高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第1课时学案

5.3　诱导公式

【素养目标】

1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程．(数学抽象)

2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(数学运算)

3．通过积极参与，逐步培养学生抽象概括能力、逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力．(逻辑推理)

【学法解读】

本节在学习中借助单位圆推导出角π±α，－α，±α的终边与角α的终边的关系，由三角函数的定义推导出诱导公式，学生应观察、分析公式的特点，便于记忆应用．

第1课时　诱导公式(一)

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　诱导公式二

思考1：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？

提示：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称(如图)；P1与P也关于原点对称．

知识点2　诱导公式三

思考2：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？

提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称(如图)，P2与P也关于x轴对称．

知识点3　诱导公式四

思考3：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？

提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称(如图)，P3与P也关于y轴对称．

基础自测

1．下列说法中，正确的个数是(　B　)

①存在角α，使sin(π＋α)＝sin α，cos(π－α)＝cos α.

②当α是第三象限角时，tan(－α)＝tan α.

③tan(α－π)＝tan α.

④若α，β满足α＋β＝π，则sin α＝sin β且tan α＝tan β.

A．1　　  B．2　　

C．3　　  D．4

[解析]　由诱导公式易知①③正确，②④错误，故选B．

2．已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　B　)

A．sin(－x)＝sin x B．sin(π－x)＝sin x

C．sin(π＋x)＝sin x D．sin(2π－x)＝sin x

[解析]　因为sin(－x)＝－sin x，故A不成立；因为sin(π－x)＝sin x，故B成立；因为sin(π＋x)＝－sin x，故C不成立；因为sin(2π－x)＝－sin x，故D不成立．

3．cos 150°＝(　B　)

A． B．－

C． D．－

[解析]　cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.

4．计算sin(－)的值为(　C　)

A．－ B．

C．－ D．

[解析]　sin(－)＝－sin＝－，故选C．

5．tan 690°的值为(　A　)

A．－ B．

C．－ D．

[解析]　tan 690°＝tan(720°－30°)＝tan(－30°)＝－，故选A．

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　给角求值问题

例1 求下列各三角函数值：

(1)sinπ；(2)cos(－765°)；(3)tan(－750°)．

[分析]　用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求值．

[解析]　(1)sin＝sin(4π＋)＝sin

＝sin(π＋)＝－sin＝－.

(2)cos(－765°)＝cos765°＝cos(2×360°＋45°)＝cos45°＝.

(3)tan(－750°)＝－tan750°＝－tan(2×360°＋30°)＝－tan30°＝－.

[归纳提升]　利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：

(1)“负化正”——用公式一或三来转化．

(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．

(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．

(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．

【对点练习】❶ 求下列三角函数值：

(1)sin960°；(2)cos(－)．

[解析]　(1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.

(2)cos(－)＝cos＝cos(＋6π)＝cos＝cos(＋π)＝－cos＝－.

题型二　给值求值问题

例2 (1)已知cos(－α)＝，求cos(＋α)－sin2(α－)的值；

(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．

[分析]　1.－α与＋α、α－存在什么关系？用－α表示其他角．

2．α－75°与105°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α.

[解析]　(1)∵cos(＋α)＝cos[π－(－α)]

＝－cos(－α)＝－，

sin2(α－)＝sin2[－(－α)]

＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，

∴cos(＋α)－sin2(α－)＝－－＝－.

(2)∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，

∴α－75°是第三象限，

∴sin(α－75°)＝－

＝－＝－，

∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]

＝－sin(α－75°)＝.

[归纳提升]　解决给值求值问题的策略

(1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

【对点练习】❷ 已知sin(－α)＝，求cos2(α－)·sin(＋α)的值．

[解析]　cos2(α－)·sin(＋α)

＝cos2[－(－α)]·sin[π－(－α)]

＝[1－sin2(－α)]·sin(－α)＝×＝.

题型三　三角函数式的化简问题

例3 化简：

(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；

(2).

[分析]　先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．

[解析]　(1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα

＝－sinα·(－cosα)·＝sin2α.

(2)原式＝

＝＝1.

[归纳提升]　利用诱导公式一～四化简应注意的问题：

(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．

(2)化简时函数名不发生改变，但一定要注意函数的符号有没有改变．

(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．

【对点练习】❸ 化简：

(1)；

(2).

[解析]　(1)原式＝

＝＝·＝1.

(2)原式＝

＝

＝

＝－cos2α.