高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案

5．2.2　同角三角函数的基本关系

[目标] 1.记住并能推导同角三角函数基本关系式；2.能够利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简和证明．

[重点] 同角三角函数关系式的应用．

[难点] 同角三角函数关系式的推导及应用．

知识点一　　同角三角函数基本关系式

[填一填]

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tanα＝，其中α≠kπ＋(k∈Z)．

[答一答]

1．同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？

提示：平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋，k∈Z.

2．这里的“同角”是什么含义？

提示：这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．

3．下列四个结论中可能成立的是(　B　)

A．sinα＝且cosα＝

B．sinα＝0且cosα＝－1

C．tanα＝1且cosα＝－1

D．α是第二象限角时，tanα＝－

[解析]　(1)∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－，

∴cosα＝±＝±＝±.

又∵α是第四象限角，∴cosα>0，∴cosα＝，

∴tanα＝＝－.

(2)解：∵cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限角．

当α是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，

∴sinα＝＝＝，tanα＝＝－；

当α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，

∴sinα＝－＝－＝－，

tanα＝＝.

[答案]　(1)D　(2)见解析

已知角α的某种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果.

[变式训练1]　已知tanα＝2，则cosα＝±.

解析：由tanα＝＝2得，sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝，∴cosα＝±.

类型二　　整体代入，化切求值

[例2]　设tanα＝2，求下列各式的值：

(1)；

(2)2sin2α－3sinαcosα＋5cos2α.

[解]　因为tanα＝2≠0，

所以(1)＝＝＝＝＝3.

(2)2sin2α－3sinαcosα＋5cos2α

＝＝

＝＝.

[变式训练2]　已知tanα＝3，求下列各式的值：

(1)＋；

(2)；

(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.

解：(1)＋＝＋＝＋＝－.

(2)＝＝＝.

(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝＝＝＝.

类型三　三角函数式的化简

[例3]　化简下列各式：

(1)；

(2)sin2αtanα＋2sinαcosα＋.

[分析]　(1)中含有根号，运用三角函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号；(2)观察式子中有正切，从而利用切化弦的思路进行变形．

[解]　(1)原式

＝

＝＝＝1.

(2)原式＝sin2α·＋2sinαcosα＋cos2α·

＝＝

＝.

化简三角函数式常用的方法有：

1化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.

2对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.

3对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.

[变式训练3]　化简下列各式：

(1)；

(2)(其中α是第二象限角)．

解：(1)＝＝＝1.

(2)＝＝＝－sinαcosα.

类型四　sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系

[例4]　已知sinα＋cosα＝－，0<α<π.

(1)求sinαcosα的值；

(2)求sinα－cosα的值．

[解]　(1)由sinα＋cosα＝－⇒(sinα＋cosα)2＝，

sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，

sinαcosα＝－.

(2)因为0<α<π，sinα＋cosα＝－，

所以sinα>0，cosα<0⇒sinα－cosα>0.

sinα－cosα＝＝＝.

(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．

(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意判断它们的符号．

[变式训练4]　已知－<x<0，sinx＋cosx＝，则sinx－cosx＝－.

解析：由sinx＋cosx＝，

两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，

即2sinxcosx＝－，(sinx－cosx)2＝1－2sinx·cosx＝.

又－<x<0，

∴sinx<0，cosx>0，sinx－cosx<0，

∴sinx－cosx＝－.

1．下列结论能成立的是(　C　)

A．sinα＝且cosα＝

B．tanα＝2且＝

C．tanα＝1且cosα＝

D．sinα＝1且tanα·cosα＝

解析：A中，sin2α＋cos2α≠1，故A选项不成立；B中，tanα·≠1，故B选项不成立；D中，tanα·cosα≠sinα，故D选项不成立．只有C正确．

2．已知α是第四象限角，cosα＝，则sinα＝(　B　)

A.　　　B．－　　　C.　　　D．－

解析：由α为第四象限角，cosα＝，得sinα＝－＝－＝－，故选B.

3．若△ABC的内角A满足sinAcosA＝，则sinA＋cosA的值为

(　A　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：因为A为△ABC的内角，且sinAcosA＝>0，所以A为锐角，所以sinA＋cosA>0.又1＋2sinAcosA＝1＋，即(sinA＋cosA)2＝，所以sinA＋cosA＝，故选A.

4．已知tanα＝3，则2sin2α＋4sinαcosα－9cos2α的值为.

解析：原式＝

＝＝＝.

5．已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．

解：∵cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限角．

若α是第二象限角，

则sinα＝＝＝，

tanα＝＝＝－.

若α是第三象限角，

则sinα＝－＝－＝－，

tanα＝＝＝.

——本课须掌握的五大问题

1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.

2．sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.

3．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝不成立．

4．注意公式变形的灵活应用．

5．在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的．当角所在象限不明确时，要进行分类讨论．