高中人教A版 (2019)4.4 对数函数课后作业题

课时素养评价  三十四

对数函数的图象和性质

(15分钟　35分)

1.(2020·汕头高一检测)若a=log67，b=log76，c=loπ，则 (　　)

A.a<b<c   B.a<c<b

C.c<b<a   D.b<c<a

【解析】选C.log67>log66=1，0=log71<log76<log77=1，loπ<lo1=0.所以c<b<a.

【补偿训练】

　　 已知x=ln π，y=log5，z=，　　则 (　　)

A.x<y<z   B.z<x<y

C.z<y<x   D.y<z<x

【解析】选D.因为ln π>ln e=1，log5<log51=0，

0<<1，所以y<z<x.

2.函数y=2+log5x(x≥1)的值域为 (　　)

A.(2，+∞)    B.(-∞，2)

C.[2，+∞)   D.[3，+∞)

【解析】选C.由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，+∞).

3.已知m，n∈R，函数f(x)=m+lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是(　　)

A.m>0，0<n<1    B.m<0，0<n<1

C.m>0，n>1     D.m<0，n>1

【解析】选C.由图象知函数为增函数，故n>1.

又当x=1时，f(x)=m>0，故m>0.

4.设函数f(x)=lg x，若f(2x)<f(2)，则实数x的取值范围是_______. 

【解析】函数f(x)=lg x，则不等式f(2x)<f(2)可化为lg (2x)<lg 2，即0<2x<2，解得0<x<1，所以实数x的取值范围是(0，1).

答案：(0，1)

5.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_______. 

【解析】函数f(x)的图象如图所示，要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0<a≤1.

答案：(0，1]

6.已知f(x)=|log3x|.

(1)画出这个函数的图象.

(2)当0<a<2时f(a)>f(2)，利用函数图象求出a的取值范围.

【解析】(1)如图：

(2)令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log32|，

解得a=或a=2.

从图象可知，当0<a<时，满足f(a)>f(2)，

所以a的取值范围是.

 (30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为(　　)

【解析】选D.由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B.

又x>0时，f(x)=ln(x+1)，排除C.

2.(2020·梅州高一检测)已知a=ln 3，b=log310，c=lg 3，则a，b，c的大小关系为              (　　)

A.c<b<a    B.a<c<b

C.b<c<a    D.c<a<b

【解析】选D.因为ln 3=，lg 3=，且log310>log3e>0，所以lg 3<ln 3<ln e2=2，又log310>log39=2，所以c<a<b.

3.已知幂函数f(x)=(a2-a-1)xa+2是偶函数，则函数g(x)=logm(x-a)+3(0<m<1)恒过定点              (　　)

A.(0，3)    B.(1，3)

C.(3，4)    D.(3，3)

【解析】选D.因为幂函数是偶函数，

则a+2为偶数，且a2-a-1=1，即a=2，故函数g(x)=logm(x-a)+3=

logm(x-2)+3(0<m<1)，令x-2=1，求得x=3，y=3，所以函数恒过定点(3，3).

4.若点(a，b)在函数f(x)=ln x的图象上，则下列点中，不在函数f(x)图象上的是              (　　)

【解析】选B.因为点(a，b)在f(x)=ln x的图象上，所以b=ln a，所以-b=ln，1-b=ln，2b=2ln a=ln a2.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5.已知a>0，b>0，且ab=1，a≠1，则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是              (　　)

【解析】选AB.因为a>0，b>0，且ab=1，a≠1，

当a>1时，0<b<1，所以B符合；

当0<a<1时，b>1，所以A符合.

6.若实数a，b满足loga2<logb2，则下列关系中成立的是 (　　)

A.0<b<a<1   B.0<a<1<b

C.a>b>1    D.0<b<1<a

【解析】选ABC.根据题意，实数a，b满足loga2<logb2，

对于A，若a，b均大于0小于1，依题意，必有0<b<a<1，故A有可能成立；

对于B，若logb2>0>loga2，则有0<a<1<b，故B有可能成立；

对于C，若a，b均大于1，由loga2<logb2，知必有a>b>1，故C有可能成立；

对于D，当0<b<1<a时，loga2>0，logb2<0，loga2<logb2不能成立.

【光速解题】可以分别取符合答案条件的a，b特值，验证loga2<logb2是否成立.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.函数y=loga(2x-3)+4的图象恒过定点A，则点A的坐标为_______，若点A在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=_______. 

【解析】因为loga1=0，所以当2x-3=1，即x=2时，y=4，所以点A的坐标是(2，4).

设幂函数f(x)=xα的图象过点A(2，4)，

所以4=2α，解得α=2；

所以幂函数为f(x)=x2，则f(3)=9.

答案：(2，4)　9

8.若函数f(x)=(a>0，且a≠1)的值域是[4，+∞)，则实数a的取值范围是_______. 

【解析】因为当x≤2时，f(x)∈[4，+∞)，

所以当x>2时，3+logax的值域为[4，+∞)的子集.

所以解得1<a≤2.

答案：1<a≤2

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.(2020·银川高一检测)设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0，a≠1)，且f(0)=2.

(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.

(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最小值.

【解析】(1)由题意得，f(0)=loga3+loga3=2loga3=2，所以a=3，

所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)，

所以解得-3<x<3，

所以f(x)的定义域是(-3，3).

(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)

=log3(3+x)(3-x)=log3(9-x2)，

且x∈(-3，3)，所以log3(9-x2)在[0，]上单调递减，

所以当x=时，f(x)在区间[0，]上取得最小值，是log33=1.

10.已知函数f(x)=(log4x)2+lo-3，x∈[1，8]，求f(x)的值域以及取得最值时x的值.

【解析】令t=log4x，t∈，

又lo=-log2x=-lox=-log4x，

则y=t2-t-3，t∈，

函数对称轴为t=∈，

故当t=，即x=2时，f(x)min=-.

当t=，即x=8时，f(x)max=-，

所以f(x)的值域是，

当x=2时，f(x)min=-；

当x=8时，f(x)max=-.

1.(2020·运城高一检测)已知函数f(x)=|ln x|满足f(a)>f(2-a)，则实数a的取值范围是              (　　)

A.(0，1)    B.(1，2)

C.(2，3)    D.(1，3)

【解析】选A.根据题意可得，

f(x)=

所以f(x)在(0，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增；

根据题意可知，⇒0<a<2；

①当0<a<1，2-a>1时，因为f(a)>f(2-a)，

所以-ln a>ln (2-a)⇒a(2-a)<1，解得a≠1；

⇒0<a<1；

②当a=1时，f(a)=f(2-a)不符合题意(舍)；

③当1<a<2，0<2-a<1时，因为f(a)>f(2-a)，

所以ln a>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1，解得a∈∅；

综上，a的取值范围为(0，1).

【补偿训练】

　　若定义运算f(a⊗b)=，则函数

f(log2(1+x)⊗log2(1-x))的值域是 (　　)

A.(-1，1)   B.[0，1)

C.[0，+∞)   D.[0，1]

【解析】选B.由题意得f(a?b)=，

所以y=f(log2(1+x)?log2(1-x))

=

当0≤x<1时，函数为y=log2(1+x)，

因为y=log2(1+x)在[0，1)为增函数，所以y∈[0，1)，

当-1<x<0时，函数为y=log2(1-x)，

因为y=log2(1-x)在(-1，0)为减函数，

所以y∈(0，1)，由以上可得y∈[0，1)，

所以函数f(log2(1+x)?log2(1-x))的值域为[0，1).

2.(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象如何变化得到的？

(2)在坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象.

(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M=x1x2-2(x1+x2)+4，请判断M的符号.

【解析】(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象向右平移1个单位得到的.

(2)在坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象，如图所示；

 (3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，

所以M=x1x2-2(x1+x2)+4=(x1-2)(x2-2)<0.

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