生观察、分析探究、解决问题能力，提升学生的逻辑推理及数学运算的素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点 同角三角函数的基本关系式
1．公式
(1)平方关系：__sin2α＋cs2α＝1.__
(2)商数关系：__eq \f(sinα,csα)＝tanα.__
2．公式推导
如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，过P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝1.
由勾股定理，得OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cs2α＝1.
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，有eq \f(sinα,csα)＝tanα.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
[注意] 对同角三角函数基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cs23α＝1成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cs2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝eq \f(sinα,csα)仅对α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cs2α＝1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α＝1－cs2α，,cs2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cs2α)，,csα＝±\r(1－sin2α)；))
tanα＝eq \f(sinα,csα)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα＝tanαcsα，,csα＝\f(sinα,tanα).))
思考：变形公式的应用要注意哪些方面？
提示：(1)使用变形公式sinα＝±eq \r(1－cs2α)，csα＝±eq \r(1－sin2α)时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．
基础自测
1．下列四个结论中可能成立的是( B )
A．sin α＝eq \f(1,2)且cs α＝eq \f(1,2)
B．sin α＝0且cs α＝－1
C．tan α＝1且cs α＝－1
D．α是第二象限角时，tan α＝－eq \f(sin α,cs α)
[解析] 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cs α＝－1，所以B成立，而A，C，D都不成立．
2．化简eq \r(1－sin2\f(3π,5))的结果是( C )
A．cseq \f(3π,5) B．sineq \f(3π,5)
C．－cseq \f(3π,5)D．－sineq \f(3π,5)
[解析] eq \r(1－sin2\f(3π,5))＝eq \r(cs2\f(3π,5))＝|cseq \f(3,5)π|＝－cseq \f(3π,5).
3．已知sinα＝eq \f(7,8)，csα＝eq \f(\r(15),8)，则tanα等于( D )
A．eq \f(7,8) B．eq \f(\r(15),8)
C．eq \f(\r(15),7) D．eq \f(7\r(15),15)
[解析] 因为tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(7,8),\f(\r(15),8))＝eq \f(7\r(15),15).故选D．
4．若sinα＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tanα的值等于( D )
A．eq \f(12,5) B．－eq \f(12,5)
C．eq \f(5,12)D．－eq \f(5,12)
[解析] 因为sinα＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，所以csα＝eq \f(12,13)，所以tanα＝－eq \f(5,12)，故选D．
5．化简eq \r(1－sin2440°)＝__cs80°__.
[解析] 原式＝eq \r(1－sin2360°＋80°)
＝eq \r(1－sin280°)＝eq \r(cs280°)＝|cs80°|＝cs80°.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用同角基本关系式求值
角度1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例1 (1)已知sinα＝eq \f(1,5)，求csα，tanα的值；
(2)已知csα＝－eq \f(3,5)，求sinα，tanα的值．
[分析] 已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．
[解析] (1)∵sinα＝eq \f(1,5)>0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\f(1,25))＝eq \f(2\r(6),5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\r(6),12)；
当α为第二象限角时，csα＝－eq \f(2\r(6),5)，tanα＝－eq \f(\r(6),12).
(2)∵csα＝－eq \f(3,5)0，tanα