2021学年7.4 二项分布与超几何分布精品同步练习题

绝密★启用前

7.4.1二项分步同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知随机变量服从二项分布，当时，的最大值是  

A.  B.  C.  D.

2. 一个箱子中装有形状完全相同的个白球和个黑球．现从中有放回的摸取次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为，若，则   

A.  B.  C.  D.

3. 投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

A.  B.  C.  D.

4. 甲命题：若随机变量，，则乙命题：随机变量，且，，则下列说法正确的是   

A. 甲正确、乙错误 B. 甲错误、乙正确
C. 甲错误、乙也错误 D. 甲正确、乙也正确

5. 某闯关游戏规则如下：在主办方预设的个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了个问题就闯关成功的概率等于

A.  B.  C.  D.

6. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 一个袋子中放有大小、形状均相同的小球，其中红球个、黑球个，现从袋子里随机等可能取出小球当有放回依次取出个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出个小球时，记取出的红球数为则        

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8. 从区间和内分别选取一个实数，，得到一个实数对，称为完成一次试验若独立重复做次试验，则的次数的数学期望为   

A.  B.  C.  D.

9. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“局胜”，即以先赢局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为，则本次比赛甲获胜的概率是

A.  B.  C.  D.

10. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球个、黑球个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则

A. ， B. ，
C. ， D. ，

11. 甲乙两人各进行次射击，如果两人击中目标的概率都是，则其中恰有人击中目标的概率是

A.  B.  C.  D.

12. 围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以获得冠军的概率为

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知随机变量服从二项分布，若，，则          ，          ．
14. 抛掷三枚质地均匀的硬币，则事件“恰好有两枚硬币正面朝上”的概率为          ，记正面朝上的硬币枚数为随机变量，则的数学期望是          ．
15. 已知随机变量，则          ，          ．
16. 盒中有个球，其中个红球，个绿球，个黄球．从盒中随机取球，每次取个，记取出的球颜色种数为，则          若摸出的三个球颜色相同或各不相同设为中奖，记某人次重复摸球每次摸球后放回中奖次数为，则          ．
17. 袋中有个红球，个白球，个黑球共个球，现有一个游戏：从袋中任取个球，恰好三种颜色各取到个则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是      ，有个人参与这个游戏，则恰好有人获奖的概率是      ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

设甲同学上学期间的三天中之前到校的天数为，求，，，时的概率，，，；

设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多”，求事件发生的概率．






 

19. 电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务．通过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格不管发送到哪里，都只需负担网费、非常快速的方式几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地，与世界上任何一个角落的网络用户联系．我们在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取个邮箱名称，其中中国人的个，外国人的个，在个中国人的邮箱名称中有个含数字，在个外国人的邮箱名称中有个含数字．

根据以上数据填写列联表：

能否有的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？

用样本估计总体，将频率视为概率．在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取个邮箱名称，记“个中国人邮箱名称里恰有个含数字”的概率为，“个外国人邮箱名称里恰有个含数字”的概率为，试比较与的大小．

附：临界值参考表与参考公式

，其中






 

20. 在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中个项目的比赛．已知该运动员在这个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：

Ⅰ求该运动员至少能打破项世界纪录的概率；

Ⅱ若该运动员能打破世界纪录的项目数为，求的分布列及期望．






 

21. 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在名男性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人；在名女性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人．

完成下面列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过与性别有关”？

附：，其中．

在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过的人中随机抽取人，求这人恰好是名男性驾驶员和名女性驾驶员的概率；

以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取辆，记这辆车平均车速超过且为男性驾驶员的车辆数为，求的分布列和数学期望．






 

22. 某投资公司准备在年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．

项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设个天坑院，每个天坑院投资百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的，否则盈利额为．

项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能盈利投资额的，也可能亏损投资额的，且这两种情况发生的概率分别为和．

记单位：百万元为投资项目一盈利额，求用表示；

试以项目盈利的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．






 

23. 在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策的引导与社会观念的转变，大

学生的创业意识与就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数单位：万元与时间单位：年的数据，列表如下：

依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明计算结果精确到若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合

该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．

方案一：每满元可减元；

方案二：每满元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．

某位顾客购买了元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得元现金奖励的概率

某位顾客购买了元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择方案一返回元现金，还是选择方案二参加四次抽奖？说明理由．

附：相关系数公式：，

参考数据：，，，．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二项分布的应用，属于基础题．
根据二次分布概率公式逐一求出，，，时的概率，即可得到答案．
【解答】
解：因为随机变量服从二项分布，
所以，
所以，，
，，
，
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二项分布．若，则，．
【解答】
解：设摸取一次摸得白球的概率为，则易得，则，解得，则，
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．

判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可． 

【解答】

解：由题意可设该同学次投篮中投中的次数为随机变量，则满足，
该同学通过测试的概率为．
故选A．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，属于基础题． 
根据正态分布的特点可知曲线关于x=3对称，再根据二项分布的期望公式和方差公式，依次判断求解.
【解答】
解：∵随机变量X~N(3，σ2)，∴曲线关于x=3对称， 
∴P（ξ≤4）=1-P（ξ≤2）=0.7，
∴甲命题正确. 
又∵随机变量Y~B(n，p)，且E(Y)＝300，D(Y)＝200，
∴∴p=，
∴乙正确.
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查独立重复实验概率求解，属于基础题．
根据题意得到第个问题回答不正确，第、个问题回答正确，计算概率得到答案．
【解答】
解：该选手恰好回答了个问题就闯关成功，则第个问题回答不正确，第、个问题回答正确，
故，
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】本题主要考查次独立重复实验中恰好发生次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．
当甲以的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，即可得出结论．
【解答】解：当甲以的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，
所以甲以的比分获胜的概率为．
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
求出的可能取值为，，，，从而，；求出的可能取值为，，，，从而求出，，由此能求出结果．
【解答】
解：一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球个、黑球个，现随机等可能取出小球，
当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，
则的可能取值为，，，，
，，
当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，
则的可能取值为，，
，
，
，
．
，．
故选B．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查与面积有关的几何概型的概率计算，以及二项分布的应用，属于中档题．
根据条件结合几何概型的概率公式得到一次试验发生的概率，再结合二项分布的期望公式得到答案．
【解答】
解：从区间和内分别选取一个实数，，
则表示的可行域为矩形区域不含边界，如图所示，


表示的可行域为图中的阴影部分不含边界．
因为的面积为，
矩形的面积为，
所以由几何概型可知，每次试验发生的概率．
依题意可得∽，则．
故选D  

9.【答案】
 

【解析】解：甲获胜有两种情况，一是甲以：获胜，此时
二是甲以：获胜，此时，故甲获胜的概率，
故选：．
根据题意，分析可得，甲获胜有两种情况，一是甲以：获胜，二是甲以：获胜，按独立重复事件恰好发生次的概率的计算公式计算可得答案．
本题考查次独立重复事件恰好发生次的概率，属于中档题．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
求出的可能取值为，，，，从而，；求出的可能取值为，，，，从而求出，，由此能求出结果．
【解答】
解：一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球个、黑球个，现随机等可能取出小球，
当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，
则的可能取值为，，，，
，，
当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，
则的可能取值为，，
，
，
，
．
，．
故选B．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件概率求解，属于基础题
解题时用减去两个人都击中和都没击中即可．

【解答】

解：两人都击中概率，都击不中的概率，恰有一人击中的概率．

故选：

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了相互独立事件同时发生的概率以及次独立重复试验，属于中档题．
设甲以获胜为事件，利用相互独立事件同时发生的概率以及次独立重复试验，即可求解．
【解答】
解：设甲以获胜为事件，
且．
故选B．  

13.【答案】 

【解析】解：随机变量服从二项分布，若，，
可得，，
解得；．
所以．
故答案为：；．
利用二项分布的期望与方差，求出，，然后求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的期望与方差的求法，二项分布的应用，考查计算能力．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了独立重复试验中概率求解以及二项分布的期望求解，属于基础题．
根据独立重复试验中概率可求解“恰好有两枚硬币正面朝上”的概率，且随机变量，根据二项分布期望即可求解．
【解答】
解：由题意易知，“恰好有两枚硬币正面朝上”的概率为．
随机变量，故，
故答案为；．  

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，属于基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．由已知利用二项分布的性质直接求解．
【解答】
解：随机变量，
，
．
故答案为，．  

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的方差和次独立重复试验与二项分布，属于中档题；
表示取出球颜色的种数为，取 个球，种颜色有个，分取出个绿球时和取出个黄球时两种情况；
设中奖的概率为又次摸球中奖的概率相等，故E；即可求解；
【解答】
解：表示取出球颜色的种数为，
取 个球，种颜色有个，取出个绿球时，取出个黄球时，；
故
设中奖的概率为
又次摸球中奖的概率相等，故E；
故答案为；；  

17.【答案】

【解析】解：设中奖为事件，则事件包含的基本事件个数为，所有的基本事件共有个，所以中奖概率为．
有个人参与这个游戏，设中奖人数为，则，所以．
故答案为；．
根据计数原理，所有的取球方法共有种，而三种球各有一个共包含个，故获奖的概率可求．有个人参与这个游戏，设中奖人数为，则，故的概率可求．
本题考查了古典概型的概率计算，二项分布，属于基础题．
 

18.【答案】解：由独立事件的概率乘法公式可得，，
，
，
．
设乙同学上学期间的三天中在：之前到校的天数为，
则，，
，，

．
 

【解析】本题考查了二项分布的概率公式计算，相互独立事件的概率计算，属于中档题．
根据二项分布列公式计算概率；
根据相互独立事件公式计算概率．
 

19.【答案】解:(1)填写22列联表如下:

（2）K2==10.000>6.635,
因为根据临界值表可知,所以有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”.
(3)用样本估计总体，将频率视为概率，根据（1）中22列联表.
中国人邮箱名称里含数字的概率为=，
外国人邮箱名称里含数字的概率为=.
设“6个中国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量ξ.
“6个外国人邮箱名称里含数字”的人数为随机变量η，
根据题意，得ξB(6，)，η~B(6，).
则==,
==.
所以=.
 

【解析】本题主要考查了独立性检验、二项分布的概率计算，属于中档题.
（1）根据题意完成2×2列联表即可；
（2）计算K2值，结合临界值表作出判断即可；
（3）分别计算6名中国人、外国人邮箱名称里含有数字的概率，再用二项分布分别计算相应随机变量的概率即可作答.
 

20.【答案】解：Ⅰ依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，

并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量，
“该运动员至少能打破项世界纪录”为事件，则有


Ⅱ设该运动员能打破世界纪录的项目数为，由Ⅰ解答可知，
，分布列为

所以期望．
 

【解析】本题考查的要点有：互斥事件的概率加法公式等可能性事件数学期望．

本题考查古典概型概率求法及二项分布，属中档题．
Ⅰ由于某运动员报名参加了其中个项目的比赛，且个项目能打破世界纪录的概率都是，我们分析“该运动员至少能打破项世界纪录”这个事件中的所有情况，然后代入等可能性事件概率公式，即可求出该运动员至少能打破项世界纪录的概率； 
Ⅱ由Ⅰ可知，该运动员打破每一项世界纪录的概率都为，进而可得答案．
 

21.【答案】完成的列联表如下：

，所以有的把握认为“平均车速超过与性别有关”．
平均车速不超过的驾驶员有人，从中随机抽取人的方法总数为，记“这人恰好是名男性驾驶员和名女性驾驶员”为事件，
则事件所包含的基本事件数为，所以所求的概率．
根据样本估计总体的思想，从总体中任取辆车，平均车速超过且为男性驾驶员的概率为，故．
所以；
；
；
．
所以的分布列为

．
 

【解析】本题考查离散性随机变量的分布列，期望的求法，独立检验的应用，考查分析问题解决问题的能力．
完成列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关．求出，即可判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关． 
求出基本事件的个数，利用古典概型概率公式求解即可； 
根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率，可取值是，，，，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
 

22.【答案】解：由题意记为盈利的天坑院个数，则，
则盈利的天坑院数的均值，
故盈利的均值为
；
记为投资项目二盈利额，则的分布列为：

盈利的均值，
当时，，解得，故两个项目均可投资；
当时，，解得，此时选择项目一；
当时，，解得此时选择项目二．

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由题意记为盈利的天坑院个数，由题意，由此能求出盈利的均值；
记为投资项目二盈利额，求出的分布列，由此能求出盈利的均值，由此分类讨论能求出结果．
 

23.【答案】由题知，，
，

，，，

则

，

故与的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；

顾客选择参加两次抽奖，设他获得元现金奖励为事件，

；

设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，

由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，

，

由于顾客每中一次可获得元现金奖励，

因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为，

由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值小于直接返现的元现金，

故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖．

【解析】本题主要考查线性相关系数的求法，考查独立重复试验与二项分布，考查计算能力，属于中档题．
由已知求得与，再由已知结合相关系数公式求得，与比较大小得结论；

直接由相互独立事件的概率公式求解；

设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，由二项分布的期望公式求得期望，可得顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值，与比较大小得结论．