课时作业9　全称量词命题和存在量词命题的否定

时间：45分钟

——基础巩固类——

1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　A　)

A．对任意实数x，都有x≤1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x>1

D．存在实数x，使x≤1

解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．

2．存在量词命题“∃x0∉M，p(x0)”的否定是(　C　)

A．∀x∈M，¬p(x)   B．∀x∉M，p(x)

C．∀x∉M，¬p(x)   D．∀x∈M，p(x)

解析：由存在量词命题的否定的定义可得C正确．

3．下列四个命题中的真命题为(　D　)

A．∃x∈Z,1<4x<3

B．∃x∈Z,5x＋1＝0

C．∀x∈R，x2－1＝0

D．∀x∈R，x2＋x＋2>0

解析：1<4x<3，<x<，这样的整数x不存在，故选项A为假命题；5x＋1＝0，x＝－∉Z，故选项B为假命题；x2－1＝0，x＝±1，故选项C为假命题；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝2＋>0，故选D.

4．命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是(　C　)

A．不存在x0∈R，使得x－2x0＋1≥0

B．存在x0∈R，使得x－2x0＋1≤0

C．存在x0∈R，使得x－2x0＋1<0

D．对任意的x∈R，都有x2－2x＋1<0

解析：命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x－2x0＋1<0”．故选C.

5．已知命题p：∃x0∈R,2x0＋1≤0，则命题p的否定是(　B　)

A．∃x0∈R,2x0＋1>0

B．∀x∈R,2x＋1>0

C．∃x0∈R,2x0＋1≥0

D．∀x∈R,2x＋1≥0

解析：命题p：∃x0∈R,2x0＋1≤0的否定是“∀x∈R,2x＋1>0”，故选B.

6．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　D　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2

解析：将“∀”改写为“∃”，“∃”改写为“∀”，再否定结论可得，命题的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2”．

7．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为(　C　)

A．∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0

B．∀x∉{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0

C．∃x0∈{x|1≤x≤2}，x－3x0＋2>0

D．∃x0∉{x|1≤x≤2}，x－3x0＋2>0

解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x0∈{x|1≤x≤2}，x－3x0＋2>0”，故选C.

8．已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　D　)

A．{a|a<1}   B．{a|a≤1}

C．{a|a>1}   D．{a|a≥1}

解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，故选D.

9．命题“对任意实数x，都有x2－2x＋2>0”的否定为存在实数x0，使得x－2x0＋2≤0.

10．设命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若綈p为真，则实数a的取值范围是a∈R.

解析：因为綈p：∃x0∈R，x＋ax0＋2≥0为真，且函数y＝x2＋ax＋2的图象是开口向上的抛物线，所以a∈R.

11．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则綈q为存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆．

12．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；

(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

(3)某些梯形的对角线互相平分；

(4)被8整除的数能被4整除．

解：(1)其否定是：存在实数m，使得方程x2＋x－m＝0没有实根．是真命题．

(2)其否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除．是假命题．

(3)其否定是：所有梯形的对角线都不互相平分．是真命题．

(4)其否定是：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．是假命题．

13．已知函数y＝x2－2x＋5,0≤x≤3，若m－y>0有解，求实数m的取值范围．

解：∵y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈{x|0≤x≤3}．

∴当x＝1时， ymin＝4；

当x＝3时， ymax＝8，

又m>y有解，只需m>ymin，

即m>4.

——能力提升类——

14．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是a≥1.

解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1，∴a的取值范围是a≥1.

15．命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．

(1)写出命题p的否定．

(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？

解：(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.

(2)要使命题p的否定为真，

则需要使的解集不为空集．

a，b应满足的条件是b<a.