人教A版 (2019)7.3 离散型随机变量的数字特征精品同步训练题

这是一份人教A版 (2019)7.3 离散型随机变量的数字特征精品同步训练题，共24页。试卷主要包含了0分），【答案】A，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
7.3离散型随机变量的数字特征同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设随机变量的概率分布为
ξ
0
1
2
P
p3
p3
1−23p
则ξ的数学期望E(ξ)的最小值是(    )
A. 12 B. 0
C. 2 D. 随p的变化而变化
2. 现有3道四选一的单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的题答对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的期望为(    )
A. 9310 B. 374 C. 394 D. 21120
3. 设0 ξ
−1
0
1
p
12
a
b
则当a在(0,1)内增大时，  (    )
A. E(ξ)增大，D(ξ)增大 B. E(ξ)增大，D(ξ)减小
C. E(ξ)减小，D(ξ)增大 D. E(ξ)减小，D(ξ)减小
4. 某路口的交通信号灯在绿灯亮15秒后，黄灯闪烁3秒，然后红灯亮12秒，如此往复．设X为某交通参与者20次经过该路口时遇到红灯的次数，则随机变量X的期望EX等于(    )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5. 已知ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
16
16
13
m
设η=2ξ-5，则E(η)=(    )
A. 12 B. 13 C. 23 D. 32
6. 已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
−1
0
1
p
p1
p2
p3
其中1p1+1p3=6，则Dξ的最大值是(    )
A. 23 B. 1425 C. 2536 D. 59
7. 已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且PX≥1=23，P(X=3)=16，若X的数学期望EX=54，则D4X−3=(    )．
A. 19 B. 16 C. 194 D. 74
8. 甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若0 A. EX=52 B. EX>218 C. DX>14 D. DX<2081
9. 设0 ξ
0
1
2
p
p3
3−2p3
p3
那么，当p在(0,1)内增大时，D(ξ)的变化是(    )
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
10. 给出下列命题，其中是真命题个数的是(       )
(1).若直线l的方向向量a=(1,−1,2)，直线m的方向向量b=(2,1,−12)，则l与m平行
(2).若直线l的方向向量a=(0,1,−1)，平面α的法向量n=(1,−1,−1)，则l⊥α
(3).若平面α，β的法向量分别为n1=(0,1,3)，n2=(1,0,2)，则α⊥β
(4).若平面α经过三点A1,0,−1，B0,1,0，C−1,2,0，向量n→=1,u,t是平面α的法向量，则u+t=1
(5)在空间直角坐标系O−xyz中，若点A(1,2,3)，B(1,−1,4)，点C是点A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为14
(6)若x1、x2、…、x2021的方差为3，则3(x1−2)、3(x2−2)、…、3(x2021−2)的方差为27
(7)若a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，则与a+b共线的单位向量是±0,55,255
A. 2 B. 3 C. 5 D. 4
11. 随机变量X的分布列如表所示，则当p在(0,1)内增大时，D(X2)满足(    )
X
−1
0
1
P
1−p3
1+p3
13
A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 增大 D. 减小
12. 已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10−m个白球，B盒中有10−m个红球与m个白球(0 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是   (1)   ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E(ξ)为   (2)   ．
14. 从2个相同红球，2个相同白球，2个不同黑球中任取3个球，有          种不同取法；若每次取1个球，取后放回，连续取3次，取到黑球的次数为X，则EX=          ．
15. 将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用ξ表示两名科学家之间的航天员人数，则E(ξ)=          ，D(ξ)=          
16. 有五个球编号分别为1∼5号，有五个盒子编号分别也为1∼5号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为          (用数字作答)，记ξ为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=          
17. 盒中有个小球，其中个白球，个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为，则          ，          ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
18. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得−200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．







19. 为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取140名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为67，服务水平的满意率为57，对业务水平和服务水平都满意的有90名客户．
(1)完成下面2×2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；

对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数



对业务水平不满意人数



合计



(2)为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；
(3)若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5％，只对其中一项不满意的客户流失率为40％，对两项都不满意的客户流失率为75％，从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少⋅
附：
PK2≥k
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=n×ad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d







20. 云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70,85)内，记为B等，分数在[60,70)内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．
已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50,100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．

(1)求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
(2)在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．







21. 某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13．
(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率：
(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n=1与n=2之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润−维修工人工资)







22. 元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元(含6万元)，可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一个摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折．
(1)若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二中方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；
(2)若你评优看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案．







23. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．







答案和解析
1.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查随机变量的分布列以及期望的求法，属于基础题．
由分布列的性质求得p的范围，再由期望的定义把表示为P的函数，求得最小值．
【解答】
解：有分布列可得0⩽p⩽32，
E(ξ)=0×p3+1×p3+2×(1−2p3)=2−p⩽12，
故选A．  
2.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，属于基础题．
由题意可知李明这3道题得分的取值可能为0，5，10，15，分别求出概率，进而可求期望．
【解答】
解：记李明这3道题得分为随机变量X，则X的取值为0，5，10，15，
P(X=0)=(15)2×34=3100，
P(X=5)=C21×45×15×34+(15)2×14=14，
P(X=10)=C21×45×15×14+(45)2×34=1425，
P(X=15)=(45)2×14=425，
所以E(X)=0×3100+5×14+10×1425+15×425=374，
故选B．  
3.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，先根据随机变量ξ的分布列求出E(ξ)=−a，，D(ξ)=−(a+12)2+54，，从而得出随着a增大，E(ξ)减小，D(ξ)减小．
【解答】
解：由已知可得a+b=12，
∴E(ξ)=−1×12+0⋅a+1⋅b=b−12=−a，
∴当a增大时，E(ξ)减小，
又D(ξ)=(−1+a)2×12+(0+a)2a+(1+a)2(12−a)=−a2−a+1=−(a+12)2+54，
∴当a增大时，D(ξ)减小．
故选D．  
4.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查离散型随机变量的期望的求解．
【解答】
解：由题意得：
参与者每次经过该路口时遇到红灯的概率相同，均为1212+3+15=25，
∴EX=20×25=8．
故选B．
  
5.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，属于基础题．
求出ξ的期望，然后利用η=2ξ−5，求解E(η)即可．
【解答】解：依题意，知m=1−(16+16+13)=13，
则E(ξ)=1×16+2×16+3×13+4×13=176，
所以E(η)=E(2ξ−5)=2E(ξ)−5=2×176−5=23，
故选C．  
6.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，以及基本不等式求最值，属于一般题．
利用方差公式求得D(ξ)=p1+p3−p3−p12=53p1+p3−p1+p32，再利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：Eξ=−1×p1+0×p2+1×p3=p3−p1
Dξ=−1−Eξ2×p1+0−Eξ2×p2+1−Eξ2×p3
=1+2Eξ+Eξ2×p1+Eξ2×p2+1−2Eξ+Eξ2×p3
=p1+p3+2Eξ×p1−p3+Eξ2p1+p2+p3 
=p1+p3+2p3−p1×p1−p3+p3−p12
=p1+p3−p3−p12=53p1+p3−p1+p32
又p1+p3=16p1+p31p1+1p3=161+1+p3p1+p1p3≥162+2p3p1×p1p3=23
当且仅当p3p1=p1p3，即p3=p1=13时取等号，所以23≤p3+p1≤1
所以53p1+p3−p1+p32=−p1+p3−562+2536≤2536 
所以Dξ≤2536
故Dξ的最大值是2536
故选C．
  
7.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查随机变量的期望与方差的计算，关键是求出a的值，属于中档题．
根据题意，P(X=0)=13，设P(X=1)=a，则P(X=2)=12−a，由EX=54，解可得a，
又由方差公式可得D(X)的值，又由方差的性质计算可得答案．
【解答】
解：由题知P(X=0)=13，
设P(X=1)=a，则P(X=2)=12−a，
由E(X)=0×13+1×a+2×(12−a)+3×16=54，
解得a=14，所以离散型随机变量X的分布列为：

X
0
1
2
3
P
13

14

14

16

则D(X)=13×(0−54)2+14×(1−54)2+14×(2−54)2+16×(3−54)2=1916，
所以D(4X−3)=16D(X)=19．
故选A．  
8.【答案】D

【解析】
【分析】
本题主要考查了离散型随机变量期望与方差的应用，解题的关键是熟练掌握离散型随机变量期望与方差的计算，
根据已知及离散型随机变量期望与方差的计算，求出D(X)的值．
【解答】
解：∵由题意，X可取2，3，
当X=2时，P(X=2)=p2+(1−p)2=2p2−2p+1，
当X=3时，P(X=3)=C21p(1−p)=−2p2+2p，
E(X)=2×(2p2−2p+1)+3×(−2p2+2p)=−2p2+2p+2，
∵0 ∴2 可取特殊值p=14，得到C不合题意．
故选D．  
9.【答案】B

【解析】解：根据题意知E(ξ)=0×p3+1×3−2p3+2×p3=1，
D(ξ)=(0−1)2×p3+(1−1)2×3−2p3+(2−1)2×p3=2p3，
∴当p在(0,1)内增大时，D(ξ)的变化是增大．
故选：B．
根据期望和方差公式求得方差D(ξ)=2p3，为递增函数．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．

10.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查空间向量的概念，空间向量的模，直线的方向向量，平面的法向量，利用空间向量判定线线、线面及面面的平行垂直关系，方差的运算，属拔高题．
由空间向量的概念、模的运算、直线的方向向量和平面的法向量在判定垂直平行关系中的运用，方差的运算公式逐一判定即可．
【解答】
解：对于(1)，由a=λb可得，(1,−1,2)=λ(2,1,−12)，显然λ不存在，所以l与m不平行，故(1)错误；
对于(2)，由a·n=0−1+1=0可得，a⊥n，所以l//α，故(2)错误；
对于(3)，由n1·n2=0+0+6≠0，可得n1,n2不垂直，所以平面α，β不垂直，故(3)错误；
对于(4)，由题意AB=(−1,1,1)，AC=(−2,2,1)，因为n=(1,u,t)是平面α的法向量，所以n·AB=−1+u+t=0，且n·AC=−2+2u+t=0，两式联立可得u=1,t=0，故(4)正确；
对于(5)，因为点C是点A(1,2,3)关于平面yOz的对称点，则点C(−1,2,3)，又B(1,−1,4)，所以BC=−1−12+2+12+3−42=14，故(5)正确；
对于(6)，x1、x2、…、x2021的方差为3，则3(x1−2)、3(x2−2)、…、3(x2021−2)的方差为32×3=27，故(6)正确；
对于(7)，因为a+b=0,1,2，所以与a+b共线的单位向量是±a+ba+b=±150,1,2=±0,55,255，故(7)正确．
所以正确的命题有4个．
故选D．
  
11.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．
结合方差公式和二次函数的单调性可得结果．
【解答】
解：  由分布列可得：
P(X2=0)=1+p3,P(X2=1)=2−p3，
E(X2)=2−p3，
D(X2)=(0−2−p3)2×1+p3+(1−2−p3)2×2−p3
=−p2+p+29，
因为对称轴方程为p=12，
所以当p在(0,1)内增大时，D(X2)先增大后减小．
故选A．  
12.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了概率计算与离散型随机变量的分布列以及离散型随机变量的数学期望与方差计算公式，考查了基本不等式，属于中档题．
由题意可得：ξ=0，1，2.P(ξ=0)=10−m10×m10，P(ξ=1)=m10×m10+(10−m)2100，P(ξ=2)=m(10−m)100.可得分布列，可得E(ξ)与D(ξ)．
【解答】
解：由题意可得：ξ=0，1，2．
P(ξ=0)=10−m10×m10=m(10−m)100，P(ξ=1)=m10×m10+(10−m)2100=m2−10m+5050，
P(ξ=2)=m(10−m)100．
分布列为：
 ξ
 0
 1
 2
 P
 m(10−m)100
 m2−10m+5050
m(10−m)100．
E(ξ)=0×m(10−m)100+1×m2−10m+5050+2×m(10−m)100=1．
D(ξ)=(0−1)2×m(10−m)100+(1−1)2×m2−10m+5050+(2−1)2×m(10−m)100
=m(10−m)500 ≤150×(m+10−m2)2=12，
当且仅当m=5时取等号．
故选：B．  
13.【答案】950
35


【解析】解：箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，
现从该箱中有放回地依次取出3个小球，
基本事件总数n=103=1000，
3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m=103−(23+33+53+C32×22×8+C32×32×7+C32×52×5)=180，
则3个小球颜色互不相同的概率是P=mn=1801000=950；
若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～(n,210)，
∴ξ的数学期望E(ξ)=3×210=35．
故答案为：950，35．
基本事件总数n=103=1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数m=103−(23+33+53+C32×22×8+C32×32×7+C32×52×5)=180，由此能求出3个小球颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～(n,210)，由此能求出ξ的数学期望E(ξ)．
本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．

14.【答案】10
1


【解析】
【分析】
本题主要基本事件与n次独立重复试验问题，以及二项分布，离散型随机变量期望，属于基础题．
先利用列举法直接求解基本事件的情况，再根据n次独立重复试验的定义与期望公式直接求解E(X)即可．
【解答】
解：由题意可记2个相同红球为AA，2个相同白球为BB，2个不同黑球为C1C2，
则从中任取3个球，共有如下10种情况：
(AAB)，(AAC1)，(AAC2)，(BBA)，(BBC1)，(BBC2)，(AC1C2)，(BC1C2)，(ABC1)，(ABC2)；
每次取1个球，取后放回，每次取到黑球的概率为P=26=13，
则连续取3次，取到黑球的次数X～B3,13，则EX=3×13=1．
故答案为：10，1．  
15.【答案】1
1


【解析】
【分析】
本题考查了离散型随机变量的期望方差运算，属于中档题．
由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再求出对应的概率，结合期望方差公式求解．
【解答】
解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
p(ξ=0)=A44A22A55=25；
p(ξ=1)=C31A22A33A55=310；
p(ξ=2)=C32A22A22A22A55=15；
p(ξ=3)=A22A33A55=110．
E(ξ)=0×25+1×310+2×15+3×110=1，
E(ξ2)=0×25+1×310+4×15+9×110=2，
所以D(ξ)=E(ξ2)−E2(ξ)=1．
故答案为：1；1．  
16.【答案】45
  1


【解析】解：将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同，则有一个盒子和编号和球的编号相同，
例如将5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为(2,1,4,3)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(3,1,4,2)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)共9种，
故恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为5×9=45种，
(2)随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，5，5个球5个盒子任意放有A55=120种，
P(ξ)=0=C51(2+3+3+3)120=1130，P(ξ=1)=45120=38，P(ξ=2)=C52×2120=16，P(ξ=3)=C53120=112，P(ξ=4)=1120，
可得分布列：
ξ
0
1
2
3
5
P
1130
38
16
112
1120
∴E(ξ)=0×1130+1×38+2×16+3×112+5×1120=1，
故答案为：45，1．
假若5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为(2,1,4,3)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(3,1,4,2)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)共9种，
故可得答案，随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，5.通过分类讨论，利用互斥事件、古典概率计算公式即可得出分布列，及其数学期望．
本题考查了互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17.【答案】815
103


【解析】解：X=3表示取出的为一个白球，∴P(X=3)=C41C21C62=815，
X=2表示取出两个黑球，P(X=2)=C22C62=115，
X=3表示取出的为一个白球，∴P(X=3)=C41C21C62=815，
X=4表示取出2个球为白球，P(X=4)=C42C62=615，
E(X)=3×815+2×115+4×615=103，
故答案为：815；103．
根据古典概型概率公式求得概率，期望即可．
本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．

18.【答案】解：(1)X可能取值有−200，10，20，100．
则P(X=−200)=C30(12)0(1−12)3=18，P(X=10)=C31(12)1⋅(1−12)2=38
P(X=20)=C32(12)2(1−12)1=38，P(X=100)=C33(12)3=18，
故分布列为： 
X
−200
10
20
100
P
18
38
38
18
(2)由(1)知，每盘游戏出现音乐的概率是p=38+38+18=78，
则至少有一盘出现音乐的概率p=1−C30(78)0(1−78)3=511512．
(3)由(1)知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E(X)=(−200)×18+10×38+20×38+18×100=−108=−54．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．

【解析】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；
(2)先求每盘游戏出现音乐的概率，然后利用独立重复试验的概率公式即可得到结论．
(3)计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．

19.【答案】解：(1)由题意知对业务水平的满意的为120人，对服务水平的满意的为100人，得2×2列联表：

对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数
90
30
120
对业务水平不满意人数
10
10
20
合计
100
40
140
K2=140×(90×10−30×10)2120×20×100×40=214=5.25>5.024．
所以，有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关．
(2)X的可能取值为0,1,2. 
P(X=0)=C100⋅C302C402=2952， P(X=1)=C101⋅C301C402=2052，  P(X=2)=C102⋅C300C402=352．
X
0
1
2
P
2952
2052
352
E(X)=0×2952+1×2052+2×352=12．
(3)在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为，
只对其中一项不满意的客户流失率为，
对两项都不满意的客户流失率为 
从该运营系统中任选一名客户流失的概率为 
在业务服务协议终止时，从社区中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为：
P=1−C40(45)4×(15)0−C41(45)3×15=113625 . 


【解析】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查n次独立重复试验的概率计算，属于中档题．
(Ⅰ)由题意得2×2列联表，求出K2的值，再与临界值进行比较即可求解；
(Ⅱ)X的可能值为0,1,2.求出对应的概率，列出分布列，求出期望即可；
(Ⅲ)由题意得到从运营系统中任选一名客户流失的概率为15，继而可求出结果．

20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得：
(x+0.012+0.056+0.018+0.010)×10=1，
解得x=0.004．
甲校的合格率P1=1−0.004×10=0.96=96%，
乙校的合格率P2=50−250×100%=96%．
可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．
(2)样本中甲校C等级的学生人数为0.012×10×50=6，
而乙校C等级的学生人数为4，
∴随机抽取3人中，甲校学生人数X的可能取值为0，1，2，3．
则P(X=k)=C6kC43−kC103，k=0，1，2，3．
∴P(X=0)=C43C103=130，P(X=1)=C61C42C103=310，
P(X=2)=C62C41C103=12，P(X=3)=C63C103=16，
∴X的分布列为：
X
 0
 1
 2
 3
 P
 130
 310
 12
 16
E(X)=0+1×310+2×12+3×16=95．

【解析】本题主要考查了超几何分布列的性质及其数学期望、频率分布直方图的性质、茎叶图的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．
(2)样本中甲校C等级的学生人数为0.012×10×50=6，而乙校C等级的学生人数为4.随机抽取3人中，甲校学生人数X的可能取值为0，1，2，3.利用P(X=k)=C6kC43−kC103，即可得出．

21.【答案】解：(1)设3条生产线中出现故障的条数为X，
则X∼B(3,13).          
因此P(X=1)=C31(13)1(23)2=1227=49. 
(2)①当n=1时，设该企业每月的实际获利为Y1万元．
若X=0，则Y1=12×3−1=35； 
若X=1，则Y1=12×2+8×1−1=31；
若X=2，则Y1=12×1+8×1+0×1−1=19；
若X=3，则Y1=12×0+8×1+0×2−1=7；    
又P(X=0)=C30(13)0(23)3=827，
P(X=1)=C31(13)1(23)2=1227，
P(X=2)=C32(13)2(23)1=627，
P(X=3)=C33(13)3(23)0=127， 
因此Y1的分布列为：
Y1
35
31
19
7
P
827
1227
627
127
此时，实际获利Y1的均值
E(Y1)=35×827+31×1227+19×627+7×127=77327.    
②当n=2时，设该企业每月的实际获利为Y2万元．
若X=0，则Y2=12×3−2=34；
若X=1，则Y2=12×2+8×1−2=30；
若X=2，则Y2=12×1+8×2−2=26；
若X=3，则Y2=12×0+8×2+0×1−2=14；
因此Y2的分布列为：
Y1
34
30
26
14
P
827
1227
627
127
此时，实际获利Y2的均值   
E(Y2)=34×827+30×1227+26×627+14×127=80227．
因为E(Y1) 于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，
在n=1与n=2之中选其一，应选用n=2.

【解析】本题考查二项分布、离散型随机变量的分布列及随机变量的期望与方差，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于较难题．
(1)设3条生产线中出现故障的条数为X，则X∼B(3,13)，进而即可求得结果；
(2)分别求得n=1及n=2时的期望进而即可求得结果．

22.【答案】解：(1)选择方案二比方案一更优惠，
则需要至少摸出一个幸运球，
设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件A，
则P(A)=2×2×34×4×4=316，
故所求概率P=1−P(A)P(A)=1−(316)2=247256.(4分)
(2)若选择方案一，则需付款10−0.6=9.4(万元). 5分)
若选择方案二，设付款金额为X万元，
则X可能的取值为6，7，8，10，P(X=6)=2×2×14×4×4=116,P(X=7)=2×2×3+2×2×1+2×2×14×4×4=516，P(X=8)=2×2×3+2×2×3+2×2×14×4×4=716，P(X=10)=316，(9分)
故X的分布列为
X
6
7
8
10
P
116
516
716
316
所以E(X)=6×116+7×516+8×716+10×316=7.9375(万元)<9.4(万元)，
所以选择第二种方案更划算．(12分)

【解析】(1)选择方案二比方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，由此能求出至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率．
(2)若选择方案一，则需付款9.4万元；若选择方案二，设付款金额为X万元，则X可能的取值为6，7，8，10，分别求出相应的概率，从而求出X的数学期望，由此得到选择第二种方案更划算．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、转化化归思想、整体思想，是中档题．

23.【答案】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.人数比为：3：2：2，
从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=k)=C4k⋅C33−kC73，k=0，1，2，3．
所以随机变量的分布列为：
 X
0
1
 2
3
 P
135
  1235
  1835
  435
随机变量X的数学期望EX=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；
(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，
则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．
所以事件A发生的概率：67．

【解析】本题考查分层抽样，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．
(1)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；
(2)若(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；
(ii)利用互斥事件的概率加法公式求解即可．