高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.1 任意角与弧度制课后练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.1 任意角与弧度制课后练习题，共22页。试卷主要包含了1任意角与弧度制同步练习，0分），【答案】D，【答案】A，【答案】C，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

湘教版（2019）高中数学必修第一册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
下列说法正确的是( )
A. 第二象限角比第一象限角大
B. 60∘角与600∘角是终边相同角
C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为π3
给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；④若csθ<0，θ是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；④若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同，⑤若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；④若csθ<0，θ是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
下列说法中错误的是( )
A. 终边经过点(−a,a)(a≠0)的角的集合是{α|α=kπ+3π4,k∈Z}
B. 将表的分针拨慢30分钟，则分针转过的角的弧度数是π
C. 若α是第三象限角，则α2是第二象限角，2α为第一或第二象限角
D. 若M={x|x=45∘+k⋅90∘,k∈Z}，N={x|x=90∘+k⋅45∘,k∈Z}，则M⫋N
下列说法中，正确的是( )
A. 锐角是第一象限的角
B. 终边相同的角必相等
C. 小于90°的角一定为锐角
D. 第二象限的角必大于第一象限的角
下列说法中错误的是( )
A. 终边经过点−a,aa≠0的角的集合是αα=kπ+3π4,k∈Z
B. 将表的分针拨慢30分钟，则分针转过的角的弧度数是π
C. 若α是第三象限角，则α2是第二象限角，2α为第一或第二象限角
D. 若M=x|x=45∘+k⋅90∘,k∈Z，N=x|x=90∘+k⋅45∘,k∈Z，则M≠ N
给出下列说法，其中正确说法的个数是( )
①终边相同的角同一三角函数值相等；
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
③若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；
④若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角．
A. 1B. 2C. 3D. 4
给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确说法的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
单位圆⊙O圆周上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，OP从起始位置OA转过的角是( )
A. −24π5
B. 12π5
C. 14π5
D. 24π5
下列三个结论中，错误结论的个数是( )
⑴lg35=x化为指数式为5x=3；
⑵角−72°与角θ=85π终边相同；
⑶若角α=−2，则sinα<0,csα>0．
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
−600°是第 象限角，与−600°终边相同的最小正角为 弧度．
是第 象限角，与终边相同的最小正角为 弧度
-600°是第 象限角，与-600°终边相同的最小正角为 弧度．
在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与 (1) ，角的始边与 (2) ，这时角的终边(端点除外)在第几象限，就说这个角是 (3) ；如果角的终边在坐标轴上，则认为此角 (4) ．
−1000°是第 象限角，α=3是第 象限角，72°= rad．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，且两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0° <α<β<180°).如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
用弧度表示顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在图中阴影部分的角的集合．
已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．
把下列角化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式，并指出它是第几象限角并写出与α角终边相同角的集合．(1)−463π
(2)−1485°
把下列各角化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)形式并指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．
(1)−46π3；(2)−1485°；(3)−20．
设α1=−570°，α2=750°，β1=3π5，β2=−π3．
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在−720°到0°的范围内找出与它们终边相同的所有的角．
已知α=-1690°．
(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π)的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(-4π,4π)．
已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
(1)420∘;
(2)−75∘;
(3)855∘;
(4)−510∘．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了终边相同的角、象限角、锐角等基本概念及其意义，属于基础题．
举例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角得范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确．
【解答】
解：对于A，120°是第二象限角，420°是第一象限角，120°<420°，故A错误；
对于B，600°=360°+240°，与60°终边不同，故B错误；
对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或y轴正半轴上的角，故C错误；
对于D，分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨慢是逆时针旋转，
∴钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为16×2π=π3，故D正确．
故选D．

2.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题综合考查了象限角与象限界角、弧度制与角度制、三角函数值与象限角的关系等基础知识，属于基础题．
由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．
【解答】
解：①α=370°是第一象限角，β=170°是第二象限角，故①不对
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，
③若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．
④若csα<0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．
其中正确的个数为1个．
故选A．

3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题综合考查了象限角与象限界角、弧度制与角度制、三角函数值与象限角的关系等基础知识，属于基础题．
【解答】
解：①第二象限角大于第一象限角，错误，例如；
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确；
③若sinα=sinβ，则α与β的终边相同，错误，例如；
④若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角，错误，例如．
故正确的命题个数为1，
故选A．
4.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查任意角，弧度制，轴线角的概念，属于基础题，解题时先依次判断每一个小项，再选出正确答案。
【解答】
解：①：α=370°是第一象限角，β=170°是第二象限角，故①不对；
②三角内角可能是90°，是y轴上的角，所以②不对；
③根据角的大小与扇形半径无关，故③对；
④α=30°与β=150°正弦相同，但是终边不同，故④错；
⑤若csθ<0，当θ=180°时终边在x轴上，故⑤错；
所以只有有③对，
故选A
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题综合考查了象限角与象限界角、弧度制与角度制、三角函数值与象限角的关系等基础知识，属于基础题．
根据角的定义结合三角函数的特殊值一一判断即可．
【解答】
解：①第二象限角大于第一象限角，错误，例如；
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确；
③若sinα=sinβ，则α与β的终边相同，错误，例如；
④若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角，错误，例如．
故正确的命题个数为1，
故选A．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查象限角的应用，角的表示的应用，考查集合之间的关系，考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
直接利用角的表示方法，象限角的应用，集合间的关系式的应用求出结果．
【解析】
解：对于选项A：终边经过点(−a,a)(a≠0)的角在第一和第三象限的角平分线上，
故角的集合是{α|α=3π4+kπ,k∈Z}，故A正确；
对于选项B：将表的分针拨慢30分钟，按逆时针方向旋转，
则分针转过的角的弧度数是，故B正确；
对于选项C：因为α为第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，
所以kπ+π2<α2当k为奇数时，它是第四象限角，
当k为偶数时，它是第二象限角．
因为4kπ+2π<2α<4kπ+3π，k∈Z，
所以2α的终边位于第一或第二象限或y轴的非负半轴，
故C错误；
对于选项D：M={x|x=45°+k⋅90°,k∈Z}
={x|x=(2k+1)π4(k∈Z)}，
N={y|y=90°+k⋅45°,k∈Z}
={x|x=(k+2)π4(k∈Z)}，
则M⫋N，故D正确．
故选C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查任意角的概念及终边相同的角的关系，同时考查象限角，逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，由于锐角是第一象限角，所以A对；
对于B，终边相同的角有很多，它们之间的关系是它们的差是周角的整数倍，所以B不对；
对于C，小于90°的角，有可能为负角，不一定为锐角，故C不对，
对于D，每一象限中有正角与负角，故第一象限中的角与第二象限中的角的大小无法比较，所以D不对．
故选A．

8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查象限角的应用，角的表示的应用，考查集合之间的关系，考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
直接利用角的表示方法，象限角的应用，集合间的关系判断，逐一判断真假，求出结果．
【解析】
解：对于选项A：终边经过点(−a,a)(a≠0)的角在第一和第三象限的角平分线上，
故角的集合是{α|α=135°+k·180°,k∈Z}，故A正确；
对于选项B：将表的分针拨慢30分钟，按逆时针方向旋转，
则分针转过的角的弧度数是，故B正确；
对于选项C：因为α为第三象限角，即k ·360° +180° <α所以k ·180° +90°<α2当k为奇数时，它是第四象限角，
当k为偶数时，它是第二象限角．
因为k ·720° +360° <α所以2α的终边位于第一或第二象限或y轴的非负半轴，
故C错误；
对于选项D：M={x|x=45°+k⋅90°,k∈Z}={x|x=(2k+1)·45°,(k∈Z)}，
N={y|y=90°+k⋅45°,k∈Z}={x|x=(k+2)·45°,(k∈Z)}，
则M⫋N，故D正确．
故选C．

9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题综合考查了象限角与象限界角、弧度制与角度制、三角函数值与象限角的关系等基础知识，属于基础题．
由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．
【解答】
解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的同一三角函数值相等，正确．
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，
③若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．
④若csα<0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．
其中正确的个数为2个．
故选B．

10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了任意角的概念，象限角及轴线角的概念，终边相同的角等基础知识的应用，属于基础题．
根据题意，利用任意角的概念判断①，利用象限角判断②，利用角的定义判断③，利用终边相同的角判断④，利用象限角和轴线角判断⑤，即可得出结论．
【解答】
解：对于①，根据任意角的概念知，
第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；
对于②，三角形的内角α∈(0,π)，
∴α是第一象限角或第二象限角，或y轴正半轴角，②错误；
对于③，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，
它们与扇形所对半径的大小无关，③正确；
对于④，若sinα=sinβ，则α与β的终边相同，
或关于y轴对称，∴④错误；
对于⑤，若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角，
或终边在x负半轴上，∴⑤错误；
综上，其中正确的说法是③，只有1个．
故选A．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了角的概念的理解和应用，解题的关键是求出每分钟转的弧度数，属于基础题．
利用一周为2π，然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可．
【解答】
解：因为一周为2π，
故10分钟转了2π，
所以每分钟就转了2π10=π5，
故24分钟转了24×π5=24π5，
所以OP从起始位置OA转过的角是24π5．
故选：D．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查命题的判断，考查指数式与对数式的互化，考查角的概念以及三角函数的符号，属于基础题.利用相关知识分别分析得到所求．
【解答】
解：对于⑴，lg35=x化为指数式为，故(1)错误；
对于⑵，角−72°与角θ=85π=288°，288°−(−72)°=360°，所以两角终边相同，故(2)正确；
对于⑶，若角α=−2，则α终边在第三象限，则，故(3)错误．
故选B．

13.【答案】二
2π3
【解析】
【分析】
本题主要考查了终象限角的表示方法以及角度与弧度的互化，是基础题．
由−600°=−720°+120°，得到终边相同的角，求出弧度，可得结果．
【解答】
解：由−600°=(−2)×360°+120°，
∴−600°在第二象限，
∴与−600°终边相同的最小正角为120°，而120°= 2π3，
故答案为二， 2π3．

14.【答案】二
【解析】
【分析】
本题考查终边相同的角，考查象限角以及角度制和弧度制的转化，属于基础题．
先求出与−600°终边相同的角，再进行求解即可．
【解答】
解：由于与−600°终边相同的角α=−600°+k×360°，(k∈Z)，
当k=2时，得到与终边相同的最小正角120°，
故是第二象限角，与终边相同的最小正角为
故答案为二；

15.【答案】二
2π3
【解析】解：由−600°=(−2)×360°+120°，∴−600°是第二象限， ∴与−600°终边相同的最小正角为120°，而120°= 2π3，
故答案为二， 2π3．
16.【答案】坐标原点
x轴非负半轴
第几象限角
轴线角
【解析】略
17.【答案】一
二
2π5
【解析】
【分析】
本题考查了终边相同的角、象限角和角度制与弧度制的互化，通过−1000°=−360°×3+80°，−1000°与80°的终边相同，1rad≈57.3°，1°=π180rad，即可得出结果．
【解答】
解：∵−1000°=−360°×3+80°，
∴−1000°与80°的终边相同，
∴−1000°为第一象限角，
∵1rad≈57.3°，
∴α=3rad≈117.9°，为第二象限角，
∵1°=π180rad，
∴72°=π180×72=2π5rad，
故答案为一 ； 二；2π5．

18.【答案】解：根据题意可知14α，14β均为360°的正整数倍，
故可设14α=m·360°，m∈N*，14β=n·360°，n∈N*，
从而可知α=m7⋅180∘，β=n7⋅180∘，m，n∈N*.
又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，
得2α，2β在第二象限，
因此2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°. 所以45°<α<β<90°.
故45∘又m，n∈N*，所以m=2，n=3，即α=(3607)°，β=(5407)°．
【解析】本题考查任意角的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
确定α=m7⋅180∘，β=n7⋅180∘，m，n∈N*，结合2α，2β均为钝角，列式求解可得m、n的值，进而即可得到结论．
19.【答案】解：以OB为终边的角240°，可以看成是−120°的角的终边，化为弧度为，135°化为弧度为；
所以图中阴影部分的角的集合α−2π3+2kπ≤α≤3π4+2kπ,k∈Z．
【解析】本题考查了终边相同的角的集合表示以及角度与弧度制的转换，属于中档题．
根据图像把240°看成−120°然后和135°都转化成弧度制，最后求出答案．
20.【答案】解：(1)由圆O的半径r=10=AB，知△AOB是等边三角形，
∴α=∠AOB=60°=π3．
(2)由(1)可知α=π3，r=10，∴弧长l=α⋅r=π3×10=10π3，
∴S扇形=12lr=12×10π3×10=50π3，
而S△AOB=12⋅AB⋅1032=12×10×1032=253，
∴S=S扇形−S△AOB=50(π3−32)．
【解析】本题考查扇形弧长公式，以及扇形面积公式的求法，考查计算能力．
(1)通过三角形的形状判断圆心角的大小，即可求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)直接利用弧长公式求出α所在的扇形的弧长l，利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得到所在的弓形的面积S．
21.【答案】解：(1)−46π3=−8×2π+2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为{β|β=2kπ+2π3,k∈Z}．
(2)−1485∘=−5×360∘+315∘即−5×2π+7π4，它是第四象限角．终边相同的角的集合为{β|β=2kπ+7π4,k∈Z}．
【解析】本题考查终边相同角的表示，属于基础题．
(1)将−46π3化为−8×2π+2π3，即可得到结果；
(2)将−1485°转化为−5×360∘+315∘，再通过角度制与弧度制的转化即可得到结果．
22.【答案】解：(1)−46π3=−8×2π+2π3，它是第二象限角，
终边相同的角的集合为．
(2)−1485∘=−5×360∘+315∘=−5×2π+7π4，它是第四象限角．
终边相同的角的集合为{β|β=2kπ+7π4,k∈Z}．
(3)−20=−4×2π+(8π−20)，而3π2<8π−20<2π．
∴−20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+(8π−20),k∈Z}.
【解析】本题考查终边相同的角，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
(1)先根据角所在的象限把已知角写成2kπ+α，利用与α终边相同的角的集合的结论，即可求得结论．
(2)先把已知角化为弧度制，再写成2kπ+α，利用与α终边相同的角的集合的结论，即可求得结论．
(3)先根据角所在的象限把已知角写成2kπ+α，利用与α终边相同的角的集合的结论，即可求得结论．
23.【答案】
解：(1)由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得：
α1=−570∘=−196π，α2=750∘=256π，
又由α1=−19π6=−4π+5π6，所以α1与角5π6的终边相同，
所以α1终边位于第二象限；
由α2=25π6=4π+π6，所以α2与角π6的终边相同，
所以α2终边位于第一象限；
(2)根据角度制与弧度制的互化公式，可得β1=35π=35×180°=108∘，
β2=−π3=−π3×180°=−60∘，
与β1终边相同的角为，
当k=−1时，；
当k=−2时，．
与β2终边相同的角为，
当k=0时，θ2=−60°；
当k=−1时，．
【解析】本题主要考查弧度制与角度制的相互转化，终边相同的角，象限角的概念，属于基础题．
(1)利用弧度制与角度制的互化公式转化为弧度制，即可判定所在象限；
(2)利用公式可化为角度制，分别写出终边相同的角，根据范围即可求解．
24.【答案】解：(1)1690∘=1440∘+250∘=4×360∘+250∘=4×2π+2518π．
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ=2kπ+2518π(k∈Z).又θ∈(−4π,4π)，
∴−4π<2kπ+2518π<4π，
∴−9736∴k=−2，−1，0，1．
∴θ的值是−4718π，−1118π，2518π，6118π．
【解析】本题的考点是终边相同的角的集合表示，注意角的单位需要统一起来，一般用弧度制进行表示，必须掌握角度制和弧度制之间的相互转化．
(1)根据角度制和弧度制的转化，即1°=π180把α转化为弧度数，再表示为2kπ+β形式；
(2)由(1)知θ=2kπ+2518π,(k∈Z)，再由(−4π,−2π)确定θ的值．
25.【答案】解：(1)420°=360°+60°，
图象为：
420°为第一象限角；
(2)图象为：
−75°为第四象限角；
(3)855°=2×360°+135°，
图象为：
855°为第二象限角；
(4)−510°=−360°−150°，
图象为：
−510°为第三象限角．
【解析】本题考查任意角的概念，作出角，根据角的终边判断角所在的象限，属于基础题；
(1)420°=360°+60°与60°角终边相同；
(2)−75°按照负角作图；
(3)855°=2×360°+135°与135°角终边相同；
(4)−510°=−360°−150°与−150°角终边相同．