高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案

4.3.1　对数的概念

(教师独具内容)

课程标准：通过具体实例，理解对数的概念，了解常用对数与自然对数．理解对数的简单性质．

教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质．

教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的熟练转化.

【知识导学】

知识点一　对数的概念

(1)对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)两种特殊的对数

①常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg_N；

②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记为ln_N(其中e＝2.71828…)．

知识点二　对数与指数的关系

(1)对数的基本性质

①零和负数没有对数，即真数N>0；

②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；

③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．

(2)两个重要的对数恒等式

①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；

②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．

【新知拓展】

在对数的概念中为什么规定a>0且a≠1

(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．

(2)若a＝0，

①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；

②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．

(3)若a＝1，

①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；

②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．

因此规定a>0，且a≠1.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(　　)

(2)对数式log32与log23的意义一样．(　　)

(3)对于同一个正数，当底不同时，它的对数也不相同．(　　)

(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)若5x＝2019，则x＝________.

(2)lg 10＝________；ln e＝________.

(3)将log3a＝2化为指数式为________．

答案　(1)log52019　(2)1　1　(3)32＝a

题型一  对数的概念

例1　(1)使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)在对数式b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)

A．a>5或a<2   B．2<a<5

C．2<a<3或3<a<5   D．3<a<4

[解析]　(1)要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x<，所以x的取值范围为，故选C.

(2)由题意，得解得2<a<3或3<a<5.

[答案]　(1)C　(2)C

金版点睛

对数有意义的条件

对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．

　(1)函数f(x)＝中x的取值范围是(　　)

A．(－1，＋∞)   B．[－1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞)   D．[－1,1)∪(1，＋∞)

(2)若log(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围．

答案　(1)C　(2)见解析

解析　(1)要使函数有意义，必有

解得x>－1且x≠1，故选C.

(2)若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1，

所以解得x>，且x≠1.

即x的取值范围是.

题型二  指数式与对数式的互化

例2　(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝；34＝81；m＝n；

(2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3；log16＝－4；ln a＝b；lg 1000＝3.

[解]　(1)log216＝4；log2＝－5；log381＝4；logn＝m.

(2)53＝125；－4＝16；eb＝a；103＝1000.

金版点睛

由指数式ab＝N可以写成logaN＝b(a>0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：

　(1)若a＝log23，则2a＋2－a＝________；

(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

①log216＝4；②log x＝6；③43＝64.

答案　(1)　(2)见解析

解析　(1)因为a＝log23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝.

(2)①24＝16；②()6＝x；③log464＝3.

题型三  对数性质的应用

例3　(1)给出下列各式：

①lg (lg 10)＝0；

②lg (ln e)＝0；

③若10＝lg x，则x＝10；

④由log25x＝，得x＝±5.

其中，正确的是________(把正确的序号都填上)；

(2)求下列各式中x的值：

①log2(log5x)＝0；②log3(lg x)＝1；

③log(－1)＝x；④3x＋3＝2.

[解析]　(1)∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e＝1，∴lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③错误；由log25x＝，得x＝25＝5，④错误．故填①②.

(2)①∵log2(log5x)＝0.

∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.

②∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1000.

③∵log(－1)＝x，

∴(－1)x＝－1，

∴x＝1.

④∵x＋3＝log32，∴x＝log32－3.

[答案]　(1)①②　(2)见解析

金版点睛

对数性质在计算中的应用

(1)对数的常用性质：logaa＝1，loga1＝0(a>0，且a≠1)．

(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．

　(1)若log2(x2－7x＋13)＝0，求x的值；

(2)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y 的值．

解　(1)因为log2(x2－7x＋13)＝0，

所以x2－7x＋13＝1，即x2－7x＋12＝0，

解得x＝4或x＝3.

(2)因为log2[log3(log4x)]＝0，

所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3.

所以x＝43＝64.同理求得y＝16.所以x＋y＝80.

题型四  对数恒等式的应用

例4　求下列各式的值：

(1)5log54；(2)3log34－2；(3)24＋log25.

[解]　(1)设5log54＝x，则log54＝log5x，∴x＝4.

(2)∵3log34＝4，∴3log34－2＝3log34×3－2＝4×＝.

(3)∵2log25＝5，∴24＋log25＝24×2log25＝16×5＝80.

金版点睛

运用对数恒等式时的注意事项

(1)对于对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．

(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．

　求31＋log36－24＋log23＋103lg 3＋log34的值．

解　原式＝31×3log36－24×2log23＋(10lg 3)3＋3－2×log34＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2

＝18－48＋27＋＝－.

1．若a>0，且a≠1，c>0，则将ab＝c化为对数式为(　　)

A．logab＝c  B．logac＝b

C．logbc＝a  D．logca＝b

答案　B

解析　由对数的定义直接可得logac＝b.

2．已知logx16＝2，则x等于(　　)

A．±4  B．4  C．256  D．2

答案　B

解析　∵x2＝16且x>0，x≠1，∴x＝4.故选B.

3．若log3＝x，则x＝________.

答案　－4

解析　∵log3＝log33－4，∴3x＝3－4，∴x＝－4.

4．式子2log25＋log1的值为________．

答案　5

解析　由对数性质知，2log25＝5，log1＝0，故原式＝5.

5．求下列各式中x的值：

(1)若log3 ＝1，求x的值；

(2)若log2019(x2－1)＝0，求x的值．

解　(1)∵log3＝1，∴＝3，

∴1＋2x＝9，∴x＝4.

(2)∵log2019(x2－1)＝0，

∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±.