人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征随堂练习题

人教A版（2019）选择性必修第三册《7.3 离散型随机变量的数字特征》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知，随机变量的分布如下：

当增大时，

A. 增大，增大 B. 减小，增大
C. 增大，减小 D. 减小 ，减小

2.（5分）从一批含有只正品，只次品的产品中，不放回地抽取次，每次抽取只，设抽得次品数为，则的值为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）某省年普通高校招生考试报名人数为万人，每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术七门学科中随机选门参加选考科目的考试，估计其中参加技术学科考试的人数大约为

A. 万 B. 万 C. 万 D. 低于万

4.（5分）若随机变量满足，，则下列说法正确的是

A.  B.
C.  D.

5.（5分）随机变量的分布列如表，其中，对于给定的．

有下列命题：随着的增大，期望一直减小；命题：随着的增大，方差先增大后减小，则下列正确的是

A. 为真命题；为假命题 B. 为假命题；为真命题
C. 均为真命题 D. 均为假命题

6.（5分）一名篮球运动员投篮一次得分的概率为 ，得分的概率为 ，不得分的概率为 ， ， ，已知他投篮一次得分的均值为不计其他得分情况，则 的最大值为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）若随机变量的分布如下：

则下列随机变量中数学期望最大的是 

A.  B.  C.  D.

8.（5分）随机变量的分布列是

若，则随机变量的方差的值为

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）下列选项中正确的有

A. 随机变量，则
B. 将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”，“至少出现一个点”，则概率
C. 口袋中有个红球、个蓝球和个黑球．从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量则的数学期望
D. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为

10.（5分）一袋中有大小相同的个红球和个白球，给出下列个结论，其中正确的有

A. 从中任取球，恰有一个白球的概率是
B. 从中有放回的取球次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C. 现从中不放回的取球次，每次任取球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D. 从中有放回的取球次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

11.（5分）已知随机变量的分布列如下：

若，则的值可能等于

A.  B.  C.  D.

12.（5分）下列说法中正确的有

A. 线性回归直线方程恒过样本中心；
B. 用相关系数可以刻画线性相关关系，若线性相关程度越强则的值越接近；
C. 统计量可以用来检验事件之间是否相关，的值越大两个事件的相关性就越大；
D. 设随机变量，则

13.（5分）若随机变量的分布列如下表所示，且，则

A.  B.  C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知小明投次篮，每次投篮的命中率均为，记次投篮命中的次数为，则______ .

15.（5分）口袋中有只球，编号为，，，，，从中任取球，以表示取出球的最大号码，则______ .

16.（5分）某同学早上上学期间，每天之前到校的概率均为，用表示该同学三天中早上上学期间之前到校的天数，则随机变量的数学期望是________.

17.（5分）已知随机变量的期望为，则______ .

18.（5分）随机变量的分布如表，则______．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各人进行了调查，调查数据如表所示：

在图中绘出频率分布直方图说明：将各个小矩形纵坐标注在相应小矩形边的最上面，并估算该地区居民幸福感指数的平均值； 
若居民幸福感指数不小于，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取对夫妻进行调查，用表示他们之中幸福夫妻夫妻二人都感到幸福的对数，求的分布列及期望以样本的频率作为总体的概率．
 

20.（12分）为了丰富学生的校园文化生活，某校举行了冬季运动会，为了做好运动会的服务工作，现从名学生会干部其中男生人，女生人中选人作为运动会的志愿者参加服务工作．

求男生甲和女生乙同时被选中的概率；

记所选人中女生人数为，求的分布列及数学期望．

21.（12分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台．借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案．为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了间大棚每间一亩，分成两组，每组间进行试点．第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案．同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图： 
 
如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由； 
已知种植该蔬菜每年固定的成本为千元亩．若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为千元亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为千元亩．已知该农场共有大棚间每间亩，农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为千元千斤．根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润； 
农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过千斤为增产明显．在进行夜间降温试点的间大棚中随机抽取间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望．

22.（12分）某工厂改造一废弃的流水线，为评估流水线的性能，连续两天从流水线生产零件上随机各抽取件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为

第一天

第二天

经计算，第一天样本的平均值，标准差第二天样本的平均值，标准差

现以两天抽取的零件来评判流水线的性能.

计算这两天抽取件样本的平均值和标准差精确到；

现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判表示相应事件的概率，①；②；③评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线的性能等级.

将直径在范围内的零件认定为一等品，在范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品现从件样本除一等品外的零件中抽取个，设为抽到次品的件数，求分布列及其期望.

附注：参考数据：

参考公式：标准差

23.（12分）年月日日，第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行在航展期间，从珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为，走路线乙堵车的概率为，若现在有，两辆汽车走路线甲，有一辆汽车走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响．

若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求的值．

在的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望．

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】

此题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，先根据随机变量的分布列求出，从而得出随着增大，减小，增大. 
 
解：， 
， 
所以当增大时，减小，增大， 
故选
 

2.【答案】C;

【解析】解：的取值为，，，．  
可得分布列为：

．  
．  
故选：． 
利用超几何分布列的性质、数学期望计算公式即可得出．  
该题考查了超几何分布列的性质数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

3.【答案】B;

【解析】解：某省年普通高校招生考试报名人数为万人， 
每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术七门学科中随机选门参加选考科目的考试， 
估计其中参加技术学科考试的人数大约为： 
万． 
故选：． 
利用概率能估计其中参加技术学科考试的人数． 
此题主要考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 

4.【答案】D;

【解析】

此题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，属于基础题. 
由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果.

 
解：随机变量满足，，

则：，

据此可得：

故选
 

5.【答案】C;

【解析】解：，对于给定的． 
， 
命题：随着的增大，期望一直减小，真命题． 
 
令，则， 
 
 
， 
命题：随着的增大，方差先增大后减小，是真命题． 
故选：． 
利用随机变量的分布分别求出数学期望和方差，由此能求出结果． 
该题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

6.【答案】D;

【解析】

此题主要考查数学期望及利用基本不等式求最值，利用数学期望的概念，建立等式，再利用基本不等式，即可求得结果．

解：由题意，投篮一次得分的概率为，得分的概率为，不得分的概率为、、， 
， 
， 
当且仅当时取等号， 
的最大值为． 
故选D．
 

7.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查的是期望的求法，期望的性质，属于基础题. 
解：由题得，，，，，显然期望最大的是 

 

8.【答案】C;

【解析】解：由分布列可知：， 
，解得，，

， 
故 
故选： 
首先分析题目已知的分布列，利用期望求出，，再根据方差公式直接求得方差即可． 
此题主要考查离散型随机变量的期望与方差的求法，对于分布列的理解与应用，是基本知识的考查，是基础题．
 

9.【答案】AC;

【解析】解：对于，由随机变量，可得， 
则，故正确； 
对于，由题意，，， 
所以，故错误； 
对于，由题意可知随机变量，则，故正确； 
对于，恰有位患者被治愈的概率为，故错误． 
故选： 
利用二项分布的性质以及方差公式求解即可判断选项；由条件概率公式求解即可判断选项；由服从超几何分布，可求得数学期望，即可判断选项；利用相互独立事件的概率，次独立实验中恰好发生次的概率，计算求得结果即可判断选项 
此题主要考查二项分布、超几何分布、条件概率与独立事件概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 
利用古典概型的概率求解判断利用二项分布的公式求解判断利用条件概率求解判断利用对立事件概率求解判断.解：一袋中有大小相同的个红球和个白球， 
项，从中任取球，恰有一个白球的概率是，故正确； 
项，从中有放回地取球次，每次任取一球，取到红球次数，其方差为 ，故正确； 
项，设第一次取到红球，第二次取到红球 
则，， 
，故错误； 
项，从中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为， 
则至少有一次取到红球的概率为，故正确. 
故选：
 

11.【答案】BC;

【解析】 
此题主要考查随机变量的分布列的性质、期望方差的计算，属于简单题. 
由题得到，再由，得到，求出的范围，即可得解. 
 
解：由题意得， 
所以，即 
又， 
又，得， 
所以， 
故选 

 

12.【答案】AD;

【解析】 
此题主要考查回归方程的性质，属于基础题．根据学过的知识点进行判断． 
 
解：回归直线一定经过样本点的中心，对； 
若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于或，错； 
只适用于型的列联表问题，错； 
由随机变量的期望值和方差公式可知若随机变量，则，对， 
故选： 

 

13.【答案】BC;

【解析】 
此题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望，属于基础题. 
由随机变量的分布列及，列出方程组能求出， 
 
解：由随机变量的分布列及，得到： 
 
解得， 
故选
 

14.【答案】;

【解析】 
此题主要考查离散型随机变量的分布列和数学方差的求法，是基础题. 
由题意知，由此能求出 
 
解：由题意知， 
 
故答案为：
 

15.【答案】;

【解析】 
本题以摸球为载体，考查离散型随机变量的期望，属于基础题． 
因为在编号为，，，，的球中，同时取只，可知取出的球的最大号码可以是，，，进而可确定等于，，时的所有可能数，即可求出期望． 
 
解：由题意，的取值可以是，，， 
时，概率是， 
时，概率是最大的是，其它两个从、、里面随机取， 
时，概率是最大的是，其它两个从、、、里面随机取， 
期望， 
故答案为：
 

16.【答案】;

【解析】 
此题主要考查相互独立事件的概率计算公式和随机变量及其分布列和数学期望，是基础题. 
因为该同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天：之前到校的概率均为，所以，即可求出随机变量的数学期望. 
 
解：因为该同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天：之前到校的概率均为，故， 
则随机变量的数学期望 

 

17.【答案】50;

【解析】解：因为随机变量的期望为，即， 
所以 
故答案为： 
直接利用数学期望的计算性质求解即可． 
此题主要考查了数学期望的计算，解答该题的关键是掌握数学期望的计算公式以及性质，属于基础题．
 

18.【答案】;

【解析】解：由题意可得：，  
． 
故答案为：． 
利用分布列，求解期望，通过期望公式，转化求解即可． 
该题考查了概率的性质，数学期望的计算，属于基础题．
 

19.【答案】解：（1）频率分布直方图如右图． 
所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3 
+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46， 
（2）男居民幸福的概率为： 
=0.5． 
女居民幸福的概率为：=0.6， 
故一对夫妻都幸福的概率为： 
0.5×0.6=0.3， 
因此X的可能取值为0，1，2，3，4， 
且X～B（4，0.3） 
于是P（X=k）=3k（1-0.3）4-k（k=0，1，2，3，4）， 
X的分布列为

∴E（X）=np=4×0.3=1.2．;
 

【解析】 
由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．  
由已知条件得到的可能取值为，，，，，且，由此能求出的分布列和期望． 
该题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
 

20.【答案】解：设男生甲和女生乙同时被选中的事件为， 
从人中选人共有种结果，男生甲和女生乙同时被选中有种结果， 
， 
所以男生甲和女生乙同时被选中的概率为 
的可能取值为，，， 
由题意得， 
， 
， 
， 
的分布列为

所以;

【解析】此题主要考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题. 
利用古典概型求出结果； 
先求出离散型随机变量的分布列，然后得出结果. 

 

21.【答案】解：第一组数据平均数为千斤亩， 
第二组数据平均数为千斤亩，可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法； 
对于采用延长光照时间的方法： 
每亩平均产量为千斤， 
该农场一年的利润为千元， 
对于采用降低夜间温度的方法： 
每亩平均产量为千斤， 
该农场一年的利润为千元． 
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为千元． 
由图可知，增产明显的大棚间数为间，由题意可知，的可能取值有，，，， 
；， 
，， 
所以的分布列为

所以．;

【解析】 
求出每组的平均数进行判断即可；  
分别求出两种方案的年利润，比较判断即可；  
根据题意，增产明显的大棚间数为间，由题意可知，的可能取值有，，，，根据超几何分布求出分别列，求出数学期望． 
此题主要考查频率分布直方图的应用，考查了求平均数，超几何分布求分布列和数学期望，中档题．
 

22.【答案】解：个零件的直径平均值为，由标准差公式得： 
第一天：第一二天：则，则 
由可知； 
 
， 
仅满足一个不等式，判断流水线的性能等级为合格 
由题意可知个零件中合格品个，次品个，的可能取值为，， 
， 
则分布列为： 
 
则 
 
;

【解析】此题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及古典概型求概率，离散相随机变量求分布列及其期望，难度一般. 
先由方差公式求出第一天，第二天的方差，再求出件样本的平均方差，开方求出标准差即可 
由求出； 
 
，根据结果判断判断流水线的性能等级是否为合格即可； 
由题意求出，的可能取值为，，，求出，列出分布列，求出期望即可. 
 

 

23.【答案】解：由题意知，， 
解得， 
所以走路线乙堵车的概率； 
由题意知，随机变量的所有可能取值为，，，， 
则， 
， 
， 
所以 
； 
所以随机变量的分布列为：

数学期望．;

【解析】该题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题． 
由题意计算恰有一辆汽车被堵的概率值，列方程求出的值； 
由题意知随机变量的所有可能取值为，，，，计算对应的概率值，再写出分布列，即可求出数学期望．