人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数练习

课时作业(二十三)　对数函数的性质　不同函数增长的差异

[练基础]

1．设a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c>b>a  B．c>a>b

C．a>c>b  D．a>b>c

2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　)

A．y1＞y2＞y3  B．y2＞y1＞y3

C．y1＞y3＞y2  D．y2＞y3＞y1

3．函数f(x)＝log3(x2－2x－3)的单调增区间为(　　)

A．(－∞，－1)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)  D．(3，＋∞)

4．不等式log0.45(x＋2)>log0.45(1－x)的解集为________．

5．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．

6．已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(2－x)，(0<a<1)

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．

[提能力]

7．(多选)已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)，则(　　)

A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)

B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称

C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0

D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数

8．已知函数f(x)＝ax3＋log2(x＋)＋1(a∈R)且f(1)＝－3，则f(0)＝________，f(－1)＝________.

9．已知a＞0且a≠1，f(logax)＝.

(1)求f(x)；

(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；

(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)＜0，求m的取值范围．

[战疑难]

10．已知函数f(x)＝1＋log2x(1≤x≤4)，函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)．

(1)求函数g(x)的定义域；

(2)求函数g(x)的值域．

课时作业(二十三)　对数函数的性质　

不同函数增长的差异1.解析：∵a＝log2＝log23－1，b＝log3＝log34－1且2＝log24>log23>log34>log33＝1，则1>a>b>0，c＝log34>1.∴a，b，c的大小关系是c>a>b.

答案：B

2．解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3.

答案：B

3．解析：由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3.即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．由于y＝log3x在定义域上是增函数．y＝x2－2x－3开口向上，对称轴为x＝1，根据复合函数单调性同增异减可知，f(x)的单调递增区间是(3，＋∞)．

答案：D

4．解析：因为函数y＝log0.45x在(0，＋∞)上是减函数，所以解得－2<x<－，所以原不等式的解集为.

答案：

5．解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则则1＜a＜2；

 若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．

答案：(1,2)

6．解析：(1)要使函数f(x)有意义，

则有解得－2<x<2，

因为f(－x)＝loga(－x＋2)＋loga(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．

(2)f(x)＝loga(4－x2)(0<a<1)，

因为x∈(－2,2)，所以0<4－x2≤4，

令u＝4－x2，又0<a<1，

所以y＝logau在定义域上为减函数，

所以f(x)min＝loga4＝－2，

所以a－2＝4，故a＝.

7．解析：∵f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)，

∴f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，

由x＋1>0且1－x>0得－1<x<1，故A对；

由f(－x)＋g(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝f(x)＋g(x)得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；

∵－1<x<1，∴f(x)＋g(x)＝loga(1－x2)，

∵y＝1－x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)＋g(0)＝loga(1－0)＝0；当a>1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值；故C错；

∵f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，

当0<a<1时，f(x)＝loga(x＋1)在(0,1)上单调递减，g(x)＝loga(1－x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递减；

当a>1时，f(x)＝loga(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝loga(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增；故D错．故选AB.

答案：AB

8．解析：f(0)＝0＋log21＋1＝1，

f(1)＋f(－1)＝a＋log2(1＋)＋1＋[(－a)＋log2(－1＋)＋1]＝2，∴f(－1)＝2－f(1)＝2－(－3)＝5.

答案：1　5

9．解析：(1)令t＝logax(t∈R)，

则x＝at，且f(t)＝，

所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)；

(2)因为f(－x)＝(a－x－ax)

＝－f(x)，

且x∈R，所以f(x)为奇函数．

当a＞1时，ax－a－x为增函数，

并且注意到＞0，

所以这时f(x)为增函数；

当0＜a＜1时，类似可证f(x)为增函数．

所以f(x)在R上为增函数；

(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)＜0，且f(x)为奇函数，

所以f(1－m)＜f(2m－1)．

因为f(x)在(－1,1)上为增函数，

所以

解之，得＜m＜1.

 即m的取值范围是.

10．解析：(1)由题意知解得1≤x≤2，

所以函数g(x)的定义域是[1,2]．

(2)g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)

＝(1＋log2x)2＋(1＋log2x2)

＝1＋2log2x＋(log2x)2＋1＋2log2x

＝(log2x)2＋4log2x＋2

＝(log2x＋2)2－2.

由1≤x≤2，得0≤log2x≤1，所以2≤log2x＋2≤3，

所以4≤(log2x＋2)2≤9，

所以2≤(log2x＋2)2－2≤7.

所以函数g(x)的值域是[2,7]．