2021学年5.4 三角函数的图象与性质巩固练习

5.4.3正切函数的性质与图象

A级　基础巩固

一、选择题

1．当x∈(－，)时，函数y＝tan|x|的图象(　B　)

A．关于原点对称  B．关于y轴对称

C．关于x轴对称  D．没有对称轴

2．函数f(x)＝的定义域为(　A　)

A．{x|x∈R且x≠，k∈Z} B．{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}

C．{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z} D．{x|x∈R且x≠kπ－，k∈Z}

[解析]　(k∈Z)得

∴x≠π且x≠π，x≠，k∈Z，故选A．

3．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(，0)，则φ可以是(　A　)

A．－  B．

C．－  D．

[解析]　∵函数的象过点(，0)，∴tan(＋φ)＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，则φ＝－，故选A．

4．函数f(x)＝tan(－x)的单调递减区间为(　B　)

A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z

B．(kπ－，kπ＋)，k∈Z

C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z

D．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z

[解析]　由f(x)＝－tan(x－)，可令kπ－<x－<kπ＋，解得kπ－<x<kπ＋π，k∈Z．

5．函数f(x)＝tanax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为2，则a的值为(　A　)

A．  B．

C．π  D．1

[解析]　由题意可得T＝2，所以＝2，a＝．

6．函数f(x)＝tan(ωx－)与函数g(x)＝sin(－2x)的最小正周期相同，则ω＝(　A　)

A．±1  B．1

C．±2  D．2

[解析]　＝，ω＝±1．

二、填空题

7．函数y＝3tan(2x＋)的对称中心的坐标为　(－，0)(k∈Z)　．

[解析]　令2x＋＝(k∈Z)，

得x＝－(k∈Z)，

∴对称中心的坐标为(－，0)(k∈Z)．

8．求函数y＝tan(－x＋)的单调区间是　(2kπ－，2kπ＋π)(k∈Z)　．

[解析]　y＝tan(－x＋)

＝－tan(x－)，

由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－<x<2kπ＋π，k∈Z，

∴函数y＝tan(－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z．

三、解答题

9．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相应的x值．

[解析]　∵－≤x≤，∴－≤tanx≤1，

f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，

当tanx＝－1，即x＝－时，ymin＝1；

当tanx＝1，即x＝时，ymax＝5．

10．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的主要性质．

[解析]　由y＝|tanx|＋tanx知

y＝(k∈Z)．

其图象如图所示．

函数的主要性质为：

①定义域：{x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}；

②值域：[0，＋∞)；

③周期性：T＝π；

④奇偶性：非奇非偶函数；

⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋)，k∈Z．

B级　素养提升

一、选择题

1．函数f(x)＝的奇偶性是(　A　)

A．是奇函数 B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

[解析]　f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，又f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

2．若a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝logcos25°，则(　D　)

A．a<b<c  B．b<c<a

C．c<b<a  D．a<c<b

[解析]　∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70°，

∴logsin25°>logcos25°>logtan70°．

即a<c<b．

3．若函数y＝tanωx在(－，)内是减函数，则(　B　)

A．0<ω≤1  B．－1≤ω<0

C．ω≥1  D．ω≤－1

[解析]　若ω使函数在(－，)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0．

4．函数y＝|tan(x＋)|的单调增区间为(　D　)

A．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)

B．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)

C．(kπ，kπ＋)(k∈Z)

D．[kπ－＋kπ＋)(k∈Z)

[解析]　令t＝x＋，则y＝|tant|的单调增区间为[kπ，kπ＋)(k∈Z)．

由kπ≤x＋<kπ＋，得

kπ－≤x<kπ＋(k∈Z)．

二、填空题

5．给出下列命题：

(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；

(2)函数y＝tanx在定义域内是增函数；

(3)函数y＝的周期是；

(4)y＝sin是偶函数．

其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__．

[解析]　y＝tan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tanx在每一个区间(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝的周期是.∴(3)对；y＝sin＝cosx是偶函数，∴(4)对．

因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．

6．若tan≤1，则x的取值范围是(k∈Z)．

[解析]　令z＝2x－，在上满足tanz≤1的z的值是－<z≤，在整个定义域上有－＋kπ<z≤＋kπ，解不等式－＋kπ<2x－≤＋kπ，得－＋<x≤＋，k∈Z．

三、解答题

7．若x∈[－，]，求函数y＝＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．

[解析]　y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1．

∵x∈[－，]，∴tanx∈[－，1]．

∴当tanx＝－1时，即x＝－时，y取最小值1；

当tanx＝1时，即x＝时，y取最大值5．

8．已知函数f(x)＝3tan(x－)．

(1)求f(x)的定义域、值域；

(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．

[解析]　(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，

解得x≠＋2kπ，k∈Z．

∴定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}，值域为R．

(2)f(x)为周期函数，周期T＝＝2π．

f(x)为非奇非偶函数．

由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，

解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z．

∴函数的单调递增区间为(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)．

C级　能力拔高

函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(，)内的图象大致是(　D　)

[解析]　∵<x≤π时，sinx≥0，tanx≤0，∴y＝tanx＋sinx－(sinx－tanx)＝2tanx，π<x<时，sinx<0，tanx>0，∴y＝tanx＋sinx－(tanx－sinx)＝2sinx，故选D．