高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词第2课时课后作业题

第一章　1.5　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．“∃m，n∈Z，m2＝n2＋2 019”的否定是(　C　)

A．∀m，n∈Z，m2＝n2＋2 019

B．∃m，n∈Z，m2≠n2＋2 019

C．∀m，n∈Z，m2≠n2＋2 019

D．以上都不对

[解析]　命题的否定是∀m，n∈Z，m2≠n2＋2 019，故选C．

2．“a2＋b2≠0”的含义为(　C　)

A．a和b都不为0

B．a和b至少有一个为0

C．a和b至少有一个不为0

D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0

[解析]　a2＋b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0，故选C．

3．若命题p：x∈(A∩B)，则¬p是(　B　)

A．x∉A且x∉B

B．x∉A或x∉B

C．x∉A且x∈B

D．x∈(A∪B)

[解析]　命题p：x∈(A∩B)是指x∈A且x∈B，因此其否定为x∉A或x∉B．

4．对下列命题的否定说法错误的是(　C　)

A．p：能被2整除的数是偶数；¬p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：有些矩形是正方形；¬p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；¬p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；¬p：∀x∈R，x2＋x＋2>0

[解析]　A正确，B正确，C中“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误，D正确，故选C．

二、填空题

5．若命题p：∀a，b∈R，方程ax＋b＝2恰有一解，则¬p：__∃a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解__.

[解析]　¬p：∃a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解．

6．若命题“∃x∈{x|x≥－}，x＋m<0”是假命题，则实数m的取值范围是__m≥__.

[解析]　命题“∃x∈{x|x≥－}，x＋m<0”是假命题，即命题的否定为真命题．其否定为：“∀x∈{x|x≥－}，x＋m≥0”，解得m≥.

三、解答题

7．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．

(1)有一个实数x，使x3＋1＝0；

(2)四边形的对角线不都互相垂直；

(3)有一个点(x，y)，满足y＝2x＋1.

[解析]　(1)命题的否定：∀x∈R，x3＋1≠0；因为x＝－1时，x3＋1＝0，故原命题的否定为假命题．

(2)命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直；原命题的否定是假命题．

(3)命题的否定：对所有的点(x，y)，都不满足y＝2x＋1；原命题的否定为假命题．

B组·素养提升

一、选择题

1．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p为(　B　)

A．某班至多有一个男生爱踢足球

B．某班至少有一个男生不爱踢足球

C．某班所有的男生都不爱踢足球

D．某班所有的女生都爱踢足球

[解析]　命题“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．故选B．

2．(多选题)取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的有(　BC　)

A．∀x∈R，[2x]＝2[x]

B．∃x∈R，[2x]＝2[x]

C．∀x，y∈R，若[x]＝[y]，则x－y<1

D．∀x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]

[解析]　根据新定义“取整函数”的意义知[2x]＝2[x]不一定成立，如x取1.5，[2x]＝3,2[x]＝2，A错误；x取1，[2x]＝2,2[x]＝2，B正确；在C中，设x＝n＋a(n∈Z,0≤a<1)，y＝m＋b(m∈Z,0≤b<1)，若[x]＝[y]，则n＝m，因此x－y＝a－b≤a<1，故C正确；x取1.6，y取1.6，[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝1＋1＝2，D错误，故选BC．

二、填空题

3．命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为__∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解__.

4．以下四个命题：

①∀x∈R，－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中假命题的序号为__①②③④__.

[解析]　因为x＝1时，－3×1＋2<0.

所以①为假命题；

当且仅当x＝±时，x2＝2，

所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题；

对∀x∈R，x2＋1>0，所以③为假命题；

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

所以④为假命题．

所以①②③④均为假命题．

三、解答题

5．已知命题p：∀x≥－，3x＋2－a>0为真命题，求实数a的取值范围．

[解析]　由∀x∈{x|x≥－},3x＋2－a>0为真命题，则3×(－)＋2－a>0.

得a<1，所以实数a的取值范围为a<1.