高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征巩固练习

2020—2021学年高二数学下学期  

7.3离散型随机变量的数字特征

专项训练

一、单选题（共12题；共60分）

1．随机变量的分布列是（    ）

A． B．

C． D．

2．广雅高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（）

A． B． C． D．

3．已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（    ）

A． B． C．3 D．4

4．已知正整数，，随机变量的分布列是

则当在内增大时，（    ）

A． B．

C． D．E（X）与没有确定的大小关系

5．设、、，已知随机变量的分布列为：

且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知某口袋中有2个白球和2个黑球，若从中随机取出1个球，再放回1个不同颜色的球，此时袋中的白球个数为；若从中随机取出2个球，再放回2个不同颜色的球（若取出的是1个黑球1个白球，则放回1个白球1个黑球），此时袋中的白球个数为，则（    ）

A． B．

C． D．

7．已知随机变量X，Y的分布列如下：

则的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

8．已知随机变量的可能取值分别为-1，1，且，，其中，下列关于，的说法正确的是（    ）

A．，均随x的增大而减小

B．随x的增大而减小，随x的增大而增大

C．为定值，随x的增大而减小

D．随x的增大而减小，为定值

9．已知随机变量的分布列如下：

则最大值（    ）

A． B． C． D．不是定值

10．已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个篮球，从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中，现从甲盒中取1个球，记红球的个数为，从乙盒中取1个球，记红球的个数为，从丙盒中取1个球，记红球的个数为，则下列说法正确的是

A．

B．

C．

D．

11．已知随机变量满足， ， ，若，则

A．随着的增大而增大， 随着的增大而增大

B．随着的增大而减小， 随着的增大而增大

C．随着的增大而减小， 随着的增大而减小

D．随着的增大而增大， 随着的增大而减小

12．下列关于正态分布的命题：

①正态曲线关于轴对称；

②当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”；

③设随机变量，则的值等于2；

④当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿轴平移.

其中正确的是

A．①② B．③④ C．②④ D．①④

二、填空题（共4题；共20分）

13．连续投掷一枚均匀硬币，正面出现次或者背面只要出现一次，就算比赛结束，则比赛结束时出现正面的次数的数学期望是_____________.

14．已知随机变量的分布列如表所示：

则的最大值是___________.

15．已知随机变量的概率分布为，则______.

16．以下个命题中，所有正确命题的序号是______.

①已知复数，则；

②若，则

③一支运动队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为的样本，则样本中男运动员有人；

④若离散型随机变量的方差为，则.

三、解答题（共4题；共20分）

17．工厂经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有某甲､乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸(单位：)，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸满足：为一级品，为二级品，为三级品

（1）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品中随机抽取2件产品，记为这2件产品中一级品的个数，求的分布列和数学期望；

（2）为增加产量，工厂需增购设备，已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一､二､三级品的概率分别是，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以工厂的利润作为决策依据，应选购哪种设备立请说明理由．

18．国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．

（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；

（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．

19．甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手．

（1）求比赛进行了场且甲晋级的概率；

（2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．

20．“博弈”原指下棋，出自我国《论语·阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人､团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程.生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲､乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元.

（1）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望.

（2）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反面的频率(假设进行多次游戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈.甲､乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲､乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平.

参考答案

1．A

【详解】

，

故选：A

2．C

【详解】

的可能取值为2，3，

解法一：，

，

令，因为，所以

则；

所以，

，

因为，所以，

法二：，

，

，

因为以为对称轴，开口向下，

所以在时，单调递增，

所以，排除A，B．

法1：

令，

法2：

，

所以在上单调递减，又，

所以当时，，

所以时单调递增，

所以．

故选：C

3．A

【详解】

根据题意，从集合中任取3个不同的元素，则有，其中最小的元素取值分别为，

从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素的取值分别为，

因为，可得随机变量的取值为，

则，

，

所以随机变量的期望为：.

故选：A.

4．A

【详解】

由条件可知，

，

，，，即.

故选：A

5．C

【详解】

由分布列得，

则，

当且仅当，时等号成立，所以的最小值为，

故选：C.

6．B

【详解】

由题意得的可能取值为1，3，且，

则，，

的可能取值为0，2，4，

且，，

则，，

所以，

故选：B

7．D

【详解】

解：由分布列的性质知，，，所以，，所以

，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．

故选：D

8．B

【详解】

由题意知，随机变量的数学期望，

方差.

当时，，由在恒成立.

所以在上单调递减，

在恒成立.

在上单调递增，

故选：B.

9．B

【详解】

由随机变量的分布列得：

，解得，，

，．

，

当时，取得最大值．

故选：．

10．C

【详解】

随机变量可取值，其中

，，

故，.

随机变量可取值， ，，

故，.

随机变量可取值，当时，丙盒中无红球或有一个红球，

无红球的概率为，有一个红球的概率为，

故，，

故，.

综上，，故选C.

11．C

【详解】

∵ 随机变量满足， ，

∴

∴

∵

∴随着的增大而减小， 随着的增大而减小

故选C

12．C

【详解】

分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．

详解：①正态曲线关于轴对称，故①不正确，

②当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”；正确；

③设随机变量，则的值等于1；故③不正确；

④当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿轴平移.正确.

故选C.

13．

【详解】

由题意知：每次投掷硬币正面、背面出现的概率均为；

∵正面出现次或者背面只要出现一次，比赛结束，

∴假设比赛结束时，硬币抛掷了次，；

1、当时，有前次全部为正面，第次为背面，则，出现正面的次数的期望为，

2、当时，次全部为正面，则，出现正面的次数的期望为，

∴

故答案为：

14．

【详解】

由题知，解得，

则，

，

从而

，，，

所以当时，取得最大值，最大值为.

故答案为：.

15．

【详解】

因为，

所以，

解得，

所以，，，

所以，

.

故答案为：

16．①③④

【详解】

①，则，①正确；

②令，则；令，则

，②错误；

③抽样比为：，则男运动员应抽取：人，③正确；

④由方差的性质可知：，④正确.

本题正确结果：①③④

17．（1）分布列见解析，期望为1（2）应选乙设备，理由见解析.

【详解】

（1）根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的分法抽取的40件产品中，

尺寸在，，的产品数分别为,，

所以随机变量的取值为，

则，，

所以随机变量的分布列为：

所以期望.

（2）设甲乙设备生产该产品一件的平均利润元、元，

由频率分布直方图可知，甲设备生产一级品、二级品、三级品的概率分别为：

，

所以，

可得，所以应选购乙设备.

18．（1）；（2）分布列见解析，.

【详解】

解：（1）进入第二轮的概率为，

与比赛，获胜，与比赛，获胜，且与比赛，获胜，

其概率为，

故在进入第二轮的前提下，最终获得冠军的概率．

（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3．

，

，

，

．

的分布列为：

．

19．（1）；（2）分布列见解析；期望为．

【详解】

解：（1）甲赢两场，分下面三种情况

①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜

概率为： ；

②第一场甲输，二三场均胜

概率为：；

③第一场甲胜，第二场输，第三场胜

概率为： ；

由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了场且甲晋级的概率为：.

（2）依题意的所有可能取值为，，

由（1）知，

当比赛进行了场后结束，甲获胜的场数为时，

分两种情况：

3场比赛中甲参加了1场，输了,概率为：

3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为：

3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场.

所以，

故，

故的分布列为

则．

20．（1）；（2）答案见解析.

【详解】

解析（1）因为是各自随机“亮”出正反面，所以甲､乙“亮”出正面的概率均可认为是，

设乙在此游戏中的收益为随机变量，则的可能取值为，1，3，

所以可得乙的收益的分布列为

.

（2）假设甲以的概率“亮”出正面，乙以的概率“亮”出正面，

甲收益的随机变量为，乙收益的随机变量为，此时甲的收益分布列为

所以甲的收益期望为.

同理可得乙的收益分布列为

所以乙的收益期望为.

根据甲的收益期望，可知乙的最优策略是“亮”出正面的概率为，

否则若，有，甲的收益期望，

甲可以选择都“亮”出反面的策略，即，达到预期收益最大，此时.

若，则甲选择都“亮”出正面的策略，即，达到预期收益最大，.

同理，可知甲的最优策略是“亮”出正面的概率为，

所以最终两人的决策为保持“亮”出正面的概率都为.

而当时，，，

所以此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平.