高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）学案设计，共9页。学案主要包含了素养目标，学法解读，对点练习等内容，欢迎下载使用。

3.4　函数的应用(一)
【素养目标】
1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(数学抽象)
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)
【学法解读】
1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．
2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题．

必备知识·探新知

基础知识
知识点1　一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为__一次函数模型__，其中k≠0.
知识点2　二次函数模型
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x＋)2＋(a≠0)．
(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
知识点3　幂函数型模型
(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)．
(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．

基础自测
1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(　B　)
A．30元　　　　　　 B．45元
C．54元 D．越高越好
[解析]　设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60，
将上式配方得y＝－2(x－45)2＋450，
所以当x＝45时，日销售利润最大．
2．A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地．
(1)试把汽车与A地的距离y(单位：千米)表示为时间x(单位：小时)的函数；
(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A地100千米时x的值．
[解析]　(1)y＝
(2)当y＝100时，60x＝100或150－50(x－)＝100，解得x＝或x＝.即当x＝或x＝时汽车距离A地100千米．

关键能力·攻重难

题型探究
题型一　一次函数模型
例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？
[分析]　设每天从报社买进报纸的数量为x份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x－250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x－250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域．
[解析]　设每天应从报社买进x份报纸，由题意知250≤x≤400，设每月所获得的利润为y元，根据题意得：
y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．
因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，ymax＝120＋1 050＝1 170(元)．
故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元．
[归纳提升]　建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．
【对点练习】❶ 一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是(　D　)
A．y＝2t　　　　　 B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)
[解析]　因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y＝120t(t≥0)．
题型二　二次函数模型
例2 A，B两城相距100 km，拟在两城之间距A城x km处建一发电站给A，B两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A城供电20亿度，每月向B城供电10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成关于x的函数；
(3)发电站建在距A城多远处，能使供电总费用y最少？
[分析]　根据发电站与城市的距离不得少于10 km确定x的取值范围，然后根据正比例关系确定y关于x的函数解析式，最后利用配方法求得最小值．
[解析]　(1)x的取值范围为{x|10≤x≤90}．
(2)y＝0.25×x2×20＋0.25×(100－x)2×10＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)由于y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝(x－)2＋，则当x＝时，y取得最小值，ymin＝.
故发电站建在距A城km处，能使供电总费用y最小．
[归纳提升]　二次函数模型的应用
根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
【对点练习】❷ (2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是年产量(单位：百台)．
(1)将利润表示为关于年产量的函数；
(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？
[解析]　(1)依题意得，利润函数G(x)＝(5x－x2)－(0.5＋0.25x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)．
(2)利润函数G(x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)，当x＝4.75时，G(x)有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．
题型三　幂函数模型
例3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
[解析]　(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)，结合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，
依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)，
令t＝(0≤t≤2)，则x＝20－t2，
所以y＝＋＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2时，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.
故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．
[归纳提升]　幂函数模型有两个：y＝kxn(k，n是常数)，y＝a(1＋x)n(a，n是常数)，其中y＝a(1＋x)n也常常写作y＝N(1＋p)x(N，p为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分．
【对点练习】❸ 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s.求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率．(结果保留整数)
[解析]　(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400.
所以k＝，流量速率的解析式为R＝r4.
(3)因为R＝r4，
所以当r＝5 cm时，
R＝×54≈3 086(cm3/s)．
题型四　分段函数模型
例4 (2019·南京一中期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为R(x)＝其中x是仪器的产量(单位：台)．
(1)将利润f(x)(单位：元)表示为产量x的函数(利润＝总收益－总成本)；
(2)当产量x为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
[分析]　(1)利润＝收益－成本，由已知分0≤x≤400和x>400两段求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值．
[解析]　(1)当0≤x≤400时，f(x)＝400x－x2－100x－20 000＝－x2＋300x－20 000；
当x>400时，f(x)＝80 000－100x－20 000＝60 000－100x.
所以f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－20 000＝－(x－300)2＋25 000，
当x＝300时，f(x)max＝25 000.
当x>400时，f(x)＝60 000－100x 所以当x＝300时，f(x)max＝25 000.
故当产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．
[归纳提升]　应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．
【对点练习】❹ 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4 t时，每吨3元，当用水量超过4 t时，超过部分每吨4元．现甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x t,3x t.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
[解析]　(1)当甲户用水量不超过4 t，即5x≤4时，乙户用水量也不超过4 t，y＝(5x＋3x)×3＝24x；
当甲户的用水量超过4 t而乙户的用水量不超过4 t，
即5x>4且3x≤4时，
y＝4×3＋3x×3＋4×(5x－4)＝29x－4；
当甲、乙两户的用水量均超过4 t，即3x>4时，
y＝4×3×2＋(5x－4)×4＋(3x－4)×4＝32x－8.
故y＝
(2)由于函数y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
所以当x∈[0，]时，y≤f()＝19.2<40.
当x∈(，]时，y≤f()＝34<40.
故x∈(，＋∞)．令32x－8＝40，解得x＝1.5，
所以5x＝7.5，甲户用水量为7.5 t，应付水费y1＝4×3＋(7.5－4)×4＝26(元)；
3x＝4.5，乙户用水量为4.5 t，应付水费y2＝4×3＋(4.5－4)×4＝14(元)．

误区警示
忽视实际问题中的定义域
例5 东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出．依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租费多少元？
[错解]　设每床每夜提高租费x(x∈N＋)次2元，则可租出(100－10x)张客床，可获得利润y元，
依题意有y＝(10＋2x)·(100－10x)，
即y＝－20(x－)2＋1 125.
所以当x＝时，ymax＝1 125.
[错因分析]　本题忽略了变量参数的实际意义x∈N＋.
[正解]　设每床每夜提高租费x(x∈N＋)次2元，则可租出(100－10x)张客床，可获得利润y元，
依题意有y＝(10＋2x)·(100－10x)，
即y＝－20(x－)2＋1 125.
因为x∈N＋，所以当x＝2或x＝3时，ymax＝1 120.
当x＝2时，需租出客床80张；
当x＝3时，需租出客床70张．
因为x＝3时的投资小于x＝2时的投资，
所以取x＝3，此时2x＝6.
即当每床每夜提高租费6元时，投资少且又能获得最高租金．
[方法点拨]　解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义．

学科素养
数学建模——函数模型的选择
例6 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
[分析]　本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
[解析]　由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．
(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，
得，解得.所以有关系式y＝0.1x＋1.
由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．
(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得，解得.
所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．
(3)设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
由①，得ab＝1－c，代入②③，得 ，则，解得.则a＝＝－0.8.
所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.
结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．
因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．
[归纳提升]　本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．

课堂检测·固双基
1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　D　)
A．2 000套　　　　　 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
[解析]　设利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．
2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．

横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是(　D　)
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资12天，采用方案二
[解析]　由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．
3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(　A　)
A．3 m　 B．4 m　
C．6 m　 D．12 m
[解析]　设矩形的长为x，则宽为(24－2x)，则矩形的面积为
S＝(24－2x)x＝－(x2－12x)＝－(x－6)2＋18，所以当x＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3 m.
4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　D　)
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
[解析]　由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15，得A＝16.